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一题多解的多向思维 四川省营山双河中学校 侯淑琼【摘要】利用多角度去观察一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学习者对知识的活学活用有着重要的帮助。【关键词】多向思维 均值不等式 “1”的妙用 换元后构造均值不等式 用判别式 三角代换 0前言求最值问题是学习者常遇见的.通过一道例题的多解，让学习者从不同角度，运用不同知识解决最值问题.这样有利于学习者把知识充分运用，知识模块更加清晰，解决问题更加敏捷.一、一题多解的多向思维的意义通过一题多思，一题多解，可以巩固学习者知识，训练学习者思维，开拓学习者视野。利用多角度去看一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学习者对知识的活学活用有着重要的帮助。多向思维是求异思维最重要的形式，表现为思维不受点、线、面的限制，不局限于一种模式，既可以是从尽可能多的方面去思考同一个问题，也可以从同一思维起点出发，让思路呈辐射状，形成诸多系列。它最直接的效果是能避免思路闭塞、单一和枯竭。 多向思维 在学术文献中的解释 1、多向思维：所谓“多向思维”,实质上是指使思考中信息朝多种可能的方向扩散,以引出更多的新信息的发散性思维。2、多向思维主要是指从不同角度思考问题.它包括: 1）具有多种思维指向. 2）多种思维起点. 3）运用多种逻辑规则及其评价标准. 4）多种思维结果.多向思维最终达到另辟蹊径和整体优化的目标多向思维(Divergent Thinking)的作用1）核心性作用 想象是人脑创新活动的源泉，联想使源泉汇合，而发散思维就为这个源泉的流淌提供了广阔的通道。 2）基础性作用 创新思维的技巧性方法中，有许多都是与多向思维有密切关系的。 3）保障性作用 多向思维的主要功能就是为随后的收敛思维提供尽可能多的解题方案。这些方案不可能每一个都十分正确、有价值，但是一定要在数量上有足够的保证。 4）流畅性作用 流畅性就是观念的自由发挥。指在尽可能短的时间内生成并表达出尽可能多的思维观念以及较快地适应、消化新的思想概念。机智与流畅性密切相关。流畅性反映的是流畅性思维的速度和数量特征。多向思维的特点 1）变通性变通性就是克服人们头脑中某种自己设置的僵化的思维框架，按照某一新的方向来思索问题的过程。 变通性需要借助横向类比、跨域转化、触类旁通，使发散思维沿着不同的方面和方向扩散，表现出极其丰富的多样性和多面性。 2）独特性独特性指人们在发散思维中做出不同寻常的异于他人的新奇反应的能力。独特性是发散思维的最高目标。 3）多感官性多向思维不仅运用视觉思维和听觉思维，而且也充分利用其他感官接收信息并进行加工。发散思维还与情感有密切关系。如果思维者能够想办法激发兴趣，产生激情，把信息情绪化，赋予信息以感情色彩，会提高发散思维的速度与效果。二、例题求解例题：已知，且，求的最小值。分析1: 均值不等式法解法1：注意：此题答案有误。因为，式的等号不能同时成立，所以式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。分析2: “1”的妙用解法2:分析3：构造x+y不等式法解法3：不等式是中学数学重点内容之一，它与函数、方程、复数、集合以及三角、几何、解几等都有广泛而紧密的联系。所以，不等式证明问题，可以围绕题设与结论之间的关系，引导学生进行对比，透过现象看本质，多角度、多方向去思考问题，通过揭示沟通各类知识的内在联系的纽带，恰当地构造出理想的辅助工具进行解题。变式：已知x+xy+4y=5 （x,yR）求xy取值范围分析4：换元后构造均值不等式法解法4：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。分析5：用判别式法解法5：（1）当0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0时，方程有两个相等的实数根； （3）当0时，方程没有实数根 （1）和（2）合起来：当0时，方程有两实数根 上面结论反过来也成立可以具体表示为：注意实根分布情况讨论。类似地，如2x+y=6,求的范围也可用判别式法。分析6：三角代换法解法6：变：0x0,b0，则的最小值在解题中，巧妙使用三角代换化代数函数为三角函数，可以把分散条件联系起来，通过转化将原来陌生、抽象、复杂问题转化为熟悉、具体、简单的问题，三角代换是一种非常重要的转化手段，只是换元一定要注意新元的约束条件和整体置换策略，巧作三角代换可变隐蔽为清晰，获得简捷优美的解法，起到事半功倍的作用。分析7：导数法解法7： 导数是微积分中的重要概念。 导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。以上所涉及到的方法都是学习者应掌握的。通过一道例题多解可复习多种方法。通过这些方法，可以让学习者对求最值的问题有个初步的思维认识。同时又达到了下述的效果，对学习者产生重要影响。第一、有助于培养学习者的发散思维能力“发散思维”是一种不依常规、寻求变异、从多角度多侧面思考问题，不拘泥于一种思考途径，不受现在知识的局限，也不受传统知识束缚的一种思考方式，其结果可能由已知导致未知，从而发现新知识新理论。由于学习者的思维形式为集中思维占主导地位，往往容易形成思维定势，并受思维定势的消极影响，使他们的思维陷入固定模式，造成思维的惰性和呆板性，抑制了他们的创造思维的热情，针对这一现状，精选一些“一题多解”的习题，启发学习者从不同角度、不同方向去分析问题的数量关系，寻求解题思路，培养发散思维。第二、有助学习者对课本知识的进一步理解学习者通过一道例题多解，必须对书本上一些较抽象的概念重新理解，提倡“一题多解”，有助于学习者对抽象概念的理解。第三、有助于提高学生的应变能力布卢姆掌握学习论文集提出：一题多解,可以变学习者的单向思维为多向思维,拓宽学