微积分习题精解(8).pdf

第 8章 差分方程 1 习题习题 8 1 1 解解 1 12 1 222 ttttyt 2 1 2 12 2 ttyy tt 2 tttt t aaaaay 1 1 ttt tt aaaaaayy 22 1 1 1 3 t a t a t at yloglog log 1 t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t att yy loglog2log log log log log log log log log 1 2 1 1 2 1 1 2 4 cos sincoscos cos 2222 1 2 ttt t t t y 2 2222 1 22 22 2 sin2 cossinsin sin cos sin cos sin t tttt tt tt tt yy 5 5 5 5 1 tttyt 4 3 2 1 3 2 1 1 ttttt ttttt 4 5 3 2 1 5 3 2 1 4 1 t tttt tttttt 5 4 2 tyy tt 2 实用微积分 3 4 20 2 1 20 2 1 3 1 5 3 2 1 2 1 1 5 5 t ttt ttttt tttttxtt t 6 1 taattay ttt t 1 1 1 1 tt tt ataa aaat 2 tt yy 1 1 tt ataa 12 11 1 1 2 1 1 1 1 1 tt ttt tt aataa aaataaa ataa 2 解解 1 423 12 1 3 13 22 ttttttyt 8 42 22 t ty 而 2 4 2 42 2 ttyy tt 2 1 2 t y 0 2 23 tt yy 2 1 2223 tttttttyt 133 12 1 2 2 tt ttt 663 12 3 1 3 3 133 2 22 tt tt ttyy tt 6 66 23 tyy tt 3 t y 3 6 5 2 52 333333 tttt 4 1 11 1 11 ttttt t y 第8章 差分方程 3 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 12 ttttttt tttt tt yy 5 1ln 2ln 1 1ln ttttttyt 1ln 2ln 1 2 3ln 2 1ln 2ln 1 2 tttttt ttttyy tt 3 证明证明 根据一阶差分的定义 有 tttt tttttt tttttttt tttttt zyyz zzyzyy zyzyzyzy zyzyzy 1 111 1111 11 习题习题 8 2 1 解解 1 根据差分的定义 原方程改写为 tyyyy tttt sin 3 12 即 tyy tt sin3 12 因该方程中未知函数 t y的最大脚标2 t与最小脚标1 t的差为1 因此 该方程为一阶差分方程 2 因该方程中未知函数 t y的最大脚标5 t与最小脚标3 t的差为 8 因此该方程为八阶差分方程 3 因该方程中未知函数 t y的最大脚标1 t与最小脚标t的差为1 因 此该方程为一阶差分方程 4 因该方程中未知函数 t y的最大脚标2 t与最小脚标t的差为2 因 此该方程为二阶差分方程 2 解解 1 据差分方程的阶的定义知该方程为二阶差分方程 又因为方程中含 有未知函数 t y的非一次 线性 项 1 tty y 因此该方程为二阶非线性方 程 2 据差分方程的阶的定义知该方程为一阶差分方程 且方程中未知函 数 t y的项均为一次 线性 项 因此该方程为一阶线性差分方程 其中系数 函数为 1 tPta 3 据差分方程的阶的定义知该方程为二阶差分方程 且方程中未知函 数 t y的项均为一次 线性 项 因此该方程为二阶线性差分方程 其中系数 4 实用微积分 函数为1 1 ta 1 2 ta均为常数 所以该方程是二阶常系数线性差分 方程 4 据差分方程的阶的定义知该方程为四阶差分方程 且方程中未知函 数 t y的项均为一次 线性 项 因此该方程为四阶线性差分方程 方程化作 标准的线性方程为 tyyy t t t t t 1 12 32 其中系数函数为0 1 ta 0 2 ta 2 2 3 t ta t ta 1 4 5 据差分方程的阶的定义知该方程为二阶差分方程 且方程中未知函 数 t y的项均为一次 线性 项 因此该方程为二阶线性差分方程 方程化作 标准的线性方程为 0 22 1 2 t t t t t t t yyy 其中系数函数为 2 1 1 t t ta 2 2 t t ta 3 将每一函数代入所有的差分方程中 验证即可 4 证明证明 将函数 tt t CCy 2211 代入方程 ttt yyy 211212 