高考数学 第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新人教A版.ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 1 表示直线方向的两个量 1 直线的倾斜角 定义 相交 x轴 平行 重合 0o 范围 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则其斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k 2 两条直线的平行 垂直与其斜率大小间的关系 1 两条直线平行 tan x1 x2 对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 当直线l1 l2的斜率都不存在时 l1与l2的关系为 2 两条直线垂直 如果两条直线l1 l2的斜率存在 设为k1 k2 则l1 l2 如果l1 l2中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率为0时 l1与l2的关系为 k1 k2 平行 k1k2 1 垂直 3 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b x1 x2 y1 y2 a 0 b 0 ax by c 0 a2 b2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 2 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 3 直线倾斜角 的集合 0 180 与直线集合建立了一一对应关系 4 当直线l1和l2斜率都存在时 一定有k1 k2 l1 l2 5 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定等于 1 6 平面直角坐标系下 任何直线都有点斜式方程 解析 1 正确 直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的倾斜程度 不能确定直线的位置 2 错误 当倾斜角 90 时 其斜率不存在 3 错误 倾斜角是0 的直线有无数条 4 错误 当k1 k2时 l1与l2可能重合 5 错误 如果两条直线l1 l2中的一条与x轴平行 或重合 另一条与x轴垂直 也即与y轴平行或重合 即两条直线中一条的倾斜角为0 另一条的倾斜角为90 从而一条直线的斜率为0 另一条直线的斜率不存在 但这两条直线互相垂直 6 错误 当直线与x轴垂直时 没有斜率 不能用点斜式方程表示 答案 1 2 3 4 5 6 1 直线l经过原点和点 1 1 则它的倾斜角 是 a 45 b 135 c 135 或225 d 0 解析 选a 斜率k 1 又0 180 倾斜角 为45 2 某直线l的方程为9x 4y 36 则l在y轴上的截距为 a 9 b 9 c 4 d 解析 选b l的方程9x 4y 36化为斜截式为y x 9 其截距为 9 3 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 解析 l1与l2的斜率分别为k1 2 k2 a 由l1 l2可知 a 2 答案 2 4 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l2 l k2 k 1 k2 答案 5 过点m 3 4 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 解析 当在两坐标轴上截距均为0时 设方程为y kx 又过m 3 4 有 4 3k 得k 直线的方程为y 当在两坐标轴上的截距均不为0时 设直线的方程为 a 0 由过点m 3 4 得3 4 a 得a 7 方程为x y 7 0 综上可知直线方程为y 或x y 7 0 答案 y 或x y 7 0 考向1直线的倾斜角与斜率 典例1 1 2013 中山模拟 直线xcos y 2 0的倾斜角的范围是 a b 0 c 0 d 2 若点a 1 1 b 3 5 c a 7 三点共线 则a的值为 3 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 思路点拨 1 根据直线方程求出直线的斜率 由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围 2 根据三点共线得kab kac 由此求出a值 3 先确定直线pa pb的斜率 再数形结合求解 或先写出直线l的方程 再由点a b在直线l的异侧 或a b之一在直线l上 求解 规范解答 1 选b 由xcos y 2 0得直线斜率k cos 1 cos 1 k 设直线的倾斜角为 则 tan 结合正切函数在 0 上的图象 如图所示 可知 0 或 2 由斜率公式得kab 2 a b c三点共线 kab kac 2 解得a 4 答案 4 3 方法一 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以kpa 4 kpb 如图所示 因此 直线l的斜率k的取值范围为k 4或k 方法二 依题设知 直线l的方程为 y 1 k x 1 即kx y 1 k 0 若直线l与线段ab有交点 则a b两点在直线l的异侧 或a b之一在直线l上 故 2k 4 k 3k 3 k 0 即 k 4 4k 3 0 解得 k 4或k 答案 k 4或k 互动探究 本例题 3 中的条件变为 直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则k的取值范围如何 解析 直线l y kx 过定点 0 作出两直线的图象 如图所示 从图中可以看出直线l的斜率的取值范围为k 拓展提升 1 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 2 斜率取值范围的两种求法 1 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置 借助图形 结合正切函数的单调性确定 2 构建不等式法 巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质 抓住斜率k满足的不等关系 构造不等式求解 3 求倾斜角范围的两个关键点 1 求 求出斜率k tan 的取值范围 2 看 借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围 变式备选 已知实数x y满足2x y 8 当2 x 3时 求的取值范围 解析 由的几何意义知 它表示点a 1 1 与线段cd上任一点p x y 连线的斜率 如图 线段的端点为c 2 4 d 3 2 kac 5 kad kad kap kac 即 的取值范围是 5 考向2两条直线平行 垂直的关系 典例2 1 2012 浙江高考 设a r 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2013 湛江模拟 记直线 m 2 x 3my 1 0与直线 m 2 x m 2 y 3 0相互垂直时m的取值集合为m 直线x ny 3 0与直线nx 4y 6 0平行时n的取值集合为n 则m n 3 已知a 4 3 b 2 5 c 6 3 d 3 0 四点 若顺次连接a b c d四点 试判定图形abcd的形状 思路点拨 1 先求出两条直线平行的条件 再判断a 1与此条件的关系 