高考数学 第八章 第八节 抛物线课件 理 新人教A版.ppt

第八节抛物线 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 1 在平面内 2 动点到定点f的距离与到定直线l的距离 3 定点 定直线上 相等 不在 2 抛物线的标准方程与几何性质 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py o 0 0 y 0 x轴 x 0 y轴 0 0 0 0 1 x x y y x 0 y r x 0 y r y 0 x r y 0 x r x0 x0 y0 y0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 ab为抛物线y2 2px p 0 的过焦点f 0 的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 ab x1 x2 p 解析 1 错误 当定点在定直线上时 轨迹为过定点f与定直线l垂直的一条直线 而非抛物线 2 错误 方程y ax2 a 0 可化为x2 y 是焦点在y轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是y 3 错误 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 4 正确 当ab斜率不存在时 ab方程为x 结论显然成立 当ab斜率存在时 设ab的方程为y k x 与y2 2px p 0 联立消去y得 k2x2 p 2 k2 x 0 x1 x2 x1x2 又y1 k x1 y2 k x2 y1y2 k2 x1x2 x1 x2 k2 p2 由抛物线定义得 af x1 bf x2 ab af bf x1 x2 p 答案 1 2 3 4 1 坐标平面内到定点f 1 0 的距离和到定直线l x 1的距离相等的点的轨迹方程是 a y2 2x b y2 2x c y2 4x d y2 4x 解析 选d 由抛物线的定义知点的轨迹是以f 1 0 为焦点的抛物线 且 1 p 2 故方程为y2 4x 2 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合 则p的值为 a 2 b 2 c 4 d 4 解析 选d 椭圆 1的右焦点为 2 0 所以 2 即p 4 3 抛物线y 8x2的准线方程为 a x 2 b x c y d y 解析 选d 抛物线y 8x2的标准方程为x2 y 焦点在y轴上 且2p p 准线方程为y 4 线段ab是抛物线y2 x的一条焦点弦 若 ab 4 则弦ab的中点到直线x 0的距离等于 解析 设a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 4 x1 x2 弦ab的中点的横坐标为 中点到直线x 0的距离为 答案 5 抛物线y2 4ax的焦点坐标是 解析 当a 0时 抛物线开口向右 2p 4a a 因此焦点坐标为 0 a 0 当a 0时 抛物线开口向左 2p 4a a 因此焦点坐标为 0 a 0 答案 a 0 考向1抛物线的定义及其应用 典例1 1 2013 珠海模拟 已知动圆过定点f 0 且与直线x 相切 其中p 0 则动圆圆心的轨迹e的方程为 2 2012 安徽高考 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 若 af 3 则 bf 3 已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 思路点拨 1 利用已知条件得到动点满足的等量关系 再结合抛物线定义 先定形状 再求方程 2 利用抛物线的定义求出a点坐标 将直线af的方程与y2 4x联立 求出b点坐标 再利用抛物线定义求出 bf 3 利用抛物线的定义 将点p到准线的距离转化为点p到焦点的距离 数形结合求解 规范解答 1 设m为动圆圆心 过点m作直线x 的垂线 垂足为n 由题意知 mf mn 即动点m到定点f 0 与定直线x 的距离相等 由抛物线定义知 点m的轨迹为抛物线 其中f 0 为焦点 x 为准线 所以轨迹方程为y2 2px p 0 答案 y2 2px p 0 2 由题意知 抛物线的焦点f的坐标为 1 0 又 af 3 由抛物线定义知 点a到准线x 1的距离为3 点a的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 由图知 y 2 a 2 2 直线af的方程为y 2 x 1 又解得或由图知 点b的坐标为 bf 1 答案 3 如图 由抛物线的定义知 点p到该抛物线的准线的距离等于点p到其焦点的距离 因此点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和即为点p到点 0 2 的距离与点p到焦点的距离之和 显然当p0 f 0 2 三点共线时 距离之和取得最小值 最小值等于答案 互动探究 在本例题 2 的条件下 如何求 aob的面积 解析 由题 2 的解析知a 2 b s aob of ya yb 拓展提升 利用抛物线的定义可解决的两类问题 1 轨迹问题 用抛物线的定义可以确定动点与定点 定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 2 距离问题 涉及抛物线上的点到焦点的距离 到准线的距离问题时 注意两者之间的转化在解题中的应用 变式备选 设m x0 y0 为抛物线c x2 8y上一点 f为抛物线c的焦点 以f为圆心 fm 为半径的圆和抛物线c的准线相交 则y0的取值范围是 a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解析 