专业课 微观经济学十八讲 十八讲答案 07-14

第七讲18%9.一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产相同的产品且每个工厂的生产函数都是q=(Ki Li) 1/2（i=1,2）,但是K1=25， K2=100，K 与L的租金价格由w=r=1元 给出。（1） 如果该企业家试图最小化短期生产总成本，产出应如何分配。（5%）minSTC= min125+L1 +L2S.T 5 L11/2+10L21/2 QL(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+l Q-(5 L11/2+10L21/2 ) F.O.C(一阶条件) :1=5/2*l* L1-1/21=10/2*l* L2-1/2将两式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2 =Q得q1=5* L11/2=1/5 Q ，q2=10* L21/2=4/5 Q（2） 给定最优分配，计算短期总成本、平均成本、边际成本曲线。产量为100、125、200时的边际成本是多少？（5%）STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125SAC(Q)=125/Q+Q/125SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2（3） 长期应如何分配？计算长期总成本、平均成本、边际成本。（5%）minLTC= min K1+ K2+L1 +L2S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2 QL(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+l Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 ) F.O.C 1=1/2*l*(K1/ L1 ) 1/2 1=1/2*l*(K2/ L2 ) 1/2 1=1/2*l*(L1/ K1 ) 1/2 1=1/2*l*(L2/ K2 ) 1/2从而有K1/ L1 =K2/ L2 ，K1=L1 ，K2= L2所以 L1+L2=Q,分配比例任意LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2（4） 如果两个厂商呈现规模报酬递减，则第三问会有什么变化？（3%）如果两个厂商呈现规模报酬递减则长期总成本、平均成本、边际成本均是产量的增函数。在规模报酬递减时利润最大化等价于成本最小化，所以有MR1= MR2=MR=MC1=MC2因为MC1 与 MC2是产量q1 与q2的增函数，所以必有q1 =q210%17. 证明第八讲10%3.如果某行业典型企业的pj (p,k * )=1/16*P 2 k * - k * (k * 为资本规模) ，市场需求为Q=294/P（1） 求典型企业的供给函数q j （3%）由霍太林引理知q j =pj (p,k * )/P=1/8*P k * 注：本题中的利润函数时短期利润函数，长期利润函数仅是价格的函数，与资本规模无关。（2） 求长期均衡价（3%）由完全竞争长期均衡的两个均衡条件之一：长期利润为零，知道pj (p,k * )=1/16*P 2 k * - k *=0，解得P=4（3） 求证k * 与J成反方向关系（4%）由完全竞争长期均衡的两个均衡条件之一：总供给等于总需求，得294/P=J*q j=1/8*P k * ,又P=4，所以J=147/ k * ,即证明了k * 与J成反方向关系18%9.