0 中有 左边 ttt yyy 211212 221121 1 22 1 1121 2 22 2 11 tt tttt CC CCCC t t C C 221 2 221 2 22 12121 2 1 2 11 0右边 因此 tt t CCy 2211 是方程 ttt yyy 211212 0 的解 习题习题 8 3 1 解解 d c b a 4 3 2 1 第8章 差分方程 5 1 将原方程改写为 0 2 5 1 tt yy 显然是一阶常系数齐次线性方程 其中 2 5 a 由公式 8 3 3 可得其通解 为 tt t CaCy 2 5 C为任意常数 2 将原方程改写为 0 1 1 t a t yy 显然是一阶常系数齐次线性方程 由公式 8 3 3 可得其通解为 t a t Cy 1 C为任意常数 3 将原方程改写为 tt yty 1 1 2 1 0 t 假设在初始时刻 即0 t 函数 t y的取值为常数C C任意 当t分别 为 2 1 0时 逐次迭代算得 CCyy 1 01 CCyy 2 122 12 CCyy 3 233 23 CCyy 4 344 34 于是 归纳可得原方程的通解为 Ctyt 2 1 0 t 其中 0 yC 为任意常数 4 将原方程改写为 t t t yay 1 2 1 0 t 假设在初始时刻 即0 t 函数 t y的取值为常数C C任意 当t分别 为 2 1 0时 逐次迭代算得 CCayy 0 01 CaCaCaayay 11001 1 1 2 CaCaCaayay 301212 2 2 3 CaCaCaayay 6012333 3 3 4 于是 归纳可得原方程的通解为 6 实用微积分 2 1 012 2 1 tt aCCay tt t 2 1 0 t 其中 0 yC 为任意常数 2 证明证明 必要性 因函数 t y 2 1 0 t 为常函数 设cyt c为常数 则 0 1 ccyyy ttt 充分性 由于0 t y 即 0 1 tt yy 显然此方程为一阶常系数齐次线性方程 其中1 a 由公式 8 3 3 可得 其通解为 cacy t t 2 1 0 t c为任意常数 所以函数 t y 2 1 0 t 为常函数 3 解解 1 此一阶常系数非齐次差分方程中4 1 ba 因此据 8 3 6 式得 其通解为 2 1 1 t a bt t CaCy C为任意常数 2 将原方程改写为 321 1 2 1 ttyy tt 由于方程中1 a 3 0 b 2 1 b 因此据 8 3 6 式得其通解为 2 2 2 2 2 2 101 ttCttCttCy bbb t 其中C为任意常数 3 因为1 a 2 ttf 为二次多项式函数 因此设方程的特解为 2 210 tAtAAtty 其中 0 A 1 A 2 A为待定常数 将其代入方程 中 得 2 21012 2 2 23 3tAAAtAAtA 上式对一切t的取值成立的充要条件为 0 023 13 012 12 2 AAA AA A 解上面关于 0 A 1 A 2 A为未知数的方程组 得 第8章 差分方程 7 6 1 0 2 1 1 3 1 2 A A A 则 6 1 2 12 3 1 tttty 所以原方程的通解为 CtttaCtyy t t 6 12 2 13 3 1 4 因ttf cos2 为三角函数的形式 方程中1 a 2 1 b 0 2 b 且04sin cos 22 aD 因此据 8 3 13 式 得 0 sin cos 1 sin cos 12 1 2 21 1 1 babA babA D D 则 通解为 tCtAtAaCy t t cos sincos 21 5 此方程为一阶常系数非齐次线性差分方程 其中 a t etf 为指数函数 1 b ed 若 ea 即 e 则0 da 因此据 8 3 10 式得方 程的通解为 t e tt da bt t eCdaCy 1 若 ea 即 e 则0 da 因此据 8 3 10 式得方程 的通解为 1 1 tttt t teCbtdaCy 所以原方程的通解为 0 0 1 1 eteC ee e C y tt tt t 6 此方程为一阶常系数非齐次线性差分方程 其中 t ttf2 为一次 多项式函数与指数函数的乘积函数 因此相应地设方程的特解为 t tAAty2 10 其中 0 A 1 A为待定常数 将其代入方程中 得 8 实用微积分 ttt ttAAtAA22 2 1 10 1 10 即 tAAtA 23 3 101 上式对一切t的取值成立的充要条件为 032 13 01 1 AA A 解上面关于 0 A 1 A为未知数的方程组 得 9 2 0 3 1 1 A A 则 t tty2 9 2 3 1 所以原方程的通解为 tyaCy t t tt tC2 1 9 2 3 1 4 