上有限H-补模的直和.doc

上有限H-补模的直和 王永铎 陈文彬 (兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)摘要: 模称为上有限H-补模, 若对于的任意上有限子模, 存在的直和项, 使得当且仅当, 其中是的任意子模. 本文给出了上有限H-补模的一些性质, 并证明了对于上有限补模, 如果是-sjective(或是-sjective), 且和是上有限H-补模, 则是上有限H-补模.关键词: 上有限子模; 上有限H-补模; sjective模中图分类号: O153.3 文献标识码: A Direct Sums of Cofinitely H-Supplemented Modules WANG Yong-duo CHEN Wen-bin (School of Science, Lanzhou Univ. of Tech, Lanzhou 730050, China)Abstract: A module is called cofinitely H-supplemented if for every cofinite submodule of , there is a direct summandof such that if and only if +=for any submoduleof . Some properties of cofinitely H-supplemented modules are given and it is proved that for a cofinitely supplemented module =, if is-sjective(oris-sjective) and, are cofinitely H- supplemented, then is cofinitely H-supplemented.Key words: cofinite submodule; cofinitely H-supplemented module; sjective module 提升模在环与模的研究中起着非常重要的作用. 近几年来, 提升模及其推广, 引起了国内外代数工作者的关注(见文献112). 作为提升模的一个真推广, H-补模的概念是S. H. Mohamed和B. J. Muller1在1990年提出来的. 模称为H-补模, 若对于的任意子模, 存在的直和项,使得当且仅当, 其中是的任意子模. 在文献2中, Wu和Wang通过引入关系, 给出了H-补模的一些结果. 作为H-补模的一个真推广, Wu3, 引入了上有限H-补模的概念, 并详细研究了上有限H-补模的一些性质. 受文献2的启发, 本文运用关系讨论了上有限H-补模的一些性质, 并证明了对于上有限补模, 如果是-sjective(或是-sjective), 且和是上有限H-补模, 则是上有限H-补模. 在本文中, 都是有单位元的结合环, 所有的模都是酉右-模. 设是右-模,用, 分别表示是的子模,小子模,余闭子模. 称是的小子模, 若对于的任意真子模, 都有. 称是的_作者简介: 王永铎(1974-)，男, 甘肃靖远人, 博士, 副教授.联系人: 陈文彬, 电话 E-mail:.余闭子模, 若对于, 有, 则. 设和是的子模, 叫做在中的补, 若且. 称模满足()条件, 如果对于的任意直和因子和, 若, 则和的交也是的直和因子. 模的子模称为上有限的4, 若是有限生成的. 模称为上有限提升模5, 若对的任意上有限子模, 都存在直和项, 使得. 模称为-上有限补模6, 若对的任意上有限子模, 都存在的直和项, 使得是在中的补. 模称为上有限补模7, 若对的任意上有限子模, 都在中存在一个补. 模称为上有限弱补模7, 若对的任意上有限子模, 都存在的子模, 使得, .模的子模称为完全不变的8, 若对于的任意自同态, 有. 未给出的概念参见文献912.定义1 设为模. 称为上有限H-补模, 若对于的任意上有限子模, 存在的直和项, 使得+=当且仅当, 其中为的任意子模.定义 2 2, Definition 2.1 设为模, 、是的子模, 定义如下关系:当且仅当,. (等价于, 当且仅当, 其中 是的任意子模.)命题1 模是上有限H-补模当且仅当对的任意上有限子模, 存在的直和项, 使得.证明: “” 设为的任意上有限子模. 因为是上有限H-补模, 故存在的直和项, 使得, . 设, 则有. 又因是上有限H-补模, 所以有, 即, 从而有. 同理, . 即.“” 设是的任意上有限子模. 由假设存在的直和项, 使得, 即 ,. 下面由. 因为, , 所以. 同理, 可由. 即是上有限H-补模.命题 2 设为模, 则以下条件等价.(1) 是上有限H-补模.(2) 对的任意上有限子模, 存在的子模和直和项, 使得,且.(3) 对的任意上有限子模, 存在的补和的补, 使得是的直和项, 且, 并且每一个同态:可以提升为同态:.证明: “(1) (2)” 设是的任意上有限子模. 因为是上有限H-补模, 所以存在的直和项, 使得, . 令, 即得证.“(2) (3)” 设是的任意上有限子模, 则存在的直和项、, 使得, , . 令, . 则有, 是的补, , . 因为, 所以 . 又因为, 所以, 即是的补. 由文献9可得对每一个同态:可以提升为同态:.