2 根据两直线垂直 平行满足的条件 分别求出集合m n 然后再求m n 3 先分别求出四边形abcd四条边所在直线的斜率 再分别验证对边是否平行 邻边是否垂直 依此判断abcd的形状 规范解答 1 选a 若两直线平行即l1 l2 则a a 1 2 1 0 解得a 2或a 1 而当a 1时 l1 l2 所以 a 1 是 直线l1与直线l2平行 的充分不必要条件 2 当直线 m 2 x 3my 1 0与直线 m 2 x m 2 y 3 0相互垂直时 m满足 m 2 m 2 3m m 2 0 解得m 或m 2 故m 2 直线x ny 3 0与直线nx 4y 6 0平行 当n 0时 显然两直线不平行 当n 0时 两直线平行的充要条件是 即n 2 所以n 2 故m n 2 答案 2 3 a b c d四点在坐标平面内的位置如图 由斜率公式可得kab kcd kad kbc kab kcd 由图可知ab与cd不重合 ab cd 由kad kbc ad与bc不平行 又 kab kad 3 1 ab ad 故图形abcd为直角梯形 拓展提升 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 然后判断平行或垂直 或利用以下方法求解 变式训练 1 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为k 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 k 所求直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 2 已知 abc的三个顶点坐标为a 2 4 b 1 2 c 2 3 则bc边上的高ad所在直线的斜率为 解析 又bc ad 答案 考向3直线的方程 典例3 1 2013 江门模拟 若直线l a 1 x y 2 a 0 a r 在两坐标轴上截距相等 则a的值为 2 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 思路点拨 1 要分截距均为0 均不为0两种情况讨论 2 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标或得到系数满足的关系 将 abo的面积用引入系数表示 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距均为0 a 2 当直线不过原点时 由截距相等且均不为0 得 即a 1 1 a 0 综上可知 a 0或a 2 答案 0或2 2 方法一 由题可设直线l的方程为 1 a 0 b 0 则a a 0 b 0 b l过点p 3 2 b 且a 3 b 2 从而s abo 故有s abo a 3 当且仅当a 3 即a 6时 s abo min 12 此时b 4 此时直线l的方程为 即2x 3y 12 0 方法二 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 3 0 b 0 2 3k s abo 当且仅当 9k 即k 时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 由题可设直线方程为 a 0 b 0 代入p 3 2 得 得ab 24 从而s abo ab 12 当且仅当时 等号成立 s abo取最小值12 此时k 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 互动探究 在本例题 2 的条件下 求l在两坐标轴上的截距之和最小时直线l的方程 解析 设l的斜率为k k 0 则l的方程为y k x 3 2 令x 0得b 0 2 3k 令y 0得a 3 0 l在两轴上的截距之和为2 3k 3 5 3k 5 2 当且仅当k 时 等号成立 k 时 l在两轴上截距之和最小 此时l的方程为x 3y 3 6 0 拓展提升 1 利用待定系数法求直线方程的三个步骤 提醒 选方程时一定要注意方程的适用条件 2 直线方程综合问题的两大类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识 如方程解的个数 根的存在问题 不等式的性质 基本不等式等 来解决 变式备选 abc的三个顶点为a 3 0 b 2 1 c 2 3 求 1 bc所在直线的方程 2 bc边上中线ad所在直线的方程 3 bc边的垂直平分线de的方程 解析 1 因为直线bc经过b 2 1 和c 2 3 两点 由两点式得bc所在直线的方程 即x 2y 4 0 2 设bc中点d的坐标为 x y 则x 0 y 2 bc边的中线ad过a 3 0 d 0 2 两点 由截距式得ad所在直线方程为 即2x 3y 6 0 3 直线bc的斜率k1 则bc的垂直平分线de的斜率k2 2 由点斜式得直线de的方程为2x y 2 0 易错误区 忽视斜率不存在致误 典例 2013 广州模拟 已知l1 3x 2ay 5 0 l2 3a 1 x ay 2 0 则使l1 l2的a的值为 误区警示 本题易出现的错误是只考虑到斜率存在的情况 将l1 l2方程化为斜截式方程后 利用斜率相等求解 而忽略了直线斜率不存在的特殊情况 即忽略a 0的情况 规范解答 方法一 当直线斜率不存在 即a 0时 有l1 3x 5 0 l2 x 2 0 符合l1 l2 当直线斜率存在时 l1 l2 a 故使l1 l2的a的值为0或 方法二 由l1 l2 3 a 3a 1 2a 0 得a 0或a 又经检验知两直线l1 l2不重合 故使l1 l2的a的值为0或 答案 0或 思考点评 1 解决与两直线平行相关问题的注意点 1 若利用l1 l2 k1 k2来求解 要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在 如果忽略判断k1 k2是否存在的情况就会导致漏解 2 若利用l1 a1x b1y c1 0和l2 a2x b2y c2 0平行 a1b2 a2b1 0 要注意在求出具体数值后代入检验 看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案 2 解决与两直线垂直相关问题的注意点 1 利用l1 l2 k1 k2 1时 要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在 2 利用直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0垂直的充要条件是a1a2 b1b2 0 此法可避免讨论 1 2013 佛山模拟 倾斜角为120 在x轴上的截距为 1的直线方程是 a x y 1 0 b x y 0 c x y 0 d x y 0 解析 选d 由于倾斜角为120 故斜率k 又直线过点 1 0 所以方程为y x 1 即x y 0 2 2013 中山模拟 经过两点a 4 2y 1 b 2 3 的直线的倾斜角为 则y a 1 b 3 c 0 d 2 解析 选b 由 得y 2 tan 1 y 3 3 2013 湛江模拟 m 2 是 直线2x my 0与直线x y 1平行 的 a 充要条件 b 充分不必要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a m 2时 直线2x my 0与直线x y 1平行 故充分性成立 反之 直线2x my 0与直线x y 1平行时 m 2 故必要性成立 所以 m 2 是 直线2x my 0与直线x y 1平行 的充要条