解解 因为tyt4 为方程btayy tt 12 1 的一个特解 因此有 btatt 124 1 4 btta 124 44 上式对一切t的取值成立的充要条件为 4 1244 b a 即 4 2 b a 所以原方程的通解为 tCy t t 4 2 5 证明证明 令 a b tt yu 1 即 a b tt uy 1 将其代入方程 bayy tt 1 得 buau a b t a b t 11 1 即 0 1 tt auu 为关于 t u的一阶常系数齐次线性方程 因为关于 t u的齐次方程0 1 tt auu的通解为 t t aCu 其中C为任意常数 因此有 t a b t aCy 1 即原方程的通解为 a bt t aCy 1 其中C为任意常数 第8章 差分方程 9 6 1 证明证明 利用数学归纳法 当0 t时 据题设知已知差分方程 0 0 y 假设当kt 时结论成立 即据题设知已知差分方程 0 k y 则当1 kt时 因 k k bya cy k y 1 而a b c为正的常数 0 k y 所以 0 1 k k bya cy k y 因此由数学归纳法知 有结论0 t y 2 1 t 2 证明证明 令 t y t u 1 即 t u t y 1 将其代入方程 ttt cyybya 1 得 ttt u c uu b a 1 1 即 c b t c a t uu 1 为关于 t u的一阶常系数非齐次线性方程 解关于 t u的一阶常系数非齐次线性方程 c b t c a t uu 1 若1 a c 即ca 此时方程的通解为 ac bt a c t Cu 其中 ac b y C 0 1 若1 a c 即ca 此时方程的通解为 tCu c bt a c t 其中 0 1 y C 所以 原方程的通解为 act ac y c b y ac b t c a ac b y u t t 1 1 1 1 1 0 0 3 解解 由 2 知 利用变换 t y t u 1 可将方程 ttt yyy4 32 1 变 换为关于 t u的一阶常系数非齐次线性方程 10 实用微积分 4 3 2 1 1 tt uu 解此方程 得其通解为 2 3 2 1 t t Cu 其中C为任意常数 所以有 2 3 2 1 1 1 tu t C y t 将初始条件1 0 y代入 2 3 2 1 1 t t C y 得 2 1 C 因此有 2 31 2 1 1 t t y 所以 t t y lim 3 2 2 31 2 1 1 lim t t 7 解解 1 据题意 每一排比前一排多两个座位 因此有关系式 2 12 1 nyy nn 2 解差分方程 2 12 1 nyy nn 得其通解为 ncyn2 其中c为任意常数 由初始条件30 1 y可得28 c 因此有 2 1228 nnyn 则 4810228 10 y 所以第10排的座位是48个 3 据题意 若用 n S表示前n排的座位数 则有关系式 2 1 230 11 nnSySS nnnn 4 解差分方程 2 1 230 11 nnSySS nnnn 得 其通解为 29 2 nncSn 其中c为任意常数 由初始条件30 11 yS可得0 c 因此有 2 1 29 2 nnnSn 则 9802029202 20 S 所以若该教室共有20排 那么该教室一共有980个座位 8 解解 1 设第n年水湖中的鱼数为 n y万条 则有关系式 第8章 差分方程 11 325 13 251 1 nnn yyy 3 2 1 0 n 解此差分方程 得其通解为 1225 1 n n Cy 3 2 1 0 n 其中C为任意常数 由初始条件10 0 y可得2 c 因此有 n n y25 1212 3 2 1 0 n 2 设n年后 湖中的鱼将捕捞完 则有 025 1212 n n y 8 25 1ln 6ln n 因此 大约8年后 湖中的鱼将捕捞完 9 解解 设第n天小猴吃剩的桃子为 n y 9 2 1 n 个 则有关系式 1 2 1 1 nn yy 9 2 1 0 n 解此差分方程 得其通解为 2 2 1 n n cy 其中c为任意常数 将条件1 9 y代入 得 9 23 c 所以 223 9 n n y 则 1534223 09 0 y 所以小猴第一天一共摘下了1534个桃子 10 解解 设该大学生四年贷款的本利和为M 则有 631 4525 51 51 51 51 1000 234 M 将631 4525 M 12 05 0 r 2 n代入公式 n r Mr m 12 1 1 得 55 198 12 05 01 1 12 05 0631 4525 1 1 2412 n r Mr m 所以 该大学生每月需偿还约55 198元就可以如期还清贷款 11 解解 将 tt YC代入 ttt ICY 得 tt YI 1 