高考数学 第十章 第一节 圆锥曲线的统一定义、抛物线课件 理 苏教版.ppt

第十章曲线与方程 复合函数的导数 数学归纳法第一节圆锥曲线的统一定义 抛物线 1 圆锥曲线的统一定义及其分类 定点f 定直线l f不在l上 离心率 焦点 准线 椭圆 抛物线 双曲线 2 圆锥曲线的标准方程及准线方程 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 每个圆锥曲线都对应两条准线 2 椭圆的准线一定与长轴垂直 3 直线l与抛物线c相切的充要条件是 直线l与抛物线c只有一个公共点 4 如果直线x ty a与圆锥曲线相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则弦长 5 若抛物线c上存在关于直线l对称的两点 则需满足直线l与抛物线c的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式 0 解析 1 错误 每条抛物线有且只有一条准线与之对应 2 正确 准线一定垂直于长轴 3 错误 因为直线l与抛物线c的对称轴平行时 也只有一个公共点 是相交 但不相切 4 正确 5 错误 应是以l为垂直平分线的线段ab所在的直线l 与抛物线方程联立 消元后所得一元二次方程的判别式 0 答案 1 2 3 4 5 考向1圆锥曲线的统一定义及应用 典例1 1 已知双曲线的渐近线方程为3x 2y 0 两条准线间的距离为 求双曲线标准方程 2 点b1 b2是椭圆的短轴端点 椭圆的右焦点为f b1b2f为等边三角形 点f到椭圆右准线l的距离为1 求椭圆方程 3 已知一条圆锥曲线的一个焦点是f 1 0 对应准线l x 1 且曲线过点 求圆锥曲线的方程 思路点拨 1 可根据双曲线方程与渐近线方程的关系 设出双曲线方程 进而求出双曲线标准方程 2 利用几何图形与椭圆性质求基本量 3 利用圆锥曲线的统一定义求解 规范解答 1 双曲线渐近线方程为 设双曲线方程为 若 0 则a2 4 b2 9 若 0 则a2 9 b2 4 准线方程为 所求双曲线方程为 2 因为 b1b2f为正三角形 of c ob2 b b2f a 所以准线l的方程 所以解之得于是故椭圆方程为 3 mf 点m到准线l的距离为d 3 1 4 mf d 且点f不在l上 即圆锥曲线是抛物线 其顶点在原点 焦点为f 1 0 由得p 2 故此圆锥曲线的方程是y2 4x 拓展提升 巧用 定义 解题当遇到与焦点距离有关的问题时 首先应考虑用定义解题 若圆锥曲线上的点到焦点的距离直接处理较困难 且问题中有一个与离心率相关的系数时 应用统一定义转化为点到相应准线的距离 否则应用各自的定义求解 变式训练 如图 椭圆上有一点p 它到椭圆的左准线距离为10 求点p到椭圆的右焦点的距离 解析 椭圆的离心率为根据椭圆的统一定义得 点p到椭圆的左焦点距离为10e 8 再根据椭圆的定义得 点p到椭圆的右焦点的距离为20 8 12 考向2抛物线的定义及应用 典例2 2012 山东高考 在平面直角坐标系xoy中 f是抛物线c x2 2py p 0 的焦点 m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点 过m f o三点的圆的圆心为q 点q到抛物线c的准线的距离为 1 求抛物线c的方程 2 是否存在点m 使得直线mq与抛物线c相切于点m 若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 3 若点m的横坐标为 直线l 与抛物线c有两个不同的交点a b l与圆q有两个不同的交点d e 求当时 ab2 de2的最小值 思路点拨 1 利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上构建p的方程求解 2 利用斜率与导数相等求解 3 利用弦长公式求出ab2与由圆的几何性质求出de2 再利用导数求ab2 de2的最小值 规范解答 1 由f是抛物线c x2 2py p 0 的焦点 点f的坐标为抛物线的准线为过m f o三点的圆的圆心为q 则圆心q在线段of的垂直平分线上 所以所以p 1 所以抛物线c的方程为 2 假设存在这样的点m 设点m的坐标为 x0 y0 x0 0 y0 0 焦点f的坐标为所以线段mo的中点坐标为圆心q在mo的垂直平分线上 因为所以mo的垂直平分线方程为圆心q在线段of的垂直平分线上 解得点q坐标为 所以直线mq与抛物线c相切于点m 抛物线的导数为y x 过点m的切线斜率为整理得解得 y0 1或y0 舍去 所以所以点m的坐标为 3 点m的横坐标为 由 2 知圆心半径圆心到直线l 的距离为 联立消去y可得 设a x1 y1 b x2 y2 ab2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 