中国电信的经理正在决策北京和石家庄固定电话定价问题，已知需求函数：石家庄为P1=a-Q1 ，北京为 P2=b-Q2 ，C(Q)=cQ (caP, Q1=a-P1 , Q2=b-P2 L(A,P)=2A+(P-c)(a+b-2P)+l 1 1/2*(a-P) 2 -A +l 2 (a-P) F.O.C（一阶条件） L/A=2-l 1 =0 l 1 =2 （1） L/P= a+b-2P-2*(P-c)- l 1 (a-P)- l 2 =0 (2) S.O.C (松弛条件) l 1 0，1/2*(a-P) 2 A，l 1 *1/2*(a-P) 2 -A = （1） l 2 0 aP , l 2 (a-P)=0 （2）因为l 1 =2，由松弛条件（1）得1/2*(a-P) 2 =A又aP， 由松弛条件（2）得l 2 =0所以将1/2*(a-P) 2 =A，l 2 =0代入一阶条件（2）得P=c+(b-a)/2 ,A=1/8*(3a-2c-b) 2p=1/4*(3a-2c-b) 2 +(b-a)(a-c)检验松弛条件，发现要使aP，必须c+(b-a)/22c+b;若3a2c+b则无内点解，角点解在P=a取得，也可说当Pa时，A0,p（a-c）(b-a)。一地经营：由第一小题易得P=c,A=1/2*(b-c) 2 , p，=1/2*(b-c) 2 最后只需比较两种战略下，谁的利润大就可以了。当3a2c+b时，p，=1/2*(b-c) 2（a-c）(b-a)= p,(注：p，-p=1/2*(b-a) 2 +1/2*(c-a) 20) 当3a2c+b时情况较复杂1） 若p，p 即5a2 -b2 +2c2 -8ac-2ab+4ac0时P=c,A=1/2*(b-c) 2 ；2) 若p，p 即5a2 -b2 +2c2 -8ac-2ab+4ac0时, P=c+(b-a)/2 ,A=1/8*(3a-2c-b) 24% (3) 若A=0，且P1 与 P2 可不同，求P1 ， P2 ，Q1 ，Q2 该问题等价于在两个市场上各有一个垄断厂商，只要根据MR=MC解就可以了。MR1 =a-2 Q1=c=MC 1 Q1=1/2*(a-c),P1=1/2*(a+c)MR2 =b-2 Q2=c=MC 2 Q2=1/2*(b-c),P2=1/2*(b+c)5% (4) 若A=0，但是P1 =P2求P与Q这里同样也有一个地区经营策略选择的问题。两地经营：max(P-c)( Q1 + Q2 )s.t Q1=a-P1 , Q2=b-P2, aP解得当3a2c+b 时P=1/4*(a+b+2c),Q=1/2*(a+b-2c), Q1=1/4*(3a-2c-b), Q2=1/4*(3b-2c-a)， p=1/8*（a+b-2c）(a+b+2c)当3a2c+b时无内点解，角点解在P=a取得，也可说当Pa时，p（a-c）(b-a)一地经营：由第三问知P=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c),p，=1/4*（b-c）2最后只需比较两种战略下，谁的利润大就可以了。当3a2c+b时，p，=1/4*(b-c) 2（a-c）(b-a)= p,(注：p，-p=1/4*(b+c-2a) 2 0) P=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c);当3a2c+b时情况较复杂1)若p，p 即a2 -b2 -6c2 +4bc+2ab0时,=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c)；2)若p，p 即a2 -b2 -6c2 +4bc+2ab0时, P=1/4*(a+b+2c),Q=1/2*(a+b-2c)24%13.一个歧视性垄断厂商在两个市场上销售，假设不存在套利机会，市场1的需求曲线为P1=100-1/2*q1 ，市场2的需求曲线为P2=100-q2 ，垄断厂商的总产量用Q= q1+ q2表示，成本函数依赖于TC(Q)=Q2(1) 垄断厂商的利润函数（5%）严格意义上来说垄断厂商没有利润函数，因为给定需求函数与成本函数，最大化的利润值就可求出来，换句话说垄断厂商由于可以操纵价格利润不再像完全竞争厂商那样表现为外生给定的某一个价格水平，这里恐怕要求的是垄断厂商的利润表达式以便第二三问的求解。p=p1+p2= P1（q1）*q1 +P2（q2）*q2 - TC(q1+ q2) =（100-1/2*q1）*q1+（100-q2）*q2 - (q1+ q2) 2 =100 q1+100 q2-3/2*q12-2*q22-2* q1*q2 （2）计算垄断厂商分别在两个市场上的利润最大化销售量。