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3 3 1双曲线及其标准方程 复习回顾 椭圆是如何定义的 其标准方程是什么 思考 与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 那么与两定点的距离的差是非零常数的点的轨迹是什么样的曲线呢 动手实践 这两条曲线合起来叫作双曲线 每一条叫作双曲线的一支 双曲线定义 一般地 平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于常数 小于 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点 叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 m f2 f1 双曲线在实际生活中有广泛的应用 如热电厂的冷却塔的外形与轴截面的交线等等 分析推导 mf1 mf2 2a 0 2a f1f2 x o m y f2 f1 1 建系设点 2 写出适合条件的点m的集合 3 用坐标表示条件 列出方程 4 化简 求曲线方程的步骤 方程的推导 c 0 c 0 x y 将上述方程化为 移项两边平方后整理得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 即 设 代入上式整理得 f c 0 f c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 mf1 mf2 2a mf1 mf2 2a f 0 c f 0 c 双曲线与椭圆之间的区别与联系 例题讲解 例2已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上的两点p1 3 p2 5 求双曲线的标准方程 分析已知双曲线焦点的位置 可知双曲线标准方程的形式 利用曲线上的点 其坐标满足方程 从而建立a b的方程 求出a b 解因为双曲线的焦点在y轴上 所以设标准方程为 因为p1 p2在双曲线上所以 解得 a2 16 b2 9 所以所求双曲线方程为 设有定点f1 3 0 和定圆f2 x 3 2 y2 16 今有一动圆m和定圆f2外切 并且过点f1 求动圆圆心m的轨迹方程 分析因为圆心与圆上一点的距离是半径 又两圆外切有半径和为圆心距 可知 mf2 mf1 4 从而有m的轨迹是双曲线的一部分 解设动圆m的半径为r 因为圆m过f1 所以 mf1 r 又因为圆m与圆f2外切 所以 mf2 4 r 从而有 mf2 mf1 4由双曲线的定义知m的轨迹是以f1 f2为焦点的双曲线的一部分 又f1 3 0 f2 3 0 所以c 3 a 2 故b2 5
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