高考数学 第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 新人教A版.ppt

第十章计数原理 概率 随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个计数原理 两类不同方案 两个步骤 m n 独立 m n 逐步 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 如果完成一件事情有n类不同方案 在每一类中都有若干种不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成这件事共有m1 m2 m3 mn种方法 4 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 5 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事 只有两个步骤都完成后 这件事情才算完成 6 如果完成一件事情有n个不同步骤 在每一步中都有若干种不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成这件事共有m1m2m3 mn种方法 解析 1 错误 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法互不相同 即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种方法没有相同的 2 正确 在分类加法计数原理中 每类方案中的每一种方法都能完成这件事 否则就是分步了 3 正确 这是分类加法计数原理的推广 4 正确 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同 则可认为是相同的步骤 5 正确 在分步乘法计数原理中 如果事情是分两步完成的 则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事 否则就是分类了 6 正确 这是分步乘法计数原理的推广 答案 1 2 3 4 5 6 1 从10名任课教师 50名同学中 选1人参加元旦文艺演出 共有选法种数为 a 50 b 10 c 60 d 500 解析 选c 分类完成此事 一类是选教师 有10种选法 另一类是选学生 有50种选法 由分类加法计数原理可知 共有10 50 60种选法 2 某城市的电话号码 由六位升为七位 首位数字均不为零 则该城市可增加的电话部数是 a 9 8 7 6 5 4 3 b 8 96 c 9 106 d 81 105 解析 选d 电话号码是六位数字时 该城市可安装电话9 105部 同理升为七位时 可安装电话9 106部 所以可增加的电话部数是9 106 9 105 81 105 3 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法有 种 解析 分类完成此事 如果选女生 有3种选法 如果选男生 有2种选法 由分类加法计数原理可知 共有3 2 5种选法 答案 5 4 将4封信投入3个邮箱 有 种不同的投法 解析 分四步 每一封信都有3种不同的投法 由分步乘法计数原理 共有3 3 3 3 81 种 答案 81 5 已知集合m 1 2 3 n 4 5 6 7 从两个集合中各取一个元素作为点的坐标 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一 二象限内不同的点的个数是 解析 令m中的元素作为点的横坐标 n中的元素作为点的纵坐标 在第一象限的点共有2 2个 在第二象限的点共有1 2个 令n中的元素作为点的横坐标 m中的元素作为点的纵坐标 在第一象限的点共有2 2个 在第二象限的点共有2 2个 故所求不同的点的个数是2 2 1 2 2 2 2 2 14 答案 14 考向1分类加法计数原理 典例1 1 若x y n 且x y 6 则有序自然数对 x y 共有个 2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数的个数为 思路点拨 1 根据题意 用列举法分别求得当x 1 2 3 4 5时 y值的数目情况 进而由分类加法计数原理 计算可得答案 2 对十位数字进行分类或对个位数字进行分类 规范解答 1 当x 1时 y可取的值为5 4 3 2 1 共5个 当x 2时 y可取的值为4 3 2 1 共4个 当x 3时 y可取的值为3 2 1 共3个 当x 4时 y可取的值为2 1 共2个 当x 5时 y可取的值为1 共1个 即当x 1 2 3 4 5时 y值依次有5 4 3 2 1个 由分类加法计数原理 得不同的数对 x y 共有5 4 3 2 1 15 个 2 方法一 根据题意 将十位上的数字按1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数 分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合条件的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 