高考数学 第十一章 第二节 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版.ppt

第二节证明不等式的基本方法 1 三个正数的算术 几何平均值不等式 1 如果a b c r 那么a3 b3 c3 3abc 当且仅当 时 等号成立 2 如果a b c 那么 当且仅当 时 等号成立 即 三个正数的算术平均值 它们的几何平均值 a b c r a b c 不小于 3 对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均值 它们的几何平均值 即 当且仅当 时 等号成立 不小于 a1 a2 an 2 比较法比较法是证明不等式最基本的方法 有作差比较法和作商比较法两种 a b 0 a b 0 a b 3 综合法与分析法 1 综合法 一般地 从 出发 利用 公理 性质等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫 或由因导果法 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 2 分析法 证明命题时 从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法 要证的结论 条件 已知条件 一个明显成立的事实 充分 4 反证法 1 假设要证的命题 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 2 证明步骤 反设 归谬 肯定原结论 不成立 命题的条件 原命题成立 5 放缩法 1 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 2 理论依据a b b c a c 放大 缩小 判断下面结论是否正确 请在括号内打 或 1 比较法最终要判断式子的符号得出结论 2 综合法是从原因推导到结果的思维方法 它是从已知条件出发 经过逐步推理 最后达到待证的结论 3 分析法又叫递推证法或执果索因法 是从待证结论出发 一步一步地寻求结论成立的必要条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 4 使用反证法时 反设 不能作为推理的条件应用 5 放缩法就是把分式的分子放大 分母缩小 解析 1 错误 当使用作商比较法时要判断与1的大小关系才能得出结论 2 正确 根据综合法的定义可得结论正确 3 错误 根据分析法的定义 应把 必要条件 改为 充分条件 才是正确的结论 4 错误 根据反证法的定义 反设 能作为已知条件充分使用 5 错误 不符合放缩法的定义 答案 1 2 3 4 5 1 设t a 2b s a b2 1 则s与t的大小关系是 a s t b s t c s t d s t 解析 选a s t a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 s t 2 若a b c 则一定成立的不等式是 a a c b c b ab ac c a c b c d 解析 选c 当c 0时 选项a不成立 当ab 选项c成立 3 已知0 a b 1 用反证法证明a 1 b b 1 a 不能都大于时 反设正确的是 a a 1 b b 1 a 都大于 b a 1 b b 1 a 都小于 c a 1 b b 1 a 都大于或等于 d a 1 b b 1 a 都小于或等于 解析 选a 不能都大于 的否定是 都大于 4 若x 0 y 0 则p q的大小关系是 a p q b pq 解析 选b 即p q 5 函数f x 3x x 0 的最小值为 解析 当且仅当即x 2时等号成立 答案 9 考向1用比较法证明不等式 典例1 1 2013 荆门模拟 已知p x6 1 q x4 x2 x r 则有 a p q b p q c p q d p q 2 2013 咸宁模拟 已知0 a 且则m n的大小关系是 3 求证 当x r时 1 2x4 2x3 x2 当a b 0 时 aabb 思路点拨 1 用作差比较法判断证明 2 可用作差比较法 也可用作商比较法 3 第 小题的不等式为一元型的整式不等式 可以考虑采用作差比较法 而第 小题是幂指型的不等式 可考虑采用作商比较法 规范解答 1 选a p q x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 x2 1 当x 1时 p q 当x 1时 p q p q 故选a 2 方法一 m n 由已知a 0 b 0且ab 1 1 ab 0 即m n 方法二 00 n 0 m n 答案 m n 3 方法一 1 2x4 2x3 x2 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x x 1 x 1 2x x2 1 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 2 0 1 2x4 2x3 x2 方法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 当a b时 当a b 0时 1 0 当b a 0时 0 1 0 互动探究 保持例 3 第 小题的条件不变 若a0 即 a2 b2 a b a2 b2 a b 答案 a2 b2 a b a2 b2 a b 当a b时 当a b 0时 0a 0时 1 拓展提升 1 