将上式代入 ttt IYY 1 得 tt YY 1 1 解此差分方程 得 12 实用微积分 11 0 1 t t YY 所以有 11 0 1 t tt YYC t tt YYI 1 1 1 1 0 因此 t t t t t t YI YC YY 1 1 1 1 1 0 11 0 11 0 习题习题8 4 1 解解 1 特征方程为 089 2 解特征方程 得两特征根为 1 1 8 2 为一对相异实根 因此 差分方程的通解为 t t ccy8 21 21 c c为任意常数 2 特征方程为 01 2 解特征方程 得两特征根为 2 3 2 1 1 i 2 3 2 1 2 i 为一对共轭复根 其中1 r 0 3tan 3 2 因此 差分方 程的通解为 tctcyt 3 2 2 3 2 1 sincos 21 c c为任意常数 3 特征方程为 01 2 解特征方程 得两特征根为 1 1 1 2 为一对相异实根 因此 差分方程的通解为 第8章 差分方程 13 t t ccy 1 21 21 c c为任意常数 4 特征方程为 01 2 解特征方程 得两特征根为 i 1 i 2 为一对共轭复根 其中1 r 0 2 因此 差分方程的通解为 tctcyt 2 2 2 1 sincos 21 c c为任意常数 5 特征方程为 044 2 解特征方程 得两特征根为 1 2 2 为二重实根 因此 差分方程的通解为 t t tccy2 21 21 c c为任意常数 6 特征方程为 0 2 解特征方程 得两特征根为 1 2 若 则 1 与 2 为一对相异实根 差分方程的通解为 tt t ccy 21 21 c c为任意常数 若 则 1 与 2 为二重实根 差分方程的通解为 t t tccy 21 21 c c为任意常数 因此 原差分方程的通解为 t tt t tcc cc y 21 21 2 解解 将 2 2 1nn xx n x 改写为 0 2 1 1 2 1 2 nnn xxx 3 2 1 n 是二阶常系数齐次线性差分方程 其特征方程为 0 2 1 2 12 解特征方程 得两特征根为 1 1 2 1 2 14 实用微积分 为两个相异的实根 因此 其通解为 n n ccx 2 1 21 将初始条件bxax 21 代入通解中 得 3 4 23 2 1 ab ba cc 因此该数列的通项为 2 2 1 33 2 n abba n x 3 2 1 n 所以 3 2 2 2 1 33 2 limlim ba n abba n n n x 3 证明证明 令 tt ytu 1 则原方程可化为 12 tfbuauu ttt a b为常数 显然此方程为关于 t u的二阶常系数线性方程 所以 若令 tt ytu 1 则可将方程 0 1 2 2 3 12 ttt ytytyt 化为二阶常系数齐次线性差分方程 02 12 ttt uuu 解其特征方程 012 2 得其两线性无关的特解 ttutu 1 21 因此原方程有两线性无关的特解 11 2 1 1 1 1 21 t t t tu tt tu tyty 据齐次线性差分方程的通解结构定理 原方程通解为 1 1 1111 2222121 t c t cctc t c t tc t c t cy 其中 21221 ccccc 为任意常数 4 解解 1 因为1 为单特征根 10 2 tttf 因此差分方程的特解 形式为 01 2 2 AtAtAtty 210 AAA为待定常数 2 因为 t etf8 为指数函数 其中eq 不是特征根 因此差分方程 的特解形式为 t Aety A为待定常数 第8章 差分方程 15 3 因为 t tf 5 为指数函数 其中5 q是二重特征根 因此差 分方程的特解形式为 t Atty 5 2 A为待定常数 4 因为tttfcossin 为三角函数 其中 sincosi 1sin1cosi 不是特征根 因此差分方程的特解形式为 tAtAtysincos 21 21 A A为待定常数 5 因为ttf 2cos 为三角函数 其中 sincosi 12sin2cos i是特征根 且利用根与系数的关系知1313 b 因此差分方程的特解形式为 2sin2cos 21 tAtAtty 21 A A为待定常数 6 因为tttf 2sin2cos 为三角函数 其中 sincosi 12sin2cos i是特征根 且利用根与系数的关系知111 b 因此 差分方程的特解形式为 2sin2cos 21 2 tAtAtty 21 A A为待定常数 5 解解 1 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解特征方程 032 2 得特征根为 3 1 21 则对应齐次方程的通解为 t c ccty 3 21 因为1是方程的单特征根 