故共有36个 方法二 分析个位数字 可分以下几类 个位是9 则十位可以是1 2 3 8中的一个 故共有8个 个位是8 则十位可以是1 2 3 7中的一个 故共有7个 同理个位是7的有6个 个位是2的有1个 由分类加法计数原理知 符合条件的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 故共有36个 答案 1 15 2 36 互动探究 本例题 2 中条件不变 求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数 解析 当个位数字是8时 十位数字取9 只有1个 当个位数字是6时 十位数字可取7 8 9 共3个 当个位数字是4时 十位数字可取5 6 7 8 9 共5个 同理可知 当个位数字是2时 共7个 当个位数字是0时 共9个 由分类加法计数原理知 符合条件的数共有1 3 5 7 9 25 个 拓展提升 1 分类加法计数原理的特点 1 根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准 2 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 2 使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个 但不论是以哪一个为标准 都应遵循 标准要明确 不重不漏 的原则 变式备选 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种 b 10种 c 18种 d 20种 解析 选b 依题意 就所剩余的一本进行分类计数 第一类 剩余的是一本画册 此时满足题意的赠送方法共有4种 第二类 剩余的是一本集邮册 此时满足题意的赠送方法共有 6 种 因此 满足题意的赠送方法共有4 6 10 种 考向2分步乘法计数原理 典例2 1 从正方体的6个面中选取3个面 其中有2个面不相邻的选法共有 a 8种 b 12种 c 16种 d 20种 2 用5种不同的颜色给图中a b c d四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域颜色不同 求共有多少种不同的涂色方法 思路点拨 1 可分两步完成此事 第一步选两个不相邻的平面 第二步选与前两个平面都相交的平面 2 逐步给a b c d四个区域涂色即可 规范解答 1 选b 完成这件事可先选取2个不相邻的平面 有2个面不相邻即有一组对面 共有3组 然后再取与这两个平面都相交的平面 共有4个 由分步乘法计数原理可知 选法为3 4 12 种 2 分4步 涂a有5种方法 涂b有 种方法 涂c有3种方法 涂d有3种方法 d与a可以同色 由分步乘法计数原理得 共有5 4 3 3 180 种 拓展提升 使用分步乘法计数原理的关注点 1 明确题目中的 完成这件事 是什么 确定完成这件事需要几个步骤 且每步都是独立的 2 将完成这件事划分成几个步骤来完成 各步骤之间有一定的连续性 只有当所有步骤都完成了 整个事件才算完成 这是分步的基础 也是关键 从计数上来看 各步的方法数的积就是完成事件的方法总数 提醒 解决分步问题时一定要合理设计步骤 顺序 使各步互不干扰 互不影响 还要注意元素是否可以重复选取 变式训练 已知在正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 a 20 b 15 c 12 d 10 解析 选d 如图 在正五棱柱abcde a1b1c1d1e1中 从顶点a出发的对角线有两条 ac1 ad1 同理从b c d e点出发的对角线也有两条 共2 5 10 条 考向3两个计数原理的综合应用 典例3 1 2013 潍坊模拟 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1a3 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275等 那么所有凸数的个数为 a 240 b 204 c 729 d 920 2 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有 种不同的涂色方法 思路点拨 1 由于中间数最大 可先按中间数进行分类 再按两边的数分步进行解答 2 本题是解决涂色问题 要明确涂色要求 严格区分是 分类 还是 分步 规范解答 1 选a 分8类 当中间数为2时 有1 2 2 个 当中间数为3时 有2 3 6 个 当中间数为4时 有3 4 12 个 当中间数为5时 有4 5 20 个 当中间数为6时 有5 6 30 个 当中间数为7时 有6 7 42 个 当中间数为8时 有7 8 56 个 当中间数为9时 有8 9 72 个 故共有2 6 12 20 30 42 56 72 240 个 2 完成该件事可分步进行 涂区域1 有5种颜色可选 涂区域2 有4种颜色可选 涂区域3 可先分类 若区域3的颜色与2相同 