透析本源导方法,整合分类看规律.doc

透析本源导方法，整合分类看规律解析一个超越不等式链折射的导数应用范畴引例：已知.（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围.（2）当时，求证.解析：（1）没有零点，二次函数没有零点，恒成立 .（2）当时，作辅助函数。撇开（1）的初等方法不谈，（2）的证明涉及到一个不等式是否恒成立问题.以导数作为工具，研究函数的单调性，极值（最值），进而证明函数不等式，求参数范围等是新课程的一大亮点和一道风景线，尤其是含基本初等函数和的复合型函数，其地位和作用显得尤为突出。综观近几年来，全国各地高考试卷中的压轴题或模拟测试题可谓屡见不鲜，引起了我们广大师生的极大兴趣和特别关注。本文梳理了其中部分试题，并建立一个不等式链，试图说明它在解决诸如此类问题中的神奇功能，期待我们今后解决它们时，有明确的目标指向性，方法和思想上的针对性，步骤和程序上可操作性.一、经典不等式 （I）（1）（I）在定义域内恒成立：即前者后者.（2）取等号的条件：前者；后者.（3）称谓“超越不等式”是有别于常见“代数不等式”，写在一起便于统一识别和记忆.二、证明导方法.（一）代数证明作辅助函数在R上是增函数，令. 当时，；当时，.是的唯一的极小值点，也就是最小值点. . 此即 再作 ，令在为减函数. 令 . 当时，；当时，.是的唯一极大值点，也就是的最大值点. .此即（二）几何意义在同一坐标系下，作出和的图象，我们会发现同一直线分别是在点和在点处切线.（图）且直线“总体”地位于曲线的下方和的上方.（三）常见变型.依据题目所给条件成求解结论不一样，它们单独使用时呈现的形式有所变化，如：； 等.三、应用广范畴（一）方法上的借鉴例1：（20132014度武汉市部分学校高三起点调研测试理21题）（2）求证：解析：不等式链后半部分改为：，只要关注到是不等式严格小于的条件，它显然是不等式链的一种简单变形而已，而前半部分为作，则在上是增函数 ，可见前半部分仍然成立.评注：有兴趣的读者，还可以作“双曲线型”函数：的图象说明的不等式前一部分成立.（二）直接（反复）的使用例2（2013年北京高考理18）设L为曲线在点处的切线.（1）求L的方程.（2）证明除切点处，曲线G在直线L的下方.解析：（1） 切线L的方程（2）作考虑分子函数 令不难验证，是的唯一极小值点，即为最小值点.评注：本题除借用不等式（I）方法，具有明显的几何意义外，还可以将曲线（函数）改写为理解为斜率函数：任何一点（除）与已知点连线的割线斜率，它显然包含在P点的切线斜率之内。权当作曲线G在切线L的下方另类解释.例3（2010全国II.理22）已知 （I）证明.当时，. （II）略.例4（2013辽宁高考理21）已知函数.（1）求证：. （2）略.评注：以上两例的解答都可以不等式（I）为基本模型，再经过简单的初等变形（换），证明相关结论，详细解答此处略.（三）求参数的范围.例5（2013湖北高考文10）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ABCD解析：令有两个大于0的实数根。作辅助函数：和.（1）过定点作的切线，不难求得切点坐标为，切线方程为；（2）而为过定点斜率为的直线.由数形结合的思想，当直线夹在直线切线之间，即时，和有两个交点. ，选B.评注：此题的解题思想与不等式（I）一脉相承，将导函数作为研究对象，下述例6的解法情同此理.例6：（2010全国新课程标 理21）设函数（1）略 （2）若当时，求的取值范围.解析：显然当时，说明在是增函数.当时，注意到时， 显然成立.当时，作辅助函数和.考虑过定点的直线，过定点作的切线，切点坐标正好是。要使曲线在直线的上方，则要求斜率，满足 ，综上，的取值范围是.（四）比较函数值大小.例7（2013湖北高考理10）已知为常数，函数有两个极值点.则A、 B、C、D、解析：同例5，根据数形结合思想，可将两个极值点进一步细致刻画为代入表达式可知，而 ，. 选D.评注：本题易得，但要求得能力要求较高，是一个较好的牵线搭桥，不愧为选择题的压轴题.（五）证明函数不等式例8（2013全国新课标理21）已知函数（I）设是的极值点，求m，并讨论的单调性（略）（II）当时，证明解：（II）首先注意到当时，；其次，由本文开篇建立的不等式链有.最后，需要将别指出的是“=”不能取到，除具有明显的几何意义外，还可从代数角度作细致分析.考虑在是增函数（与都是增函数）.又在上有唯一实根.且。当；当，从而当时，取得最小值.由得到.即评注：（1）（II）的代数解法探求间接或变相回应了不能取“=”的原由，它同时提供了曲线上两点间距离最小值的一种求法问题。相关问题解法还可见：2012全国新课标理12设点P在曲线上，点Q在曲线.上，则最小值为 A、B、C、D、答案选B，笔者揣测它们是从纵向，横向等多层面求这种“距离最小值”问题.（2）与此同时，最小值点满足这种客观有在，能确定范围，但不能用初等方法解出或表示，却又参与后续运算，证实相关问题的方法和思想在高考试题中也常有出现，要引起我们的注意.六、证明数列不等式例9（同例1）（3）求证：解析：本问是建立在（2）基础上的一种具体和反复使用。首先将其变为；其次中间只有一项，必然是裂项相消后的产物.最后设计解题方案：分别取再将这个不等式迭加，适当整理可得到待证不等式.评注：这种数列不等式可称为不等式（I）一种间接使用方式.以上诸例我们见证了不等式链（I）在用导数研究函数大背景下所处不同领域的广阔用途，我们发现一方面，导数具有明显的几何意义和物理背景，命题者选择依托几何意义，用导数方法，进行较深层次的推进，的确无可厚非；另方面和具有明显的下凸（或上凸）性，且是分别过定点和，在此处的“凸性”更加“凸出”，既是研究问题的重要切入点，又是用导数深入研究函数极有价值的素材，同时也较好的甄别了学生的能力，具有很好的区分度和选拨功能.作为受过了系统高等数学 教育和具备多年教学实践经验的老师，我们可以理解高考命题专家对导数的几何背景价