奥数六年级千份讲义748实验四中分班考试班第三讲教师.doc

第三讲数论真题模考1. 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_【分析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅为、，至此当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合；当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合。2. 证明从个给定的自然数中，总可以挑选出若干数（至少一个，也可以是全体），它们的和能被整除。【分析】 若从中选出，共有个和，被除，若有余数为，则成立；若没有，则必然有两个的余数相同，大数减小数的差必为的倍数。3. 有个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_。【分析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧。设中间数是,则它们的和为, 中间三数的和为。是平方数，设,则。是立方数，所以至少含有和的质因数各个, 这五个数中最小数的最小值为至少是,中间的数至少是。最小数的最小值为。4. 从中，任取个数，使这个数必有两个数的差为，则的最大值为_。【分析】 被除的同余序列当中,如余的同余序列，中只要取到两个相邻的，这两个数的差为，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为，对于任意一条长度为的序列，都最多能取个数，即从第个数起隔个取个基于以上，个数分成个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为的序列，能够被取得的数的个数也不会超过，所以能使个数任意两个数都不等于，则这个数被分配在条序列中，当取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过那么个序列有个分配了个数，个分配了个数，这个序列个长度为，个长度为，那么,所以要使个数必有两个数的差为，那么的最大值为。5. 四个不同质数之和为，其中最小的质数是 【分析】 考查质数知识点。回顾质数相关知识。发现四个数的和为，则必存在一个偶数或者三个偶数。而同时要求均为质数，迅速联想到唯一的偶质数，且为最小的质数。6. 一个质数分别除，得到的三个余数之和是，这个质数是 【分析】 翻译为数学语言即是 ， ， 。而题目中另外一个已知关系即为，将+得到即为的质因数，同时因为除数大于余数，所以最小质数只能为7. 有个不同的自然数，它们的和是，则它们的最大公约数是 【分析】 本题主要入手点为，则这四个数可以为的倍数，再进一步构造，发现最大公约数只能为。 8. 把九个数依不同的次序排列，可以得到个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为_。【分析】 本题的范围很大，必须缩小入手点。涉及约数倍数问题，首先思考这类数本身具有的特点。因为，所以无论次序如何，它们的数字之和总可以被整除，因而确定为所有这些九位数的公约数。两个数之间最小差值为，任取两个差为的数，如和，所以为其最大公约数。9. 若均为整数，且能被整除，试证：也能被整除。【分析】 本题给的细节条件比较少，应该从整体入手。已知，则，而题目给出的是，应用构造法，利用余数加法原理，因为可得。即也能被整除。10. 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于。如果把组成它的数字都加上，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。【分析】 涉及数码的变化，导致数值的变化，位置制问题。设这个四位数为，每位数字加，又因为个位数字均小于，则没有进位，表示为利用位置制中展开式得到- 为即和为的约数，将分解质因数，其共有个约数，但是有大于，所以只有四种情况符合题意，经过一一试验为和，即原来的四位数为。考点拓展【例1】 有一些自然数，它们除以的余数与除以的商的和是，那么所有这样的自然数的和是多少？【分析】 火眼金睛识知识点：与余数相关的问题。题目给出的范围很大，我们必须缩小入手点。本题旨在找到具有如此特性的这些数。自然数除以的余数只有种情况（余），相对应，除以的商也有种情况，这样解题思路便开始明确，有章可循。除以余时，除以的商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取； 余时， 商为的数范围为到之间，取、；最终和为。【例2】 大于的自然数小于，并且满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的自然数有多少个？【分析】 火眼金睛识知识点：定义新运算。首先理解好新的定义，翻译成数学语言即为，且为整数。范围大的题目，观察已知条件，寻找切入点。题目中算式为同学熟悉的变形，结合，则可知，即是的倍数，总共有个。【例3】 已知、都是大于的自然数，并且和都是整数，问的值是多少？【分析】 刚接触题目时，觉得无从下手，那便继续观察已知条件，发现和形式相近，且同为整数，则必定有一大一小。不妨设大于等于，则为大于小于的整数，为，则，化为，则，结果为。【例4】 从到的所有自然数中，乘以后是完全平方数的数共有多少个？【分析】 火眼金睛识知识点：完全平方数，基础知识：所有质因数必成对出现。，所以满足条件的数必为某个完全平方数的倍，共个。【例5】 个连续的自然数之和为，若、都是质数，则的最小值是多少？【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言。设这个连续自然数中最小的一个是，则最大的一个是，（遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用此设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数。）则它们的和是：则满足是质数的的最小值是。的最小值是：【例6】 桌上放有多于堆的糖块，每堆数量均不相同，而且都是不大于的质数，其中任意三堆都可以平均分给三个小朋友，其中任意四堆都可以平均分为四个小朋友，已知其中一堆糖块是块，则这桌上放的糖块最多是多少块？【分析】 本题属于小型综合题，先确定能保证平均分的范围，再根据质数的要求，确定具体数值。被除余，被除余。要满足题目的条件，根据余数的加法原理，每堆块数都必须是被除余，被除余的质数。以内这样的质数有：、这六个，它们的和是。桌子上方的糖最多块。课后练习1. 证明方程：没有整数解。【分析】 本题为不定方程问题，可以首先复习不定方程的四个解题原则（奇偶性、尾数、倍数和从系数大的入手）。其实这四个原则，也是建立在左右两边同余的基础知识上的。那么这道题很显然，不属于具有鲜明特点的，我们便只好利用最基础的知识来对付它。对于任一整数，有，所以，不是的倍数。2. 有两种规格的箱钢珠，每箱个，甲种钢珠每个克，乙种钢珠每个克，将这箱钢珠编为号，然后依次从号箱中取出个钢珠，这些钢珠共重克。问：哪几箱是甲种钢珠？【分析】 本题很明显地表明在考察二进制的相关知识点。同时对于这种出现两种规格，求和的问题，和我们的鸡兔同笼思想很相近，可以采用假设法。假设全为甲种规格的钢珠，则，一共取出个。则应重克，比实际的少了克，此重量应该来自乙种钢球每个比甲种重克，则以二进制表示为，则只有号与号箱是甲种。3. 要使这个积是的倍数，并要使最小，则。【分析】 分析