高考数学 第八章 第五节 曲线与方程课件 理 新人教A版.pptVIP

第五节曲线与方程 1 曲线与方程一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是 2 以这个方程的解为坐标的点都是 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 2 求动点的轨迹方程的基本步骤 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 方程x2 xy x的曲线是一个点和一条直线 3 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 4 方程y 与x y2表示同一曲线 解析 1 正确 由f x0 y0 0可知点p x0 y0 在曲线f x y 0上 又p x0 y0 在曲线f x y 0上时 有f x0 y0 0 f x0 y0 0是p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 错误 方程变为x x y 1 0 x 0或x y 1 0 故方程表示直线x 0或直线x y 1 0 3 错误 当以两条互相垂直的直线为x轴 y轴时 是x2 y2 否则不正确 4 错误 因为方程y 表示的曲线 只是方程x y2表示曲线的一部分 故不正确 答案 1 2 3 4 1 方程y 表示的曲线是 a 抛物线的一部分 b 双曲线的一部分 c 圆 d 半圆 解析 选d 因为y y 0 x2 y2 9 y 0 表示一个半圆 2 已知定点p x0 y0 不在直线l f x y 0上 则方程f x y f x0 y0 0表示一条 a 过点p且垂直于l的直线 b 过点p且平行于l的直线 c 不过点p但垂直于l的直线 d 不过点p但平行于l的直线 解析 选b 显然定点p x0 y0 满足方程f x y f x0 y0 0 即直线f x y f x0 y0 0过点p 设直线l f x y 0的方程为ax by c 0 即f x y ax by c f x y f x0 y0 0的方程为 ax by c ax0 by0 c 0 ax by ax0 by0 0与l平行 综上可知 b正确 3 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则q点的轨迹方程是 a 2x y 1 0 b 2x y 5 0 c 2x y 1 0 d 2x y 5 0 解析 选d 由题意知 m为pq中点 设q x y 则p点坐标为 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 4 已知 abc的顶点b 0 0 c 5 0 ab边上的中线长 cd 3 则顶点a的轨迹方程为 解析 设点a x y 因为b 0 0 所以ab的中点d 又c 5 0 cd 3 所以 3 化简得 x 10 2 y2 36 又 abc中的三点a b c不能共线 所以去掉点 4 0 和 16 0 答案 x 10 2 y2 36 除去点 4 0 和 16 0 考向1利用直接法求轨迹方程 典例1 1 2012 江西高考改编 已知三点o 0 0 a 2 1 b 2 1 若曲线c上任意一点m x y 满足 2 则曲线c的方程为 2 已知直角坐标平面上的点q 2 0 和圆c x2 y2 1 动点m到圆c的切线长与 mq 的比等于常数 0 求动点m的轨迹方程 思路点拨 1 直接依据 2 利用向量有关运算化简得x y的方程 2 可设出动点m的坐标 依据动点m到圆c的切线长与 mq 的比等于常数 0 即可得出方程 规范解答 1 由 2 x 1 y 2 x 1 y x y 0 2 2y 由已知得 2y 2 化简得曲线c的方程为x2 4y 答案 x2 4y 2 设直线mn切圆c于n点 则动点m的集合为 p m mn mq 因为圆c的半径 cn 1 所以 mn 2 mc 2 cn 2 mc 2 1 设点m的坐标为m x y 则 化简整理得 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 0 互动探究 本例题 2 中的条件不变 求动点m的轨迹 解析 由例题解析可知 曲线的方程为 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 0 因为 0 所以当 1时 方程化为4x 5 0 它表示一条直线 当 1时 方程化为 它表示圆心为 0 半径为的圆 拓展提升 1 直接法求曲线方程的一般步骤 1 建立恰当的坐标系 设动点坐标 x y 2 列出几何等量关系式 3 用坐标条件变为方程f x y 0 4 变方程为最简方程 5 检验 就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性 2 直接法适合求解的轨迹类型 1 若待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的等量关系 而该等量关系又易于表达成含x y的等式时 一般用直接法求轨迹方程 2 题目给出了等量关系 直接代入即可得方程 变式备选 1 2013 湛江模拟 已知a 