高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课件 北师大版必修4.ppt

6余弦函数的图像与性质 1 余弦函数图像的画法 1 平移法 左 2 五点法 五个关键点 函数y cosx x 0 2 的简图 1 0 1 0 1 3 余弦曲线 y cosx x 0 2 的图像向左 向右平行移动 每次平移 个单位 得到余弦函数y cosx x r 的图像 此图像叫作余弦曲线 2 2 余弦函数的性质 2 增加 减少 1 判一判 正确的打 错误的打 1 余弦函数y cosx是偶函数 图像关于y轴对称 对称轴有无数多条 2 余弦函数y cosx的图像是轴对称图形 也是中心对称图形 3 在区间 0 2 上 函数y cosx仅在x 0时取得最大值1 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 函数y cosx 的单调增区间是 单调减区间是 最小正周期是 2 函数y 2cosx 1的值域是 3 函数y f x cosx的奇偶性为 解析 1 1 正确 由余弦函数的图像可得 对称轴方程为x k k z 所以余弦函数的图像的对称轴有无数条 2 正确 由余弦函数的图像可得函数关于点 k z 成中心对称 3 错误 在区间 0 2 上 函数y cosx在x 0与x 2 时取得最大值1 答案 1 2 3 2 1 y cosx的图像在x轴上方的不动 将下方部分对称地翻到x轴上方 即得到函数y cosx 的图像 如图所示 由图像可知 函数的最小正周期为 又因为在上 函数的增区间是减区间是而函数的周期是k k z且k 0 因此函数y cosx 的增区间是 k z 减区间是 k z 答案 2 因为y cosx 1 1 所以2cosx 1 3 1 答案 3 1 3 函数y cosx的定义域为r f x cos x cosx f x 所以函数为偶函数 答案 偶函数 要点探究 知识点余弦函数的图像与性质1 余弦函数性质与图像的关系 1 余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法 2 余弦函数的性质可以由图像直接观察 但要经过解析式或单位圆推导才能下结论 2 对余弦函数单调性的三点说明 1 余弦函数在定义域r上不是单调函数 但存在单调区间 2 求解或判断余弦函数的单调区间 或单调性 是求与之相关的值域 或最值 的关键 通常借助其求值域 或最值 3 确定较复杂函数的单调性 要注意使用复合函数单调性的判断方法 3 余弦函数的最值 1 明确余弦函数的有界性 即 cosx 1 解题时常会用到 2 对有些函数 其最值不一定就是1或 1 要依赖函数的定义域来确定 3 形如y acos x a 0 0 的函数求最值时 通常利用 整体代换 即令 x z 将函数转化为y acosz的形式求最值 微思考 1 由y sinx x r的图像得到y cosx x r的图像 平移的方法唯一吗 提示 可向左平移也可向右平移 方法不唯一 2 形如y acos x a 0 x r 的值域还是 1 1 吗 提示 不一定是 值域是 a a 即时练 下列关于函数y 3cosx 1的说法错误的是 a 最小值为 4b 是偶函数c 当x k k z时 函数取最大值d 是周期函数 最小正周期为2 解析 选c 当x k k z时 y cosx取到最大值1 而函数y 3cosx 1取最小值 题型示范 类型一 五点法 画余弦函数的图像 典例1 1 利用 五点法 作余弦函数的图像时 第三个关键点的坐标为 a 0 1 b c 1 d 2 用 五点法 作出y 1 cosx 0 x 2 的简图 解题探究 1 对余弦函数而言 五点法作图的五个点的坐标分别是什么 2 题 2 中函数y 1 cosx的最大值与最小值分别等于什么 探究提示 1 五个点分别为 0 1 1 2 1 2 因为cosx 1 1 所以1 cosx 0 2 即最大值为2 最小值为0 自主解答 1 选c 由五个点的坐标知第三个关键点为 1 2 列表如下 描点连线 可得函数y 1 cosx在 0 2 上的图像如图所示 方法技巧 五点法 画函数图像的三个步骤 变式训练 作出函数y 1 cosx 0 x 2 的简图 解题指南 将 0 2 这一区间四等分找到五个关键点然后描点 连线即可 解析 列表 描点连线得y 1 cosx的图像 如图所示 补偿训练 五点法 画y cos时 所取的五个点为 解题指南 把作为一个整体看作是y cosx中的x可得五点 即五个点分别为 答案 解析 列表可得 类型二余弦函数的奇偶性及应用 典例2 1 