2 于是 令设当时 恒成立 所以当即时 故当k 时 互动探究 本例 3 中条件不变 求ab2 de2的取值范围 解析 在例 3 中已解出ab2 de2的最小值为由例 3 解题过程可知 设设当时 恒成立 当t 5 即k 2时 综上可得ab2 de2的取值范围为 拓展提升 1 圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法 1 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系 从而确定参数的取值范围 2 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关系 3 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 4 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 5 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数 求其值域 从而确定参数的取值范围 2 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 1 两类最值问题 涉及距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 2 两种常见解法 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起目标函数 再求这个函数的最值 最值常用基本不等式法 配方法及导数法求解 提醒 求最值问题时 一定要注意对特殊情况的讨论 如直线斜率不存在的情况 二次三项式最高次项的系数的讨论等 变式备选 已知平面内一动点p到点f 1 0 的距离与点p到y轴的距离的差等于1 1 求动点p的轨迹c的方程 2 过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线l1 l2 设l1与轨迹c相交于点a b l2与轨迹c相交于点d e 求的最小值 思路点拨 1 利用已知的距离关系求动点p的轨迹方程 2 设出l1的方程 联立l1和轨迹c的方程 利用根与系数的关系求解 解析 1 设动点p的坐标为 x y 由题意有化简得y2 2x 2 x 当x 0时 y2 4x 当x 0时 y 0 所以动点p的轨迹c的方程为y2 4x x 0 和y 0 x 0 2 由题意知 直线l1的斜率存在且不为0 设为k 则l1的方程为y k x 1 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是上述方程的两个实根 于是因为l1 l2 所以l2的斜率为设d x3 y3 e x4 y4 则同理可得x3 x4 2 4k2 x3x4 1 故 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x1x2 x1 x2 1 x3x4 x3 x4 1当且仅当即k 1时 取最小值16 1 如图 已知点a 1 2 在椭圆内 f的坐标为 2 0 在椭圆上求一点p 使pa 2pf最小 解析 a2 16 b2 12 c2 4 即c 2 f为椭圆的右焦点 并且离心率为e 如图 设p到右准线的距离为d 则pf d d 2pf pa 2pf pa d 由几何性质可知 当p点的纵坐标 横坐标大于零 与a点的纵坐标相同时 pa d即pa 2pf最小 把y 2代入 得x 负值舍去 即p 2 为所求 变式备选 已知椭圆p为椭圆上任意一点 f为左焦点 求pf的取值范围 解析 设点p的坐标为 x y 椭圆 a 4 b 3 c 由圆锥曲线的统一定义知pf ed1 x 4 4 pf 故pf的取值范围是 2 已知双曲线的离心率 左 右焦点分别为f1 f2 左准线为l1 能否在双曲线的左支上找到一点p 使得pf1是p到l1的距离d与pf2的等比中项 解析 设在左半支上存在点p 使pf12 pf2 d 由双曲线的统一定义知即 再由双曲线的定义 得 由 解得 利用由 式得e2 2e 1 0 解得 e 1 与已知矛盾 符合条件的点p不存在 3 2012 福建高考 如图 等边三角形oab的边长为 且其三个顶点均在抛物线e x2 2py p 0 上 1 求抛物线e的方程 2 设动直线l与抛物线e相切于点p 与直线y 1相交于点q 证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点 思路点拨 1 利用等边三角形边长为及抛物线的性质确定出点b的坐标 从而用待定系数法求出p 2 设出p点坐标 建立直线l的方程 与y 1联立求得q点坐标 再设以pq为直径的圆恒过y轴上的点m 0 y1 根据 0恒成立 