3 0 b 3 0 pa pb 6 则点p的轨迹为 解析 设p的坐标为p x y pa pb 6 6 6 3 x 化简可得y 0 3 x 3 即线段ab 答案 线段ab 2 已知点m n为两个定点 mn 6 且动点p满足 6 求点p的轨迹方程 解析 以点m n所在的直线为x轴 mn的中点o为坐标原点 建立平面直角坐标系 则m 3 0 n 3 0 设p x y 则 3 x y 3 x y 3 x y 3 x y 又因为 6 所以 3 x y 3 x y 6 化简整理得 x2 y2 15 考向2利用定义法求轨迹方程 典例2 1 2013 北京模拟 abc的顶点a 5 0 b 5 0 abc的内切圆圆心在直线x 3上 则顶点c的轨迹方程是 2 2013 临沂模拟 已知a 0 b是圆f x 2 y2 4 f为圆心 上一动点 线段ab的垂直平分线交bf于p 求动点p的轨迹方程 思路点拨 1 根据题设条件 寻找动点c与两定点a b距离的差满足的等量关系 ca cb 6 由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分 再求其方程 2 根据题设条件 寻找动点p与两点a f距离的和满足的等量关系 pa pf 2 用定义法求方程 规范解答 1 如图 ad ae 8 bf be 2 cd cf 所以 ca cb 8 2 6 根据双曲线的定义 所求轨迹是以a b为焦点 实轴长为6的双曲线的右支 方程为 1 x 3 答案 1 x 3 2 如图 连接pa 依题意可知 pa pb pa pf pb pf bf 2 1 p点轨迹为以a 0 f 0 为焦点 长半轴长为1的椭圆 设其方程为 1 又 c a 1 b2 a2 c2 故p点的轨迹方程为x2 y2 1 拓展提升 定义法适合所求轨迹的特点及求解关键 1 特点 求轨迹方程时 若动点与定点 定线间的等量关系满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可直接根据定义先确定轨迹类型 再写出其方程 2 关键 理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 提醒 利用定义法求轨迹方程时 还要看所求轨迹是否是完整的圆 椭圆 双曲线 抛物线 如果不是完整的曲线 则应对其中的变量x或y进行限制 变式训练 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明它是什么曲线 解析 如图所示 设动圆圆心m的坐标为 x y 半径为r 设已知圆的圆心分别为o1 o2 将圆的方程分别配方得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当动圆与圆o1相外切时 有 o1m r 2 当动圆与圆o2相内切时 有 o2m 10 r 将 两式相加 得 o1m o2m 12 o1o2 动圆圆心m x y 到点o1 3 0 和o2 3 0 的距离和是常数12 所以点m的轨迹是焦点为o1 3 0 o2 3 0 长轴长等于12的椭圆 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 圆心m的轨迹方程为 1 轨迹为椭圆 考向3利用相关点 代入 法 参数法求轨迹方程 典例3 1 2012 辽宁高考改编 如图 椭圆c0 1 a b 0 a b为常数 动圆c1 x2 y2 b t1 a 点a1 a2分别为c0的左 右顶点 c1与c0相交于a b c d四点 则直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程为 2 2012 湖北高考改编 设a是单位圆x2 y2 1上的任意一点 l是过点a与x轴垂直的直线 d是直线l与x轴的交点 点m在直线l上 且满足 dm m da m 0 且m 1 当点a在圆上运动时 记点m的轨迹为曲线c 求曲线c的方程 判断曲线c为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 思路点拨 1 由a b点的对称性 可设出它们的坐标 根据直线方程的点斜式写出直线aa1 a2b的方程 由条件得到交点坐标满足的关系 消去所设参数得轨迹方程 2 解答本题的关键是把点m的坐标设出 利用代入法求轨迹 规范解答 1 设a x1 y1 b x1 y1 又知a1 a 0 a2 a 0 则直线a1a的方程为y x a 直线a2b的方程为y x a 由 得y2 x2 a2 由点a x1 y1 在椭圆c0上 故 1 从而代入 得 1 x a y 0 答案 1 x a y 0 2 设m x y a x0 y0 则由 dm m da m 0 且m 1 可得x x0 y m y0 所以x0 x y0 y 因为a点在单位圆上运动 所以 1 将 式代入 式即得所求曲线c的方程为x2 1 m 0 且m 1 因为m 0 1 1 所以当01时 曲线c是焦点在y轴上的椭圆 两焦点坐标分别为 0 0 拓展提升 1 相关点法 代入法 适用的轨迹类型及使用过程动点所满足的条件不易得出或转化为等式 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律地运动 