“(3)(1)” 由文献9, 可知是的直和项, 故是上有限H-补模.命题 3设是模, 是Abelian环, 且使得的任意上有限子模满足=, 则以下条件等价.(1) 是上有限提升模.(2) 是上有限H-补模.(3) 是-上有限补模.证明：“(1)(2)” 设是的上有限子模. 因为是上有限提升模, 则存在的直和项, 使得, 从而有, , 即, 故是上有限H-补模.“(2)(3)” 设是的上有限子模. 因为是上有限补模, 则存在的直和项、,使得,. 由于, 则. 下证. 因为,所以, 故. 即是-上有限补模.“(3)(1)” 设是的上有限子模, 则有,. 因为是-上有限补模, 则存在, 使得是的补. 因为是Abelian环, 则有. 又因为=, 所以, 从而. 下证. 设, 是的子模, 则有, . 因为, 所以, 进而. 所以是上有限提升模.引理1 8, Lemma 1.1 设,是的完全不变子模,则.命题4 设是上有限H-补模, 则的任意完全不变的上有限的直和项是上有限H-补模.证明: 设是的完全不变的上有限的直和项, 是的上有限子模, 则有是有限生成的, 是有限生成的, , . 因为=, 而=, 所以是有限生成的, 即也是的上有限子模. 因为是上有限H-补模, 所以存在的直和项、, 使得, , . 又因为是的完全不变子模, , 所以, . 从而有, 则, 是的直和项. 因为, 所以, . 故是上有限H-补模.定义 3 2, Definition 3.1 设. 称是-sjective, 如果对于的任意子模, 若, 则存在的子模, 使得, 且. 称与是相对sjective, 若是-sjective, 且是-sjective.命题 5设, 是-sjective, 且是的直和项, 是的直和项, 则是-sjective.证明: 设,=,则. 取的子模, 使得, 则. 因为是-sjective, 则存在, 使得, . 又由于, 所以=. 下证. 因为, 所以. 又因, 所以. 即是-sjective.由文献3我们知道上有限H-补模的直和不一定是上有限H-补模.定理1 设是上有限补模, 如果是-sjective(或是-sjective), 且和是上有限H-补模, 则是上有限H-补模.证明: 设是的上有限子模. 若. 因为是-sjective, 则存在, 使得, 且. 因为, 是上有限H-补模, 则存在的直和项, 使得, 且有. 综上, , . 即.下证是的直和项. 因为, 且,所以, 从而. 由于是的直和项, 所以是上有限H-补模. 若. 因为, 是上有限补模, 所以也是上有限补模, 且是的上有限子模, 则存在, 使得, 且,即, . 因为是-sjective, 则存在, 使得, 且有. 又因为, 是上有限H-补模, 从而存在的子模, 的直和项,使得, 且. 由于, 是上有限H-补模, 从而存在的子模, 的直和项,使得, . 因为, , 所以, . 又因为, , 所以, . 综上有如下关系, , , 即. 下证是的直和项. 由于,则有,.又由于, 则有, . 因为, , , 所以, , 进而, , . 由于是的直和项, 所以是上有限H-补模.参考文献:1 MOHAMED S H, MULLER B J. Continuous and discrete modules M. London: Cambrige uni.press, 1990. 2 WU D J, WANG Y D. On H-supplemented modules J. Submitted to Taiwanese J Math. 3 WU D J. Cofinitely H-supplemented modules J. To appear in Southeast Asian Bull Math. 4 WISBAUER R. Foundations of module and ring theory M. Philadelphia: Gordon and Breach, 1991. 5 WANG Y D, WU D J. On cofinitely lifting modules J. To appear in Algebra Colloq. 6 CALISICI H, PANCAR A. -cofinitely supplemented modules J. Czech J Math, 2004, 54(4): 1083-1088.7 ALIZADE R, BILHAN G, SMITH P F. Modules whose maximal submodules have supplements J. Comm Alegbra, 2001, 29(6): 2389-2405.8 BIRKENMEIER G F, MULLER B J, RIZVI S T. Modules in which every fully invariant submodule is essential in a direct summand J. Comm Algebra, 2002, 30(3): 1395-1415.9 KESKIN D. Discrete and quasi-discrete modules J. Comm Algebra, 2002, 30(11): 5273-5282.10 KOSAN T, KESKIN D. H-supplemented du