求出y1为常数得证 或对p点坐标取特殊值 先研究出以pq为直径的圆与y轴交于的定点 再证明与变量无关 解析 1 依题意 ob boy 30 设b x y 则x obsin30 y obcos30 12 所以b 12 因为点b在x2 2py上 所以 解得p 2 故抛物线e的方程为x2 4y 2 由 1 知设p x0 y0 x0 0 且l的方程为即 由得所以q 方法一 设以pq为直径的圆与y轴的一个交点为m 0 y1 令对满足的x0 y0恒成立 由得即由于 式对满足恒成立 所以解得y1 1 故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 方法二 取x0 2 此时p 2 1 q 0 1 以pq为直径的圆为 x 1 2 y2 2 交y轴于点m1 0 1 或m2 0 1 取x0 1 此时以pq为直径的圆为交y轴于m3 0 1 或故若满足条件的m存在 是m 0 1 以下证明点m 0 1 就是所要求的点 因为故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m 0 1 方法技巧 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 4 2013 苏北三市联考 如图 已知抛物线c y2 4x的焦点为f 过f的直线l与抛物线c交于a x1 y1 y1 0 b x2 y2 两点 t为抛物线的准线与x轴的交点 1 若 求直线l的斜率 2 求 atf的最大值 解析 1 易知f 1 0 t 1 0 当l x轴时 a 1 2 b 1 2 此时 与矛盾 所以设直线l的方程为y k x 1 代入y2 4x 得k2x2 2k2 4 x k2 0 易知 0 则 所以所以y1y2 4 因为所以 x1 1 x2 1 y1y2 1 将 代入并整理得 k2 4 所以k 2 2 因为y1 0 所以tan atf 当且仅当即y1 2时 取等号 所以 atf 所以 atf的最大值为 5 2013 扬州模拟 设抛物线c的方程为x2 4y m为直线l y m m 0 上任意一点 过点m作抛物线c的两条切线ma mb 切点分别为a b 1 当m 3时 求证 直线ab恒过定点 2 当m变化时 试探究直线l上是否存在点m 使 mab为直角三角形 若存在 有几个这样的点 若不存在 说明理由 解析 1 由已知得求导得切点分别设为a x1 y1 b x2 y2 故过点a x1 y1 的切线斜率为从而切线方程为即又切线过点m 设为 x0 y0 所以得 即同理可得过点b x2 y2 的切线为又切线过点m x0 y0 所以得 即即点a x1 y1 b x2 y2 均满足即故直线ab的方程为x0 x 2 y0 y 又m x0 y0 为直线l y 3上任意一点 故y0 3 所以直线ab x0 x 2 3 y 恒过定点 0 3 2 由 1 知且x1 x2是方程x2 2x0 x 4y0 0的两实根 即所以当y0 1时 即m 1时 直线l上任意一点m均有ma mb mab为直角三角形 当y0 1时 即m 1时 ma与mb不垂直 因为不妨设x1 0 所以若kma kab 1 则整理得 又因为y0 m 所以因为方程有解的充要条件是m 2 所以当m 2时 有ma ab 同理可得m 2时 mb ab mab为直角三角形 综上所述 当m 1时 直线l上任意一点m 使 mab为直角三角形 当m 2时 直线l上存在两个点m 使 mab为直角三角形 当0 m 1或1 m 2时 mab不是直角三角形 6 2013 苏州模拟 过抛物线y2 4x上一点a 1 2 作抛物线的切线 分别交x轴于点b 交y轴于点d 点c 异于点a 在抛物线上 点e在线段ac上 满足 点f在线段bc上 满足且 1 2 1 线段cd与ef交于点p 1 设求 2 当点c在抛物线上移动时 求点p的轨迹方程 解析 1 过点a的切线方程为y x 1 切线交x轴于点b 1 0 交y轴于点d 0 1 则d是ab的中点 所以 由 同理由得 由得 将 式代入 得因为e p f三点共线 所以再由 1 2 1 解之得 2 由 1 得cp 2pd d是ab的中点 所以点p为 abc的重心 设c x0 y0 p x y 所以 解得x0 3x y0 3y 2 代入得 3y 2 2 12x 由于y0 2 故所求轨迹方程为 3y 2 2 12x 7 已知直线y 2上有一个动点q 过点q作直线l1垂直于x轴 动点p在l1上 且满足op oq o为坐标原点 记点p的轨迹为c 1 求曲线c的方程 2 若直线l2是曲线c的一条切线 当点 0 2 到直线l2的距离最短时 求直线l2的方程 解析 1 设点p的坐标为 x y 则点q的坐标为 x 2 op oq 当x 0时 得kop koq 1 即化简得x2 2y 当x 0时 p o q三点共线 不符合题意 故x 0 曲线c的方程为x2