作差比较法 1 作差比较法证明不等式的一般步骤 作差 将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差 变形 将差式进行变形 化简为一个常数 或通分 因式分解变形为若干个因式的积 或配方变形为一个或几个平方和等 判号 根据已知条件与上述变形结果 判断不等式两边差的正负号 结论 肯定不等式成立的结论 2 作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法证明不等式的一般步骤 作商 将不等式左右两边的式子 进行作商 变形 将商式的分子放 缩 分母不变 或分子不变 分母放 缩 或分子放 缩 分母缩 放 从而化简商式为容易和1比较大小的形式 判断 判断商与1的大小关系 就是判断商大于1或小于1或等于1 结论 2 作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 一般使用作商比较法 提醒 在使用作商比较法时 要注意说明分母的符号 变式备选 1 求证 x 1 x2 1 x x2 x 1 证明 因为 x 1 x2 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 作差得 x 1 x2 1 x x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 0 x 1 x2 1 x x2 x 1 2 设a b 0 求证 证明 方法一 a b 0 左边 右边 故原不等式成立 方法二 且由a b 0 知 考向2用综合法证明不等式 典例2 已知a b c 0且互不相等 abc 1 试证明 思路点拨 本题可用abc 1代换中的a b c 然后利用基本不等式证明或者利用基本不等式从右向左证明 规范解答 方法一 a b c 0 且互不相等 abc 1 方法二 以上三式相加 得又 a b c互不相等 方法三 a b c是互不相等的正数 且abc 1 拓展提升 综合法证明时常用的不等式 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式有a2 b2 2 ab a2 b2 2ab a b 2 4ab a2 b2 a b 2 4 它的变形形式有 5 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 变式训练 1 2013 黄冈模拟 函数f x g x x 0 则f x 与g x 的大小关系是 a f x g x b f x g x c f x g x d f x g x 解析 选a f x x 2 2 x 2 x 2 0 x 2 2 当且仅当x 3时等号成立 f x 4 又 x 0 x2 2 2 g x g x 2 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 求证 abc 9 ab bc ca 证明 由已知得1 a b c abc 3 a b c 1 当且仅当a b c 时取等号 9 a b c 1 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1 又 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 式变为1 ab bc ca 2 ab bc ca 即ab bc ca a 0 b 0 c 0 a b b c c a 三式相加得2 a b c 两边同加a b c得3 a b c a b c 又 a b c 1 3 考向3用分析法证明不等式 典例3 2013 十堰模拟 设a b c 0 且ab bc ca 1 求证 1 a b c 2 思路点拨 1 不好直接用比较法和综合法 可选择用分析法证明 2 先将不等式左边通分变形后利用分析法证明 注意使用 1 中已证得的结论 规范解答 1 要证a b c 由于a b c 0 因此只需证明 a b c 2 3 即证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 而这可以由ab bc ca a2 b2 c2 当且仅当a b c时等号成立 证得 原不等式成立 2 在 1 中已证a b c 因此要证原不等式成立 只需证明即证即证而 ab bc ca 当且仅当a b c 时等号成立 原不等式成立 拓展提升 1 用分析法证 若a则b 这个命题的模式为了证明命题b为真 只需证明命题b1为真 从而有 只需证明命题b2为真 从而有 只需证明命题a为真 而已知a为真 故b必真 2 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 且和重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 变式训练 1 已知m 0 求证 证明 1 因为m 0 所以1 m 0 所以要证即证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故 2 因为m 0 所以为了证明只需证明即只需证明即即只需证明 只需证明即因为当且仅当m 1时 等号成立 所以 2 已知不等式 x 1 x 2 m的解集是r 1 求实数m的取值范围 2 在 1 的条件下 当实数m取得最大值时 试判断是否成立 并证明你的结论 解析 1 由绝对值不等式性质知 x 1 x 2 x 1 2 x 3对x