三角形培优竞赛.doc

三角形培优竞赛一、 等腰三角形性质若按边（角）是否相等分类，则两边（角）相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一类特殊的三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（简称三线合一），特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60度。 解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。1、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 。2、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有 个。3、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。4、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为 度。5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为 cm.6、如图，在ABC中，点D是BC边上一点，BAD=80，AB=AD=DC，则C= 度。7、如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则ABC的大小是 度。8、如图，在ABC中，AB=AC，AD=AE， BAD=60，则EDC的度数为 度。9、如图，AM、BN分别是EAB、 DBC的平分线，若AM=BN=AB，则BAC的度数为 度。10、如图，在ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若BAM=NAC，则MAC= 度。11、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则 ABC+ADC的度数是 度。12、如图，在ABC中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，则ECF=（ ）。A、60 B、45 C、30 D、不确定13、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么EDF等于（ ）。A、90 -0.5 A B、90 - A C、180 - A D、 45 -0.5 A14、如图，在ABC中，BAC=120，ADBC于D，且AB+BD=DC，则C的大小是（ ）A、20 B、25 C、30 D、45 15、如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则AED与AGF的关系为（ ）A、 AED AGF B、 AED=AGFC、 AED AGF D、 不能确定16、如图，ABC中，ACB=90， A=20 ，将ABC绕点C按逆时针方向旋转a角到ABC的位置，B在AB上，CA交AB于D，则BDC的度数为（ ）。A、40 B、45 C、50 D、60 17、如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是ABC的角平分线。18、如图，已知ABC中，ABC=45 ，CDAB于D，BE平分ABC，且BE AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G，（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=0.5BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。19、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若DAE=x,求x的值20、如图，已知等腰ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求PCQ的度数。一、 等腰三角形判定由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。 实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有： 1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形； 3、用“垂直平分线”构造等腰三角形； 4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。1、如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为 。2、如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则AEC的度数是 。3、如图，ABC中，AB=AC， B=36 ，D、E是BC上两点，使 ADE=AED=2 BAD，则图中等腰三角形共有 个。4、如图， ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则 B：C的值 。5、已知等腰ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是 。6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是 。7、如图，四边形ABDC中，EDC是由ABC绕顶点C旋转40度所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则1+2= 。8、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为 。9、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度。10、如图，已知RtABC中，ACB=90，BAC=30，在直线BC或AC上取一点，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）个。A、2 B、4C、6 D、811、如图，在ABC中，BAC=106度，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则EAM等于（ ）度。A、58 B、32 C、36 D、3412、如图，在ABC中，B=2 C，则AC与2AB之间的关系是（ ）。A、AC2AB B、AC=2AB C、AC2AB D、AC2AB13、在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）。A、1.2.3 B、1.2.4 C、2.3.4 D、1.3.414、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个。A、1 B、4 C、7 D、1015、已知ABC的三边的长分别为a、b、c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则ABC一定是（ ）。A、等边三角形B、腰长为a的等腰三角形C、底边长为a的等腰三角形D、等腰直角三角形16、如图， ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD17、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由。18、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF19、如图在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP20、如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是ABC内一点，且DAC= DCA=15 ，求证：BD=BA21、如图，在ABC中，ABC=46，D是BC边上一点，DC=AB， DAB=21 ，试确定CAD的度数。二、 等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：1、三边相等，三角相等，每个角等于60度；2、每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合；3、等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高。判定等边三角形的基本方法有：1、从边入手，证明三边相等；2、从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60度；3、从边角入手，有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形。1、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正ABC和正CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ。以下5个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；CQ=CP；AOB=60。恒成立的有 。（把你认为正确结论的序号都填上。）2、如图，一个六边形的每个内角都是120 ，连续四边的长依次是2.7、3、5、2，则该六边形的周长是 。3、如图，在等边ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则BCD+CBE= 度。4、如图，P是正ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A旋转后，得到QAB，则点P与Q之间的距离为 ，APB= 度。5、如图， ABC和CDE都是等边三角形，且EBD=62度，则AEB的度数是 度。6、如图所示，点D为等边三角形ABC内的一点，BD=AD，BE=AB， DBE= DBC，则BED的度数是 度。7、如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是 度。8、如图，在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60度得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）、9、如图，在中，点为的中点，于点，则等于（）、.、.、.、.10、如图，是线段的中点，过点的直线l与成度的角，在直线l上取一点，使度，则满足条件的点的个数是（）、个、个、个、不存在1、如图，中，度，延长到，延长到，使，连，若，求证： 是等边三角形。12如图，等边中，延长到，延长到，使，连，求证：CE=DE。13、如图，已知四边形中， 度，度，求证：。三、 直角三角形知识纵横 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通意义下的勾股定里，国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理。” 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30角所对的直角边等于斜边的半（边角关系）、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。探索填空：1、直角ABC三边的长分别是x、x+1、5,则ABC的周长为 ，ABC的面积为 。2、如图，已知RtABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点，当AD是A的平分线，CD= 。3、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 。4、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD= 。5、如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰作第一个等腰直角三角形ADE，再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰作第二个等腰直角三角形AFG；以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为 。6、如图，在三角形ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为 。7、如图，在三角形ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则AP2+PBPC= 。8、如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 。分析选择 9、如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸线的交点，则ACB=（ ） A、120 B、135 C、150 D、16510、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离（ )A、等于1米 B、大于1米 C、小于1米 D、不确定11、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将三角形ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）cm.A . 25/4 B. 22/3 C. 7/4 D. 5/312、如图，在凸四边形ABCD中，B=D=90，C=120，AB=3，BC=，则AD=（ ）A B 3 C 2 D 3 13、在锐角三角形ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是（ ）A 2c4 B 2c3 C 2c D cGB B CF=GB C CFGB D 无法确定综合运用16、如图，P为三角形ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知ABC=45，APC=60，求AC