选c 圆心到抛物线准线的距离为p 即4 根据已知只要 fm 4即可 根据抛物线定义 fm y0 2由y0 2 4 解得y0 2 故y0的取值范围是 2 考向2抛物线的标准方程与性质 典例2 1 2013 汕头模拟 已知抛物线x2 ay的焦点恰好为双曲线y2 x2 2的上焦点 则a等于 a 1 b 4 c 8 d 16 2 2013 肇庆模拟 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n 则 a n 0 b n 1 c n 2 d n 3 3 2012 山东高考 已知双曲线c1 1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2 则抛物线c2的方程为 a b c x2 8y d x2 16y 思路点拨 1 由条件求出抛物线 双曲线的公共焦点坐标 根据焦点相同求a 2 利用抛物线的性质及正三角形的性质 数形结合求解 3 先利用离心率为2 求出渐近线方程 再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p 从而求解 规范解答 1 选c 根据抛物线方程可得其焦点坐标为 0 双曲线的上焦点为 0 2 依题意则有 2 解得a 8 2 选c 根据抛物线的对称性 正三角形的两个顶点一定关于x轴对称 且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30 和150 这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点 如图 所以正三角形的个数n 2 3 选d 因为双曲线c1 1 a 0 b 0 的离心率为2 双曲线的渐近线方程为x y 0 抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点f 0 到双曲线c1的渐近线的距离为 2 p 8 所求的抛物线方程为x2 16y 拓展提升 1 求抛物线的标准方程的方法及流程 1 方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以只需一个条件确定p值即可 2 流程 因为抛物线方程有四种标准形式 因此求抛物线方程时 需先定位 再定量 2 确定及应用抛物线性质的关键与技巧 1 关键 利用抛物线方程确定及应用其焦点 准线等性质时 关键是将抛物线方程化成标准方程 2 技巧 要结合图形分析 灵活运用平面几何的性质以图助解 变式训练 1 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 a b 1 c 2 d 4 解析 选c 由y2 2px 得抛物线准线方程为x 圆x2 y2 6x 7 0可化为 x 3 2 y2 16 由圆心到准线的距离等于半径得 3 4 所以p 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上的抛物线的标准方程是 解析 令x 0得y 2 令y 0 得x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 4 p 8 此时抛物线方程为y2 16x 当焦点为 0 2 时 2 p 4 此时抛物线方程为x2 8y 所求抛物线方程为y2 16x或x2 8y 答案 y2 16x或x2 8y 考向3直线与抛物线的综合问题 典例3 2013 广州模拟 如图所示 f是抛物线x2 2py p 0 的焦点 点r 1 4 为抛物线内一定点 点q为抛物线上一动点 qr qf 的最小值为5 1 求抛物线的方程 2 已知过点p 0 1 的直线l与抛物线x2 2py p 0 相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 l1 l2分别是该抛物线在a b两点处的切线 m n分别是l1 l2与直线y 1的交点 求直线l的斜率的取值范围 并证明 pm pn 思路点拨 1 利用抛物线定义借助数形结合寻找到 qr qf 取最小值为5的条件 构建p的方程求解 2 建立l的方程并与x2 2py p 0 联立消去y得一元二次方程 使判别式 0求斜率的取值范围 再建立l1 l2的方程 只需证明xm xn 0即xn xm即可 规范解答 1 设抛物线的准线为l 过q作qq l于q 过r作rr l于r 由抛物线定义知 qf qq qr qf qr qq rr 折线段大于垂线段 当且仅当r q r 三点共线时取等号 由题意知 rr 5 即4 5 p 2 故抛物线的方程为x2 4y 2 由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0 设直线l y kx 1 则 x2 4kx 4 0 依题意 有 16k2 16 0 k1 由x2 4y y y x 所以抛物线在a处的切线l1的方程为y x1 x x1 即y 令y 1 得xm 同理 得xn 注意到x1 x2是方程 的两个实根 故x1x2 4 即x2 从而有xn xm 因此 pm pn 拓展提升 1 直线与抛物线的位置关系问题设直线方程ax by c 0与抛物线方程y2 2px p 0 联立 消去x得到关于y的方程my2 ny l 0 1 位置关系与其判别式 的关系 2 相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系 采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 2 与焦点弦有关的常用结论 如图所示 1 y1y2 p2 x1x2 2 ab x1 x2 p 为ab的倾斜角 3 s aob 为ab倾斜角 4 为定值 5 以ab为直径的圆与准线相切 