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谈三角函数的最小正周期 顺德区均安中学陈实摘要：三角函数的周期性是三角函数的一个重要性质，它在高考中经常考查，但学生掌握不够理想，他们通常要通过繁琐的化简才能得出结论，其实，如果掌握一些结论，三角函数的周期性问题就会迎刃而解，做到即快又准；关键词：最小正周期、绝对值、图象三角函数的周期性是三角函数的一个重要性质。关于三角函数的最小正周期这一知识点，曾多次在高考中考查过，但在现行普通高中代数课本（人教版必修4）中并末作重点研究和讨论。因此，本人就三角函数最小正周期来谈谈，以便学生能迅速，准确地解题；同时，以供教学参考。一、预备知识现行高中代数课本（人教版必修4）对周期函数的定义是：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么就把函数叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在着一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做的最小正周期。这次所谈的函数只针对于三角函数而言，且高中代数课本（人教版必修4）中关于最小正周期给出了以下结论：函数，的最小正周期是。函数，的最小正周期是。函数的最小正周期为； 。二、关于一般三角函数的最小正周期的求法对于单角单函数或能变形为单角单函数的最小正周期的求法是直接利用预备知识求解。例1、（91年全国高考题）函数的最小正周期是（）分析：选（B）说明：对于函数的最小正周期是例2、（92年全国高考题）如果函数的最小正周期是，那么常数为（）（A） 4 (B) 2 (C) 1/2 (D) 1/4分析：即有选（D）例3、函数的最小正周期是分析： 故答案为说明：函数，的最小正周期是（x属于 的定义域内）。命题1、形如函数, ,的最小正周期都是；证明： 以为例；说明：的系数的符号可以不同，可以相等也可不相等；例4、（95年全国高考题）函数的最小正周期是（）分析：直接利用命题1的结论知： 故选（C）例5、（97年全国高考题）函数的最小正周期是（）分析：直接利用命题1的结论知： 故选（B）例6、（2001年全国高考题第17题）求函数的最小正周期分析：先化简 然后直接利用命题1的结论得，例7、（2005年广东高考试卷第15题）化简，并求函数的最小正周期。分析：直接利用命题1的结论得， 例8、（2006年全国高考题（广东卷）第15题）已知函数（）求的最小正周期；分析：直接利用命题1的结论知： 命题2、形如函数，的最小正周期是证明： 以为例； 例9、（94年全国高考题）在下列函数中，以为周期的函数是（ ） 分析：依据命题2，只有（D）答案满足条件三、关于特殊的三角函数的最小正周期的求法（1） 含有三角函数的复合函数的最小正周期命题3、若三角函数是以T为周期的函数，且复合函数也是周期函数，那么T仍是函数的周期（注：不能为幂函数）。由即知命题3为真。例10、函数的最小正周期仍是。例11、函数的最小正周期是。（2） 含绝对值符号的三角函数的最小正周期的求法；例12、函数的最小正周期是 ；分析：如图（1）可知-2图（1）20-xy1例13、函数的最小正周期是 ；分析：如图（2）可知5/49/4-7/40-3/4xy图（2）/4-2例14、函数的最小正周期是 ；分析：如图（3）可知图（3）5/49/4-7/40-3/4xy2说明：必须指出，不能因为某些特殊情形而误认为的周期都是的周期的一半，具体解题时，必须要根据函数的特征，图象，综合来确定函数的最小正周期。最后要指出的是并非任何三角函数都是周期函数，也并非任何周期函数都有最小正周期；如函数就不是周期函数，还有，等都不是周期函数，可用函数的图象或反证法来