2013 佛山高一检测 函数f x sin x 0 是r上的偶函数 则 的值为 a 0b c d 2 2014 绵阳高一检测 函数f x sin 2x 的奇偶性为 3 已知函数y f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x sin2x cosx 求f x 解题探究 1 f x 为r上的偶函数应具备什么条件 2 利用诱导公式化简sin 2x 等于什么 3 题 3 中已知函数f x 为奇函数 求f x 的一般原则是什么 探究提示 1 应满足f x f x 2 3 先求x 0时的解析式 再求x 0时的解析式 对定义域内的取值要完整 自主解答 1 选c 当 0或 时 f x 为奇函数 当 时 为非奇非偶函数 只有当 时符合题意 故选c 2 因为 sin 2x cos2x 所以f x cos 2x cos2x f x 即f x 为偶函数 答案 偶函数 3 因为函数y f x 是定义在r上的奇函数 所以f x f x 所以f 0 f 0 f 0 0 当x 0时 x 0 所以f x f x sin2 x cos x sin2x cosx 所以 方法技巧 余弦函数奇偶性常用结论 1 因为余弦函数是偶函数 所以cosx cos x 2 y cos x 当 k k z 时是奇函数 y sin x 当 k k z 时是偶函数 3 余弦函数的对称轴和对称中心 对称轴方程为x k k z 对称中心的坐标为 k 0 k z 变式训练 函数f x x2 cosx的奇偶性为 解析 因为x r 且f x x 2 cos x x2 cosx f x 所以函数f x 是偶函数 答案 偶函数 补偿训练 函数y cos sinx 的奇偶性是 解析 函数定义域为r 又cos sin x cos sinx cos sinx 所以函数为偶函数 答案 偶函数 类型三余弦函数的单调性与最值 典例3 1 函数y cos2x的一个增区间是 2 求函数y 3cos2x 4cosx 1的最大值和最小值 解题探究 1 题 1 中涉及的函数是哪种 2 题 2 中若将cosx变为t 则函数变为什么 探究提示 1 涉及的函数是余弦函数 2 函数变为y 3t2 4t 1 自主解答 1 选d 令2k 2x 2k k z 所以k x k 当k 1时 x 2 令t cosx 则 1 t 1 问题转化为求函数y 3t2 4t 1 1 t 1 的最大值和最小值 因为所以函数在 1 上是减少的 在 1 上是增加的 当t 时 y有最小值 当t 1时 y有最大值 所以ymax 3 4 1 8 所以函数的最大值为8 最小值为 延伸探究 若将本题 2 增加条件x 求最大值和最小值 解析 令t cosx 则y 因为x 所以t 函数在区间上是减少的 所以当t 即cosx 时 ymax 此时x 当t 即x 时 ymin 方法技巧 求函数最大值 最小值的方法 1 直接法 根据函数值域的定义 由自变量的取值范围求出函数值的取值范围 2 单调性法 利用函数的单调性 3 图像法 利用函数的图像 转化为求函数图像上最高点和最低点的纵坐标的问题 4 换元法 转化为一次函数 二次函数等函数问题 变式训练 函数y 4cos2x 4cosx 2的值域为 a 2 6 b 3 6 c 2 4 d 3 8 解题指南 利用换元法将函数变为二次函数 利用二次函数求最值 解析 选b 设cosx t 则y 4cos2x 4cosx 2 4t2 4t 2 4 t2 t 2 4 t 2 3 因为 1 cosx 1 所以 1 t 1 所以ymin 3 补偿训练 求函数y 2cos 2x x 的最大值与最小值 解析 因为所以0 2x 所以 1 2cos 2x 2 当cos 2x 1 即x 时 ymax 2 当cos 2x 即x 时 ymin 1 规范解答 余弦函数值域的应用 典例 12分 2014 榆林高一检测 已知函数y a bcosx的最大值为 最小值为 求函数y 2sinbx的最值及周期 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时若忽视对 处参数b的分类讨论 则会导致漏解而失分 失分点2 解题时若忽视解析式中的符号 则会导致 处的解析式出错而失分 失分点3 解题时若忽视 处的总结 则会导致解题不完整而失掉2分 悟题 提措施 导方向1 分类讨论的意识在解含有参数的问题时 切记分类讨论思想的应用 如本例中的解析式中含有参数 故需考虑是否需要分类讨论 2 函数性质的应用对一些常用函数的性质要牢记 如本例中正弦函数的值域 周期等 3 解题的规范性做解答题时 步骤要合