则区域4有4种颜色可选 若区域3的颜色与2不同 则区域3有3种颜色可选 此时区域4有3种颜色可选 所以共有5 4 1 4 3 3 260 种 涂色方法 答案 260 拓展提升 1 两个计数原理的区别 2 应用两个计数原理的 两个 注意点 1 注意在应用两个原理解决问题时 一般是先分类再分步 在分步时可能又用到分类加法计数原理 2 注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题 可恰当地列出示意图或列出表格 使问题形象化 直观化 变式训练 某小组有10人 每人至少会英语和法语中的一门 其中8人会英语 5人会法语 1 从中任选一个会外语的人 有多少种选法 2 从中选出会英语与会法语的各1人 有多少种不同的选法 解析 由于8 5 13 10 所以10人中必有3人既会英语又会法语 5人只会英语 2人只会法语 1 可分类完成此事 一类只会英语 一类既会英语也会法语 一类是只会法语 共有5 3 2 10 种 2 同样分3类 共有n 5 2 5 3 2 3 31 种 方法 创新体验 计数原理类的新定义问题 典例 2012 湖北高考 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数 如22 121 3443 94249等 显然2位回文数有9个 11 22 33 99 3位回文数有90个 101 111 121 191 202 999 则 1 4位回文数有 个 2 2n 1 n n 位回文数有 个 思路点拨 规范解答 1 4位回文数相当于填4个方格 首尾相同 且不为0 共9种填法 中间两位一样 有10种填法 共计9 10 90 种 填法 即4位回文数有90个 2 根据回文数的定义 此问题也可以转化成填方格 结合计数原理知有9 10n种填法 答案 1 90 2 9 10n 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了转化与化归思想 归纳推理的方法在解题中的应用 即依据回文数的定义 将确定回文数的问题 转化为填方格的问题 进而利用计数原理解决 求一般的位数的回文数的个数 可由2位 3位 4位回文数归纳得出2n 1位回文数的求法及个数 2 技巧提升 对于计数原理类新定义问题 常见的类型有新定义数的个数 新定义中符合条件的计数问题等 新定义问题构思巧妙 隐蔽性强 除了考查理解新定义 接受新知识的能力外 还考查数学中的基础知识和基本技能 解题的关键是抓住新定义及新概念的特征 将新信息与所学知识结合起来 转化为已知的或所学过的数学知识解决 本题是转化为利用计数原理解决 1 2013 港口模拟 体育场南侧有4个大门 北侧有3个大门 某学生到该体育场练跑步 则他进出门的方案有 a 12种 b 7种 c 24种 d 49种 解析 选d 学生进门有7种选择 同样出门也有7种选择 由分步乘法计数原理 该学生的进出门方案有7 7 49 种 所以应选d 2 2012 陕西高考 两人进行乒乓球比赛 先赢三局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情形 各人输赢局次的不同视为不同情形 共有 a 10种 b 15种 c 20种 d 30种 解析 选c 由题意知 比赛场数最少为3场 至多为5场 当比赛场数为3场时 情形为甲或乙连赢3场 共2种 当比赛场数为4场时 若甲赢 则前3场中甲赢2场 最后一场甲赢 共有 3 种 情形 同理 若乙赢 则也有3种情形 所以共有6种情形 当比赛场数为5场时 前4场 甲乙双方各赢2场 最后一场胜出的人赢 所以共有 12 种 综上可知 共有2 6 12 20 种 故选c 3 2012 安徽高考 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知6位同学之间共进行了13次交换 则收到4份纪念品的同学人数为 a 1或3 b 1或4 c 2或3 d 2或4 解析 选d 设6位同学分别用a b c d e f表示 若任意两位同学之间都进行交换 共进行 15 次 交换 现共进行了13次交换 说明有2次交换没有发生 此时可能有两种情况 1 由3人构成的2次交换 如a b和a c之间的交换没有发生 则收到4份纪念品的有b c两人 2 由4人构成的2次交换 如a b和c e之间的交换没有发生 则收到4份纪念品的有a b c e四人 故选d 4 2013 梅州模拟 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 解析 方法一 数字2 3至少都出现一次 可以分为3类 第一类 一个2三个3 有4个 第二类 两个2两个3 有6个 第三类 三个2一个3 有4个 共有14个 方法二 可以考虑四个位置任排 然后减去2222和3333这两种情况 个数为24 2 14 答案 14 1 用n种不同的颜色为下列两块广告牌涂色 如图甲 乙 要求 四个区域中相邻 有公共的边界 区域不用同一颜色 1 若n 6 则为甲图涂色的不同方法共有 种 2 若为乙图涂色时共有120种不同的方法 则n 解析 1 在甲图中对区域 按顺序涂色 由分步乘法计数原理得