r恒成立 故 x 1 x 2 m的解集为r 只需m 3即可 m的取值范围是 3 2 由 1 知实数m的最大值为3 当m 3时 不等式成立 证明如下 要使成立 只需等价于等价于等价于42 30 而42 30显然成立 故所证不等式成立 考向4用反证法或放缩法证明不等式 典例4 1 已知n 1且n n 则有 a p q b p q c p q d p q 2 若a3 b3 2 求证 a b 2 思路点拨 1 由于p有n项相加 直接求和不好求 用作差比较法也不好求 应该对p利用放缩法后 裂项求和解决 2 直接证明a b 2比较困难 可考虑从反面入手 运用反证法 导出矛盾 从而证得结论 规范解答 1 选a p q 2 方法一 假设a b 2 而 但取等号的条件为a b 0 显然不可能 a2 ab b2 0 则a3 b3 a b a2 ab b2 2 a2 ab b2 而a3 b3 2 故a2 ab b2 1 1 ab a2 b2 2ab 从而ab 1 a2 b2 1 ab 2 a b 2 a2 b2 2ab 2 2ab 4 a b 2 这与假设矛盾 故a b 2 方法二 假设a b 2 则a 2 b 故2 a3 b3 2 b 3 b3 即2 8 12b 6b2 即 b 1 2 0 这不可能 从而a b 2 方法三 假设a b 2 则 a b 3 a3 b3 3ab a b 8 由a3 b3 2 得3ab a b 6 故ab a b 2 又a3 b3 a b a2 ab b2 2 ab a b a b a2 ab b2 a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 这不可能 故a b 2 拓展提升 1 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现 如所证结论涉及 不可能 不是 等字眼 的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 2 常见的 结论词 与 反设词 3 用放缩法证明不等式的常用方法 1 添加或舍去一些项 如a2 a 1 a 2 a 2 2 将分子或分母放大 或缩小 如 3 利用真分数的性质 若00 则 4 利用基本不等式 如a2 b2 2ab 5 利用绝对值不等式定理 a b a b a b 6 利用函数的单调性 变式训练 1 x 0 y 0 z 0 与3的大小关系是 a p 3 b p 3 c p3 解析 选c x 0 y 0 z 0 2 2013 长沙模拟 已知 a b 则m n之间的关系是 解析 a b a b a b m 1 n 即m n 答案 m n 3 已知f x x2 px q 求证 f 1 f 3 2f 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 证明 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 用反证法证明 方法一 假设 f 1 f 2 f 3 都小于则有 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2出现矛盾 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 方法二 假设 f 1 f 2 f 3 都小于则有由 得 4 p 2 由 得 6 p 4 这不可能 假设不成立 从而 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 满分指导 解答不等式证明的综合题 典例 12分 2013 宜昌模拟 已知函数 1 若x1 x2 1 x1 x2 求证 2 若满足f a 3 f a 4 1 试求实数a的取值范围 思路点拨 规范解答 1 2分 x1 x2 1 x1 x2 x1x2 1 0 4分 5分 2 由 1 可知 f x 在 1 上为单调增函数 6分 a 3 1 a 4 1 1且f a 3 f a 4 1 a 3 a 4 1 8分当a 0 时 a 3 4 a 1 3 5 a 9分 当04 a 1 a 1 1a 4 1 3 3 a 4 11分综上所述 a 1 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 广州模拟 已知a b均为正数 x a5 b5 y a3b2 a2b3 则有 a xy d x y 解析 选d x y a5 b5 a3b2 a2b3 a5 a3b2 b5 a2b3 a3 a2 b2 b3 b2 a2 a2 b2 a3 b3 a b a b 2 a2 ab b2 a 0 b 0 a b 0 a2 ab b2 0 a b 2 0 a b a b 2 a2 ab b2 0 因此 x y 0 x y 2 2013 云浮模拟 设0 a b 且f x 则下列结论中正确的是 a f a f f b f f b f c f f f a d f b f f 解析 选d f x 在 0 上是关于x的减函数 因为0 a b 据不等式性质及基本不等式 得所以f b f f 故选d 3 2013 深圳模拟 记则s与1的大小关系是 a s 1 b s1 d s 1 解析 选b 用放缩法 4 2013 恩施模拟 已知 a b b c a b c a b c a b c 其中一定成立的不等式是 把所有成立的不等式的序号都填上 解析 a b c c a b c b c a b c 故