6 以af或bf为直径的圆与y轴相切 7 cfd 90 变式训练 已知抛物线c y mx2 m 0 焦点为f 直线2x y 2 0交抛物线c于a b两点 p是线段ab的中点 过p作x轴的垂线交抛物线c于点q 1 求抛物线c的焦点坐标 2 若抛物线c上有一点r xr 2 到焦点f的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 解析 1 抛物线c x2 y 它的焦点f 0 2 rf yr 2 3 得m 3 存在 联立方程消去y得mx2 2x 2 0 依题意 有 2 2 4 m 2 0 m 设a x1 m b x2 m 则 p是线段ab的中点 p 即p yp q 得 若存在实数m 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 则 0 即 0 结合 化简得 4 0 即2m2 3m 2 0 m 2或m 而2 存在实数m 2 使 abq是以q为直角顶点的直角三角形 满分指导 直线与抛物线综合题的规范解答 典例 12分 2012 新课标全国卷 设抛物线c x2 2py p 0 的焦点为f 准线为l a为c上一点 已知以f为圆心 fa为半径的圆f交l于b d两点 1 若 bfd 90 abd的面积为4求p的值及圆f的方程 2 若a b f三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与c只有一个公共点 求坐标原点到m n距离的比值 思路点拨 规范解答 1 由抛物线的对称性可得 bfd为等腰直角三角形 bd 2p 圆f的半径 fa p 由抛线线定义可知a到l的距离d fa p 因为 abd的面积为所以即解得p 2 舍去 或p 2 3分所以f 0 1 圆f的方程为x2 y 1 2 8 5分 2 因为a b f三点在同一直线m上 所以ab为圆f的直径 adb 90 由抛物线定义知 ad fa ab 所以 abd 30 m的斜率为或 7分当m的斜率为时 由已知可设n y x b 代入x2 2py得x2 px 2pb 0 由于n与c只有一个公共点 故 p2 8pb 0 解得b 因为m的纵截距b1 3 所以坐标原点到m n距离的比值为3 当m的斜率为时 由图形对称性可知 坐标原点到m n距离的比值为3 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 珠海模拟 已知抛物线c y 4x2 若存在定点a与定直线l 使得抛物线c上任一点p 都有点p到点a的距离与点p到l的距离相等 则定点a到定直线l的距离为 a b c 2 d 4 解析 选a 由题意知定点a即为焦点 0 定直线l即为准线y 于是定点a到定直线l的距离为 2 2012 陕西高考 如图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水位下降1米后 水面宽 米 解析 建立适当的坐标系 如图所示 设抛物线方程为x2 2py p 0 则点 2 2 在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是x2 2y 当y 3时x2 2 3 6 所以x 水面宽是米 答案 3 2012 北京高考 在直角坐标系xoy中 直线l过抛物线y2 4x的焦点f 且与该抛物线相交于a b两点 其中点a在x轴上方 若直线l的倾斜角为60 则 oaf的面积为 解析 抛物线y2 4x的焦点f 1 0 直线l y x 1 由解得a 3 b 所以s oaf 1 答案 4 2012 浙江高考 如图 在直角坐标系xoy中 点p 1 到抛物线c y2 2px p 0 的准线的距离为点m t 1 是c上的定点 a b是c上的两动点 且线段ab被直线om平分 1 求p t的值 2 求 abp面积的最大值 解析 1 点p 1 到抛物线c y2 2px p 0 的准线的距离为可得准线方程为x 所以抛物线c y2 x p 点m t 1 是c上的点 所以t 1 2 设动点a x1 y1 b x2 y2 直线ab的斜率为k 线段ab的中点为q m m 由得 y1 y2 y1 y2 x1 x2 所以2km 1 直线ab的方程为y m x m 即x 2my 2m2 m 0 由消去x 整理得y2 2my 2m2 m 0 所以 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1 y2 2m2 m 从而 设点p到直线ab的距离为d 则d 设 abp的面积为s 则s 由 4m 4m2 0可得0 m 1 令u 0 u 则s u 1 2u2 设s u u 1 2u2 0 u 则s u 1 6u2 由s u 0 得u 0 所以s u max s 故 abp的面积的最大值为 1 已知椭圆c1 抛物线c2的焦点均在x轴上 c1的中心和c2的顶点均为原点o 从每条曲线上取两个点 将其坐标记录于下表中 1 求c1 c2的标准方程 2 请问是否存在直线l满足条件 过c2的焦点f 与c1交于不同两点m n 且满足 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解析 1 设抛物线c2 y2 2px p 0 则有 2p 据此验证4个点知 3 4 4 在抛物线上 易求c2 y2 4x 设c1 1 a b 0 把点 2 0 代入得解得 c1的方程为 y2 1 综上 c1的方程为 y2 1 c2的方程为y2 4x 2 存在 假设存在这样的直线l 设其方程为x 1 my 两交点坐标为m x1 y1 n x2 y2 由消去x 得 m2 4 y2 2my 3 0 y1 y2 y1y2 x1x2 1 my1 1 my2 1 m y1 y2 m2y1y2 0 x1x2 y1y2 0 将 代入 得