高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《对数与对数函数》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1).1.以对数运算法则为依据，考查对数运算、求函数值、对数式与指数式的互化等2.以考查对数函数的单调性为目的，考查函数值的大小比较、解简单的对数不等式等，如2012上海t20等3.以对数函数为载体，以对数函数的性质为核心，结合其他知识命题，如利用数形结合思想判断解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等，如2012年陕西t14等.归纳知识整合1对数的定义如果axn(a0且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数2对数的性质与运算(1)对数的性质(a0且a1)：loga10；logaa1；alogann.(2)对数的换底公式：logab(a，c均大于零且不等于1)(3)对数的运算法则：如果a0且a1，m0，n0，那么loga(mn)logamlogan，logalogamlogan，logamnnlogam(nr)探究1.试结合换底公式探究logab与logba，logambn与logab之间的关系？提示：logab；logambnlogab.3对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1，y1时，y0；当0x0 探究2.对数logab为正数、负数的条件分别是什么？提示：当或时，logab为正数；当或时，logab为负数3如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？提示：图中直线y1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，0cd1a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称自测牛刀小试1(2012安徽高考)(log29)(log34)()a.b.c2 d4解析：选dlog292log23，log342log32，原式4log23log324.2(教材习题改编)函数y的定义域为()a. b.c. d.解析：选c要使函数y有意义，则需log0.5(4x3)0，即04x31x1.3(教材习题改编)不等式log0.3(2x1)log0.3(x5)的解集为_解析：函数ylog0.3x为减函数，即2x5.不等式的解集为x|2x5答案：x|2x0，且logxm24，logym40，logxyzm12，则logzm的值为_解析：(1)lglglg(5lg 22lg 7)lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(25).(2)因为3a2，所以alog32.故2log36log3162(log33log32)log3242(1a)4log3222a4a22a.(3)由已知可得logmx，logmy，logm(xyz)，于是logmzlogm(xyz)logmxlogmy，故logzm60.答案：(1)(2)22a(3)60对数函数的图象及应用例2已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()a0a1b1b0ba11c0b1a1d0a1b11.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于1和0之间，即1f(0)0，所以1logab0，故a1b1，因此0a1b1.答案a由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围2已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()a不小于0b恒为正数c恒为负数 d不大于0解析：选b由题意知，x0是函数yx和ylog3x的图象交点的横坐标，因为0x1log3x1，所以f(x1)的值恒为正数3设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则()aabc bcbaccab dbac解析：选a如图，在同一坐标系中，作出函数yx，y2x，ylog2x和logx的图象由图象可知ab0且a1，设t3ax，则t3ax为减函数，x0,2时，t最小值为32a.当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0，即a0且a1，a(0,1).(2)t3ax，a0，函数t(x)在r上为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在若将本例中“3ax”改为“ax1”，试讨论f(x)的单调性解：要使函数f(x)loga(ax1)有意义，则ax10.当a1时，由ax10，得x0；当0a0，得x1时，函数的定义域为x|x0；当0a1时，函数的定义域为x|x0任取x11时，0ax11ax21，01.loga0，即f(x1)f(x2)；当0aax210，1.loga0，即f(x1)0，a1)为单调增函数 利用对数函数的性质研究对数型函数利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的4(2012上海高考改编)已知函数f(x)lg(x1)(1)若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的解析式解：(1)由得1x1.由0lg(22x)lg(x1)lg1得10，所以x122x10x10，解得x.由得x1时，对数函数的图象“上升”；当0a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限(3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系2个应用对数函数单调性的应用(1)比较对数式的大小：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较(2)解对数不等式：形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式. 数学思想利用数形结合思想，求解对数不等式问题中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合“数”与“形”反映了事物两个方面的属性我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的典例(2012新课标全国卷)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()a.b.c(1，) d(，2)解析01又4x2即可，解之得a，a(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()a， b， c(1， d(1， 解析：选b不等式logax(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a1，其整数解集为2,3,4，则应满足得a.2不等式ln xx1的解集为_解析：ln xx1ln x1x，于是作出函数yln x，y1x的图象，如图所示，于是可得不等式ln xx1的解集为x|0x1答案：x|0x11已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)等于()a.bcb db解析：选c易知f(x)的定义域为(1,1)，则f(x)lg lg f(x)，f(x)是奇函数f(a)f(a)b. 2(2013福州模拟)函数ylg|x1|的图象是()解析：选aylg|x1|a项符合题意3已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()af(3)f(2)f(1)bf(1)f(2)f(3)cf(2)f(1)f(3)df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数f(x)loga|x|为偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(1)f(2)1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为()anmp bmpncmnp dpmn解析：选b当a1时，a212a12aaaa10，因此有loga(a21)loga(2a)loga(a1)，即有mpn.5(2013丹东模拟)函数ylog2(x21)log2x的值域是()a0，) b(，)c1，) d(，11，)解析：选cylog2(x21)log2xlog2log2log221(x0)6(2013黄冈模拟)已知函数f(x)|log2x|，正实数m，n满足mn，且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则m，n的值分别为()a.，2 b.，4c.， d.，4解析：选a f(x)|log2x|根据f(m)f(n)(mn)及f(x)的单调性，知mn1且0m1.又f(x)在m2，n上的最大值为2，由图象知：f(m2)f(m)f(n)，f(x)maxf(m2)，xm2，n故f(m2)2，易得n2，m.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012北京高考)已知函数f(x)lg x若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.解析：f(x)lg x，f(ab)1.lg(ab)1.f(a2)f(b2)lg a2lg b22lg a2lg b2lg(ab)2.答案：28函数ylogax(a0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a的值为_解析：(1)当a1时，函数ylogax在2,4上是增函数，所以loga4loga21，即loga1，所以a2.(2)当0a1时，函数ylogax在2,4上是减函数，所以loga2loga41，即loga1，所以a.由(1)(2)知a2或a.答案：2或9若不等式x2logax0在内恒成立，则a的取值范围是_解析：不等式x2logax0在内恒成立，0a1，且loga.解得a0且a1)，如果对于任意的x都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围解：f(x)logax，当0a0，当a1时，|f(2)|loga loga2loga 0，|f(2)|总成立则y|f(x)|的图象如图要使x时恒有|f(x)|1，只需1，即1loga 1，即logaa1loga logaa，当a1时，得a1a，即a3；当0a1时，得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是3，)11设函数yf(x)且lg(lg y)lg(3x)lg(3x)(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性解：(1)lg(lg y)lg3x(3x)，lg y3x(3x)f(x)103x(3x)且0x3.(2)f(x)103x(3x)，设u3x(3x)3x29x32，则f(x)10u，当x(0,3)时，umax，u.f(x)(1,10(3)当01)，若函数yg(x)图象上任意一点p关于原点对称点q的轨迹恰好是函数f(x)的图象(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围解：(1)设p(x，y)为g(x)图象上任意一点，则q(x，y)，q(x，y)在f(x)的图象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x)(2)f(x)g(x)m，即loga m.设f(x)loga ，x0,1)，由题意知，只要f(x)minm即可f(x)loga loga在0,1)上是增函数，f(x)minf(0)0，故m0即为所求1化简下列各式：(1)lg 70lg 563lg ；(2).解：(1)原式lg(710)lg(78)lg lg 71lg 7lg 8lg 81.(2)原式1.2设alog ，blog ，clog3 ，则a，b，c的大小关系是()aabc bcbacbac dbca解析：选b由对数函数的性质知clog3 log ，由对数函数的单调性知log log log ，即cb0对xr恒成立u