高中数学 1.6余弦函数的图像和性质课件 北师大版必修4 .ppt

五点法 画函数的图像 1 应用范围 画形如y asinx b 或y acosx b x 0 2 的函数的图像 五点法 画函数的图像 2 基本步骤 列表 取x 0 2 求出相应的y值 确定点的坐标 描点 用光滑的曲线连线成图 要注意用五点法画正 余弦函数图像的区别与联系 例1 画出y 2cosx 1在 0 2 上的图像 审题指导 解答本题关键是画出x 0 2 时图像上的点的位置 规范解答 按五个关键点列表 描点画出图像 如下 互动探究 画出y 1 2cosx在 0 2 上的图像 解析 1 有关函数奇偶性的结论 1 奇函数的图像关于原点成中心对称图形 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形 2 对于奇函数 当x 0属于定义域时必有f 0 0 对于偶函数 任意x属于定义域都有f x f x 函数奇偶性的判断及应用 2 函数奇偶性的应用 1 画关于原点对称的区间上的图像 2 判断函数的单调性 或比较函数值的大小 3 求函数的解析式 例2 已知函数y f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x sin2x cosx 求f x 审题指导 由已知得f x f x f 0 0 可由此求出x 0 x 0时f x 的解析式 规范解答 函数y f x 是定义在r上的奇函数 f x f x f 0 f 0 f 0 0当x 0时 x 0 f x f x sin2 x cos x sin2x cosx 变式训练 若函数f x 是偶函数 且当x 0时 有f x cos3x sin2x 求当x 0时 f x 的表达式 解题提示 解答本题可以利用函数f x 是偶函数的性质f x f x 根据x 0时的解析式求出x 0时的解析式 解析 函数f x 是偶函数 f x f x 当x 0时 x 0 f x f x cos3 x sin2 x cos3x sin2x 求函数的最大值 最小值的方法 1 直接法 根据函数值域的定义 由自变量的取值范围求出函数值的取值范围 2 利用函数的单调性 3 利用函数的图像 转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题 4 利用换元法 转化为一次函数 二次函数 指数函数 对数函数等基本初等函数问题 求函数的最大值 最小值 例3 2011 上饶高一检测 已知x 1 求函数y cosx的值域 2 求函数y 3 1 cos2x 4cosx 4的最大值 最小值 审题指导 1 函数y cosx在区间上是先增后减的函数 求其值域可利用函数图像 2 可用换元法 转化为求二次函数的最大值 最小值 规范解答 1 画出函数y cosx x 的图像 如图所示 由图像可知 当x 0时 函数取最大值1 当时 函数取最小值 函数y cosx x 的值域为 2 原函数可化为y 3cos2x 4cosx 1令t cosx 则由 1 知t 当时 函数取最大值 当时 函数取最小值 函数y 3 1 cos2x 4cosx 4 x 的最大值为 最小值为 变式训练 定义运算a b为 例如 1 2 1 求函数f x sinx cosx x 0 2 的值域 解题提示 解答本题可首先根据sinx与cosx的大小关系 确定函数f x 的解析式 然后画出函数图像 最后依据图像写出值域 解析 由题意得画出函数图像如下图所示由图像可知f x sinx cosx x 0 2 的值域为 例 已知函数y1 a bcosx x r的最大值为 最小值为 试求函数y2 b acosx的最大值 并写出取得最大值时自变量x的集合 审题指导 解答本题可先利用待定系数法求出a b的值 然后求函数y2 b acosx的最大值 规范解答 函数y1的最大值是 最小值是 当b 0时 解得 当cosx 1时 取最大值 此时自变量x的集合为 x x 2k 1 k z 当b 0时 解得当cosx 1时 取最大值 此时自变量x的集合为 x x 2k 1 k z 变式备选 已知f x 2cosx a 2 a为常数 若x 时 f x 的最小值为2 求a的值 解析 x 由函数y cosx的图像可知 cosx cos0 即 令t cosx则f x g t 2t a 2 此函数在t 上是增加的 所以当时 g t 取最小值 即f x 取最小值a 1 由已知得a 1 2 所以a 1 典例 12分 1 已知 是锐角三角形的两个内角 试证明 cos sin 2 已知 abc中 a b cosa sinb 试判断 abc的形状 审题指导 1 由题意知 且 可利用余弦函数的单调性证明 2 由cosa sinb得 据此判断自变量a与的关系 规范解答 1 是锐角三角形的两个内角 且 2分又 y cosx在区间 0 上是减少的 4分 2 cosa sinb 6分 a b 8分又 y cosx在区间 0 上是减少的 10分又 a b c abc是锐角三角形 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 不求值 比较下列各对余弦值的大小 1 cos1155 和cos 1516 2 与 3 与 解析 1 cos1155 cos 3 360 75 cos75 cos 1516 cos1516 cos 4 360 76 cos76 y cosx在上是减少的 且0 75 76 90 cos75 cos76 即cos1155 cos 1516 2 y cosx在 0 上是减少的 且 即 3 y cosx在 0 上是减少的 且 即 1 下列关于y cosx x r的图像描述错误的是 a 在 0 2 和 4 6 上的图像形状相同 只是位置不同 b 介于直线y 1与直线y 1之间 c 关于x轴对称 d 与y轴仅有一个交点 解析 选c y cosx x r的图像关于y轴对称 故c错误 2 函数y cosx x 的值域是 a 0 1 b 1 1 c d 解析 选a 画出函数y cosx x 的图像如图由图像可知 x 0时 y cosx取最大值1 时 y cosx取最小值0 所以值域为 0 1 3 设集合p x sinx 1 x r q x cosx 1 x r 则 a p q b pq c p q d p q 解析 选a 由sinx 1得 k z p 由cosx 1得x 2k 1 k z q x x 2k 1 k z p q 4 函数y 2cosx 10取最小值时 自变量x的集合是 解析 当cosx 1时 y 2cosx 10取最小值8 此时 自变量x的集合为 x x 2k k z 答案 x x 2k k z 5 用 或 填空 1 cos15 cos20 2 解析 y cosx在 0 上是减少的 且0 15 20 90 cos15 cos20 答案 1 2 6 判断下列函数的奇偶性 1 f x cos 2 x x3 sinx 2 g x 3 h x 解析 1 函数f x 的定义域r关于原点对称 又因为f x cosx x3 sinx 所以f x cos x x 3 si