而且动点q的轨迹方程为给定的或容易求得的 则可先将x y 表示成x y的式子 再代入q的轨迹方程 整理化简即得动点p的轨迹方程 提醒 用代入法求轨迹方程是将x y 表示成x y的式子 同时注意x y 的限制条件 2 参数法适用的轨迹类型及使用过程有时求动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但却较易发现 或经分析可发现 这个动点的运动常常受到另一个或两个变量 斜率 比值 截距或坐标等 的制约 即动点坐标 x y 中的x y分别随另外变量的变化而变化 我们可称这些变量为参数 建立轨迹的参数方程 这种方法叫参数法 如果需要得到轨迹的方程 只要根据参数满足的约束条件消去参数即可 变式训练 已知抛物线y2 4px p 0 o为顶点 a b为抛物线上的两动点 且满足oa ob 如果om ab于m点 求点m的轨迹方程 解析 设m x y 当直线ab斜率存在时 设直线ab方程为y kx b 由om ab得k 由y2 4px及y kx b消去y 得k2x2 x 2kb 4p b2 0 所以x1x2 消去x 得ky2 4py 4pb 0 所以y1y2 由oa ob 得y1y2 x1x2 所以 b 4kp 故y kx b k x 4p 把k 代入 得x2 y2 4px 0 x 0 当直线ab斜率不存在时 m点坐标为 4p 0 适合 式 所以m的轨迹方程为x2 y2 4px 0 x 0 满分指导 解答求轨迹方程的综合题 典例 12分 2012 湖南高考 在直角坐标系xoy中 曲线c1上的点均在圆c2 x 5 2 y2 9外 且对c1上任意一点m m到直线x 2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值 1 求曲线c1的方程 2 设p x0 y0 y0 3 为圆c2外一点 过p作圆c2的两条切线 分别与曲线c1相交于点a b和c d 证明 当p在直线x 4上运动时 四点a b c d的纵坐标之积为定值 思路点拨 规范解答 1 方法一 设m的坐标为 x y 由已知得 x 2 3 2分易知圆c2上的点位于直线x 2的右侧 于是x 2 0 所以 x 5 3分化简得曲线c1的方程为y2 20 x 4分 方法二 由题设知 曲线c1上任意一点m到圆心c2 5 0 的距离等于它到直线 x 5的距离 2分因此 曲线c1是以 5 0 为焦点 直线x 5为准线的抛物线 3分故其方程为y2 20 x 4分 2 当点p在直线x 4上运动时 p的坐标为 4 y0 又y0 3 则过p且与圆c2相切的直线的斜率k存在且不为0 每条切线都与抛物线有两个交点 设切线方程为y y0 k x 4 即kx y y0 4k 0 6分于是 3 整理得72k2 18y0k 9 0 a 7分设过p所作的两条切线pa pc的斜率分别为k1 k2 则k1 k2是方程 a 的两个实根 故k1 k2 b 8分由得k1y2 20y 20 y0 4k1 0 c 9分设四点a b c d的纵坐标分别为y1 y2 y3 y4 则y1 y2是方程 c 的两个实根 所以y1y2 d 同理可得y3y4 e 10分于是由 b d e 三式得 y1y2y3y4 6400 所以 当p在直线x 4上运动时 四点a b c d的纵坐标之积为定值6400 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 韶关模拟 方程 x y lgx lgy 0表示的曲线是 a 一条直线和一条双曲线 b 两条双曲线 c 两个点 d 以上答案都不对 解析 选d x y lgx lgy 0 x y 0或lg xy 0 x 0 y 0 y x或y x 0 y 0 故方程表示直线y x和双曲线y 中x 0的部分 所以选d 2 2013 佛山模拟 圆o x2 y2 16 a 2 0 b 2 0 为两个定点 直线l是圆o的一条切线 若经过a b两点的抛物线以直线l为准线 则抛物线焦点所在的轨迹是 a 双曲线 b 椭圆 c 抛物线 d 圆 解析 选b 设抛物线的焦点为f 点a b到直线l的距离分别为 am bn 因为a b在抛物线上 所以由抛物线的定义知 a b到f的距离af bf分别等于a b到准线l的距离 am bn 于是 af bf am bn 过o作op l 由于l是圆o的一条切线 所以四边形amnb是直角梯形 op是中位线 故有 af bf am bn 2 op 8 4 ab 根据椭圆的定义知 焦点f的轨迹是一个椭圆 3 2013 广州模拟 已知 3 a b分别在y轴和x轴上运动 o为原点 则动点p的轨迹方程是 a y2 1 b x2 1 c y2 1 d x2 1 解析 选a 设a 0 y0 b x0 0 p x y 则由 3得 9 又因为 x y 0 y0 x0 0 由得x y 因此x0 y0 3y 将其代入 9得 y2 1 4 2013 河源模拟 直线 1与x y轴交点的中点的轨迹方程是 解析 设直线 1与x y轴交点为a a 0 b 0 2 a a b中点为m x y 则x y 1 消去a 得x y 1 a 0 a 2 x 0且x 1 答案 x y 1 x 0且x 1 1 已知真命题 若a为 o内一定点 b为 o上一动点