（6%）对第一问中的利润表达式求q1与q2的偏导得到：100-3 q1 -2q2=0 与100-4 q2 - 2q1=0,解得q1=25，q2=12.5，P1= P2=87.5（3）计算歧视性垄断的利润水平。(3%)p=87.5*(25+12.5)-37.5 2=1875（4）假设有一新的管理者接管这一企业，他决定将这一工厂分成两个工厂。工厂1的产品只在市场1销售，工厂2的产品只在市场2销售。分别计算两个工厂的利润最大化的产出水平。（3%） 这里相当于每个市场都有一个垄断厂商，要注意的是成本函数中相对应的产量现在变为分厂的产量，而不是总产量市场1：由MR1= MC1得100- q1=2 q1市场2：由MR2= MC2得100- 2q2=2 q2所以q1=100/3，q2=25（5）计算两个工厂的利润之合。（3%）p=p1+p2=100/3*500/5+25*75-25*25-100/3*100/32917（6）将一个工厂分成两个是增加还是减少了利润？利用规模报酬递增或递减理论来解释你对上述问题的回答。（3%）显然分成两个工厂来生产利润增加了，又因为C(q1+ q2 )= (q1+ q2 ) 2 C(q1)+ C( q2 )= q12 + q2 2所以是成本的非次可加性，即规模报酬递减，说明将同样的产量分成几个工厂来生产比单独一个工厂来生产成本要小，在价格不变的情况下，显然前者利润要高，即小规模生产更有效率。10%16考虑一个完全竞争的小麦市场。单个的小麦生产者都具有U型的长期平均成本曲线，并且在产量为1000蒲式耳时达到最低平均成本，每蒲式耳3美元（1） 如果对小麦的需求曲线为QD=2600000-200000P,求在长期均衡时小麦的P, QD, 及小麦市场的生产者个数（J）(3%) 由长期竞争均衡的特性知道均衡价格等于边际成本等于平均成本，即价格等于最低的平均成本3美元，QD=2600000-200000*3=2*10 6 , J= QS/qj= QD/qj=2*10 6/10 3=2000(2) 如果需求向外移动至QD=3200000-200000P,短期内小麦生产者不能调整产出，那么此时的市场价格时多少？典型厂商的利润又是多少？新的长期均衡结果怎样？（求P,Q,J）(7%)短期：QD= QS=2*10 6=3200000-200000P 所以P=6, p=(6-3)*1000=3000长期：价格仍为3美元，QD= QS=2*10 6=3200000-200000P=2.6*10 6 ,J= QS/qj= QD/qj=2.6*10 6/10 3=2600第九讲作业答案4 (1)TC果园1234产量125281926产量240373144产量365525174产量41007379116产量5145100115170AC果园1234产量125281926产量22037/231/222产量365/352/351/374/3产量42573/479/429产量529202334MC果园1234产量15346产量21591218产量325152030产量435212842产量545273654(2) 产品应交给边际成本最低的果园来生产。由MC表可看出： q1=2; q2=3; q3=3; q4=2.(3) 10 解：16 （1）（2） （3） 如果允许竞争，价格短期内可能会下降，但因为是自然垄断，长期将会排挤出竞争者。18 （1）错。均衡条件：市场供求相等；每个企业都达到利润最大化。 （2）错。现实中的寡头市场不一定满足Bertrand均衡的条件。如解释：Edgeworth解；博弈时序解；产品差异解。 （3）对。 （4）错。只要存在超额利润，就会有新的厂商加入，使长期均衡中超额利润消失。第十讲作业答案Johnj3 （1）1 2 3 1 2 3Smith3，-3-1，1-1，1-1，13，-3-1，1-1，1-1，13，-3为零和博弈，无纳什均衡。（2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，John选1的效用为：John选2的效用为：John选3的效用为：同理：John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，Smith选1的效用为：Smith选2的效用为Smith选3的效用为10 (1) 两个纳什均衡：（U，L，A）与（D，R，B）。