ttf8 故设特解为 10 tAAtty 10 A A为待定常数 将其代入原方程 得 tAAtA8 46 8 011 比较t同次项的系数 得 046 88 01 1 AA A 解之 得 2 3 01 1 AA 因此ttty 2 32 所以原方程的通解为 tytyy ct 3 2 32 21 ttcc t 21 c c为任意常数 2 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解特征方程 065 2 16 实用微积分 得特征根为 3 2 21 则对应齐次方程的通解为 tt c ccty 3 2 21 因为 tt tf22 2 11 是指数函数 2 q不是方程的特征根 故 设特解为 t Aty2 A为待定常数 将其代入原方程 得 1 22621024 tttt AAA 即 40 11 220 AA 因此 t ty2 40 1 所以原方程的通解为 tytyy ct ttt cc2 3 2 40 1 21 21 c c为任意常数 3 tyyy ttt cos2 12 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解 特征方程 012 2 得特征根 1 21 则对应齐次方程的通解为 t c tccty 1 21 因1sincossincos ii是方程的特征根 且1 b因此 据表8 4 2知 特解为 ttttty coscos 2 2 12 2 1 故原方程的通解为 tytyy ct tttcc t cos 1 2 2 1 21 21 c c为任意常数 4 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解特征方程 04 2 得特征根为 2 2 2 1 sin2 sin2 ii 则对应齐次方程的通解为 第8章 差分方程 17 tyc sincos 2 2 2 2 1 tctc t 因iii 22 sincossincos 不是方程的特征根 因此据表 8 4 2知 特解为 tttty D D D D 23 1 cossincos 21 故原方程的通解为 tytyy ct ttctc t 23 1 2 2 2 1 cos sincos 2 21 c c为任 意常数 5 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解特征方程 044 2 得特征根为 2 21 则对应齐次方程的通解为 tyc 2 21 tcc t 因 t ttf2 为指数函数与一次多项式函数的乘积函数 因此设特解函 数为 t tAAty2 10 10 A A为待定常数 将其代入原方程 得 tttt ttAAtAAtAA22 42 1 42 2 10 1 10 2 10 即 tAAtA 1616 16 011 比较t同次项的系数 得 01616 116 01 1 AA A 解之 得 16 1 0 16 1 1 AA 因此 t tty2 16 1 16 1 所以原方程的通解为 tytyy ct tt t ttccy2 2 16 1 16 1 21 21 c c为任 意常数 6 首先求对应齐次方程的通解 tyc 解特征方程 0 1 2 得特征根为 21 1 18 实用微积分 若1 则对应齐次方程的通解为 t c ccty 21 此时 因为1是方程的单特征根 atf 为常数 故设特解为 Atty A为待定常数 将其代入原方程 得 1 1 a AaA 因此tty a 1 原方程的通解为 tcctytyy at ct 1 21 21 c c为任意常数 若1 则对应齐次方程的通解为 tcctyc 21 此时 因为1是方程的二重特征根 atf 为常数 故设特解为 2 Atty A为待定常数 将其代入原方程 得 2 2 a AaA 因此 2 2 tty a 原方程的通解为 2 2 21 ttcctytyy a ct 21 c c为任意常数 所以原方程的通解为 1 1 2 2 21 1 21 ttcc tcc y a at t 21 c c为任意常数 6 1 证明证明 因为 1 2 为二阶常系数线性差分方程 8 4 1 的二特 征根 所以有 1 a 2 1 b 2 一方面 若 t U t y为一阶线性差分方程组 ttt tt Uyy tfUU 21 11 的解 则有 ttt tt Uyy tfUU 21 11 第8章 差分方程 19 同时有 ttt ybyay 12 11 211122 211212 tf UU yyyy yyy tt tttt ttt 因此 t y为方程 8 4 1 的解 另一方面 若 t y为方程 8 4 1 的解 则有 12 tfybyay ttt 即 211122 211212 tf yyyy