高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案 新人教B版必修4.doc

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算基础知识基本能力1掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件(重点、难点)2理解单位向量的含义(重点)3理解轴上的基向量、向量的坐标及运算公式(重点、易错点)1能利用平行向量基本定理解决有关的共线或平行问题(重点、难点)2能正确地应用轴上向量坐标运算解决相关的几何问题(重点、易错点)3会求一个向量的单位向量，熟记公式a0.(重点)1平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.在平行向量基本定理中，为什么要规定b0?答：若b0，则0a，但00，从而ab中的实数具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数使得ab.归纳总结对定理的应用要从两个方面进行，由ab(b0)，可得ab；由ab，可得ab.要注意两向量平行与几何里的平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在基线重合的情况利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题【自主测试11】设a，b是两个非零向量，若8akb与kab共线，则实数k的值为()a2 b2 c2 d8解析：因为8akb与kab共线，故存在唯一的实数，使得8akb(kab)所以有解得k2.答案：c【自主测试12】下列选项中，a与b不一定共线的是()aa5e1e2，b2e210e1ba4e1e2，be1e2cae12e2，be22e1da3e13e2，b2e12e2解析：对于选项a，b2a；对于选项b，a4b；对于选项d，ab.所以选项a，b，d中的a与b一定共线故选c答案：c2单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量如果a的单位向量记作a0，则a|a|a0或a0.3轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向，根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe.反过来，任意给定一个实数x，总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)(2)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数实数与轴上的向量建立起一一对应关系(3)向量相等与两个向量的和：设ax1e，bx2e，如果ab，则x1x2；反之，如果x1x2，则ab.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和(4)向量的坐标常用ab表示，即abe.表示向量，而ab表示数量，且有abba0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点a的坐标为x1，点b的坐标为x2，则abx2x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点a的坐标为x1，点b的坐标为x2，则|ab|x2x1|.【自主测试21】在数轴上，a，b两点的坐标分别是3,5，则a，b两点的距离为()a8 b2 c3 d2答案：b【自主测试22】数轴上点a，b，c的坐标分别为1,1,5，则下列结论错误的是()a的坐标是2 b3c的坐标是4 d2答案：c关于平行向量基本定理的深入分析剖析：(1)对于向量a(a0)，b，如果存在一个实数，使ba，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|a|，那么当a与b同方向时，有ba，当a与b反方向时，有ba.(2)判断向量a(a0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数，使得ba.(3)判断a，b，c三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数，使得.(4)如果向量a与b不共线，且ab，那么0.(5)向量(1a2b)1a2b可以用平行四边形法则作出，如下图题型一 轴上向量的坐标运算【例题1】已知数轴上四点a，b，c，d的坐标分别是4，2，c，d.(1)若ac5，求c的值；(2)若|bd|6，求d的值；(3)若3，求证：34.解：(1)ac5，c(4)5，c1.(2)|bd|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)证明：，而3，(3)4.312.又44(3)12，故34.反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习向量计算的基础解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形题型二 平行向量基本定理的应用【例题2】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a，b，d三点共线；(2)若kab与akb共线，求k的值分析：(1)若证a，b，d三点共线，只需证明存在实数，使得即可(2)kab与akb共线，则一定存在实数，使kab(akb)，求出k值即可解：(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以6a6b6(ab)6.故与共线，且有公共点a，所以a，b，d三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使得kab(akb)，即(k)a(k1)b.因为a，b是不共线的非零向量，所以解得k1.故k的值为1.反思对于问题(1)，证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线对于问题(2)，先利用共线得到关于k的方程，再用待定系数法解决问题【例题3】在平行四边形oacb中，bdbc，od与ba相交于点e.求证：beba分析：证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线证明：如图，设e是线段ba上的一点，且beba设a，b，则a，ba.b，a，3，3(b)a，(a3b)，o，e，d三点共线，即e，e重合，beba反思若ab，则有|a|b|，当a，b时，|，从而oaob，即用平行向量基本定理可以证明两条平行或共线线段间的长度关系题型三易错辨析【例题4】已知a2c，b2c，求证：a与b共线错解：a2c，b2c，ba.a与b共线错因分析：忽略当c0时的特殊情况，要知道平行向量基本定理中的b0.正解：(1)当c0时，则a2c0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，此时a与b共线(2)当c0时，则a2c0，b2c0，ba(这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数1，使得ba成立)a与b共线综合(1)(2)可知，a与b共线1若e是a的单位向量，b与e的方向相反，且|b|3，|a|4，则()a b c d解析：由题意知b3e，a4e，所以ab，.答案：d2已知e10，r，ae1e2，b2e1，若ab，则()a0 be20ce1e2 de1e2或0解析：ab，存在实数k，使得akb，即(2k1)e1e2.e10，若2k10，则0或e20；若2k10，则e1e2，此时e1e2，又0与任何一个向量平行，有e1e2或0，故选d答案：d3在数轴x上，已知3e(e为x轴上的基向量)，且点b的坐标为3，则向量的坐标为_解析：由3e，得点a的坐标为3，则ab3(3)6，即的坐标为6.答案：64设e1，e2不共线，be1e2与a2e1e2共线，则实数的值为_解析：由题意，可设akb(kr)，则2e1e2ke1ke2.e1，e2不共线，解得.答案：5下面给出三个命题：非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量a与b共线，则存在唯一实数，使ab；若ab，则a与b共线其中真命题的序号为_解析：a与b所