(2) 若1，2结盟：3A B0,10-4,0-10,0-10,0-10,0-10,02, -5-2,5ULURDLDR1,2纳什均衡为（DR，B）。2L R若1，3结盟：10，0-5，-5-2，-2-5，-5-5，-5-4，1-5，-54，-1UAUBDADB1,3纳什均衡为（UA，L）和（DB，R）。2，3结盟收益矩阵同1，3结盟，纳什均衡为(U，LA)，(D，RB)。所以，在（U，L，A）中，1，2有结盟动机。12 （1）对。占优解必为纳什均衡。 （2）错。（坦白，坦白）为占优解，在他相信对方抵赖时，坦白会使自己效用提高。 （3）错。混合策略指的是概率。 第十一讲 1 （1）策略型表示：B厂商 (开发，不开发) (开发，开发) (不开发，不开发) (不开发，开发)(-3,-3)(-3,-3)(1,0)(1,0)(0,0)(0,1)(0,0)(0,1)开发A厂商不开发 ( 2 )纯策略纳什均衡（NE）为开发，(不开发，不开发) ，开发，(不开发，开发)，不开发，(开发，开发) （3）但SPNE只有一个即开发，(不开发，开发)，可以用反向归纳法求得。要注意的是求NE指的是求出局中人的策略组合，而非最后的得益结果，又因为B厂商有两个决策节，故而它的策略要分别讨论在每个决策节上的行动。 7 ( 1）策略型表示：进入者 进入 不进入(125*107 ，0.25*107)(2.5*107 ，0)(0.9*107 ，-0.1*107)(1.5*107 ，0)P=1000在位者P=600NE是 P=1000，进入 （2）扩大生产能力后进入者 进入 不进入(075*107 ，0.25*107)(2*107 ，0)(0.4*107 ，-0.1*107)(1.3*107 ，0)P=1000在位者P=600 NE是 P=1000，进入，可见在位者不仅不能制止进入，反而使自身的利润降低（注意：本题计算在位者的收益是没有减去他已经支付的固定成本的结果，因为滞留成本与定价决策无关，但是对进入者来说就不同了，他的收益必须是减去建厂初期的固定成本后得到的数） 10 (1) 策略型表示： 2 (L， L) (L， R) (R， L) (R， R) (3,1)(3,1)(1,2)(1,2)(2,1)(0,0)(2,1)(0,0)L1R ( 2 )纯策略纳什均衡NE为L，(R， R) ， R，(R， L) ,此题没有混合策略NE，因为2的(R， L) 弱 占 优于其他纯策略。 第十二讲 1 .垄断价格为使该行业总利润最大的价格P*,由MR=MC得a-2Q=C,所以Q*=1/2*(a-c),p*=1/2*(a+c)l 如果某个企业违反行业协议将价格降低一点点，则它可以获得整个市场,p0=（p-c）*Q=1/4*(a-c)2,但是从此后其他企业实行冷酷战略将价格降到c，(题目中说“一旦某个企业选择垄断价格，则”.,我怀疑这其中少了一个不字，即“一旦某个企业不选择垄断价格，则”)换句话说，从此后所有的企业利润都为零。该企业各期利润和即为p0l 如果该企业坚持垄断价格p*则每期获得利润1/n*1/4*(a-c)2,各期加总后总利润为1/n*1/4*(a-c)2/1-s所以要使垄断价格能维持下去只有1/n*1/4*(a-c)2/1-s1/4*(a-c)2，即n*(1-s)1,经济含义是行业中企业个数越多则对贴现因子的要求就越高，一旦现实的贴现因子达不到这个要求则企业就有背离和约的冲动。 4 卡特尔额度为使该经济总利润最大的每个企业的产量q*=1/n*Q*,由MR=MC得a-2Q=C,所以Q*=1/2*(a-c),p*=1/2*(a+c)l 如果每个企业坚持额度q*则每期获得利润1/n*1/4*(a-c)2,各期加总后总利润为1/n*1/4*(a-c)2/(1-d)l 如果某个企业违反协议提高产量q则它有可能获得比额度下更高的利润：固定其他企业的产量q= q*=1/2*1/n*(a-c)该企业要实现利润最大就必须使MR=MC,即a-1/2*(n-1)/n*(a-c)-2q=c,解得q,=1/4*(a-c)*(n+1)/n q*=1/2*1/n*(a-c) ,p0=(p-c)*q=a-1/2*(n-1)/n*(a-c )- 1/4*(a-c)*(n+1)/n-