习题解答 - 第三章 连续随机变量及其分布.pdf

第三章 连续型随机变量及其分布 习题 3 1 p 86 1 设随机变量 的分布律如下表所示 i x 0 1 2 7 2 i xP 1 3 1 8 1 6 3 8 试求 的分布函数 并利用分布函数求 20 P 解 2 7 1 2 7 3 8 5 31 24 11 10 3 1 00 x x x x x xF 24 11 0 24 11 000220020 FFFFPPP 2 函数xsin在下列范围内取值 2 0 0 2 3 0 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数 解 作为连续型随机变量的密度函数 xf在定义范围内满足 0 xf 1d xxf 1dsin 2 0 xx且当时 故可作为连续型随机变量的密度函数 2 0 x0sin x 12cosdsin 0 0 xxx 故不可以作为连续型随机变量的密度函数 1cosdsin 2 3 0 2 3 0 xxx 但当 2 3 x时 0sin 其它0 ecxa xf cxb 解 b a b a b axaxxf cb c cxb c cxb c ee 1 ded1 c b a b 1 0 任意 其它0 21 lxlbxa xg 解 2 1 dd1 l l xbxaxxg 1 lb 2 1 2 1 2 d1 2 l l l l bx axbxa 2 2 1 2 2 blbla 21 lbl 2 1 2 1 22 dd1 22 l b b l l b b l bxxb axbxxxba 2 2 1 2 2 blbla 2 lb 2 1 2 1 1 2 d1 2 l l l l xb axxba 2 2 2 2 1 lblba 4 设连续型随机变量 的分布函数为 1 10 0 1 0 3 P 13 0 P 43 P 解 连续 xF 111 FFA 1 A xxxP 973 0d313 0 1 3 0 2 xxP 2 64 37 d3434343 1 4 3 2 xxPPP 5 设随机变量 的密度函数为 0 e 0 0 4 2 xKx x xf x 求未知常数K 求 11 P 解 KK x KxKxxxf xxx 2e2 4 de2ded1 0 4 0 2 4 0 4 222 2 1 K 4 1 1 0 44 1 0 e1ede 2 11 22 xx x x P 6 设随机变量 的密度函数为 其它 0 2 2 cos 2 1 xx xf 其它 10 01 0 1 1 x x x x xf 求 的分布函数 并画出 xF xf和 xF的图形 解 x ttfxFd 2 x 0d0 x txF 2 2 x 1sin 2 1 sin 2 1 dcos 2 1 2 2 xtttxF x x 2 x 1sin 2 1 dcos 2 1 2 2 2 2 tttxF 3 2 2 2 2 1 1sin 2 1 0 x x x xxF 1 x 0d0 x txF 01 x 2 1 2 d1d0d 2 1 1 x x tttttfxF xx 10 x 2 1 2 d1d1d0d 2 0 0 1 1 x x tttttttfxF xx 1 x 1d0d1d1d0d 1 1 0 0 1 1 xx ttttttttfxF 11 10 2 1 2 01 2 1 2 10 2 2 x xx x xx x x xF 7 设随机变量 的密度函数为 其它 21 10 0 2 x x x x xf 求 4 3 2 1 P 2 3 2 1 P 2 1 P 解 32 5 2 d 4 3 2 1 4 3 2 1 24 3 2 1 x xxP 4 3 2 2 2 d2d 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 1 22 3 1 1 2 1 x x x x xxxP 8 7 2 2 2 d2d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 x x x x xxxP 4 8 设k在 5 0上服从均匀分布 求方程02有实根的概率 44 2 kkxx 解 其它 0 50 5 1 x xf 倘若方程有实根 则 01216216164 22 kkkkacb 舍去或12 kk 5 3 d 5 1 2 5 2 xkP 9 在区间 a 0上任意选取一点 用 表示该点的坐标 试求坐标 的分布函数和密度函 数 解 当0时 x 是必然事件 1 xPxF 故有 ax ax x a x xF0 0 1 0 其它 0 0 1 ax a xf 10 在内任取一点 用ABC P 表示点到底边PAB的距离 AB上的高的长度为 求 h 的分布函数和密度函数 解 0 1 xF hx 0 概率为梯形面积与整个三角形面积之比 即为 2 2 2 2 1 2 1 h xhx ah x h xha a xF 故有 ax ax x h xhx xF0 0 1 2 0 2 2 P 15 P 1 PPP 5328 015 05 0 4 1 115 PP 1915 005 05 0 4 1 0111 PPP 5 0 4 1 5 0121121 PPP 617 05 05 01 cPcPcP 1 5 0 cP 5 0 4 1 4 1 c P 5 0 4 1 c 0 4 1 c 1 c 12 设测量误差 的密度函数 3200 20 2 e 240 1 x xf x 求测量误差的绝对值不超过 30 的概率 如果接连测量 3 次 每次测量相互独立 求至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概 率 解 40 20 40 2030 40 20 40 2030 303030 PPP 4931 01125 025 0125 025 0 设 表示 测量误差的绝对值不超过 30 4931 0 3 B 6 8698 04931 014931 0101111 30 0 3 CPPP 13 一工厂生产的电子管寿命 服从参数为 和的正态分布 2 160 若要求 80 0200120 P 问 最大允许为多少 解 160200160160120 200120PP 8 01 40 2 4040 9 0 40 从而28 1 40 25 31 即允许 最大为 31 25 14 某地会考中学生成绩服从正态分布 现知不及格人数占总数 15 9 96 分以上占总数 2 3 问成绩在 60 84 之间的占总数多少 解 159 060 P 159 0 6060 PP 977 0 96 2 96 由 得 12 72 6826 011 12 7284 12 72 12 7260 8460 1000 1000 1000 0 2 x x x xf 问在 1500 小时内 三个元件中没一只损坏的概率 三个元件全部损坏的概率 这里假设三个元件是否损坏是相互独立的 解 3 21000 d x 1000 d1500 1500 1500 2 1500 x xxxfPp 27 8 3 p 27 11 3 p 7 16 设随机变量 的密度函数为 xPp 9 8 3 1 3 2 3 1 1111 3 1 4 4 3 11 4 4 00 4 CppCppCP 第三章 连续型随机变量及其分布 习题 3 2 p 105 1 设 的联合分布函数为 3 arctan 2 arctan y C x BAyxF yx 求参数的值 CBA 求 的联合密度函数 求 和 的边缘分布函数与边缘密度函数 解 1 22 FA BC Q 0 22 FA BC 2 1 2 BCA 2 222 22 11 16 32 46 11 23 F x y f x y x y 2 xyxy xy 1 arctan 22 x FxF x 2 12 4 fxFxx x 1 arctan 32 y FyFy 2 13 9 fyFyy y 其它 0 1 1 e2 3 1 yx x yxf y 解 当1x 时 1 33 1 22 ded y fxf x yyy xx 3 2 1 0 x fxx 其它 当1y 时 11 3 1 2 dede yy fyf x yxx x 1 e1 0 y y fy 其它 其它 0 0 0 e4 22 yxxy yxf yx 解 当时 0 x 22 0 d2 e2 ed2 e 2 xyx fxf x yyxyyx 2 20 0 x xex fx 其它 当时 0y 22 0 d2 e2 ed2 e 2 xyy fyf x yxxyxy 2 2 e0 0 y yy fy 其它 其它 0 10 10 2 6 yxyxxy yxf 解 当01x 时 1 2 0 d62d43fxf x yyxyxyyx x 1 2 430 0 xxx fx 其它 当时 01y 1 2 0 d62d43fyf x yxxyxyxy y 1 2 430 0 yyy fy 其它 其它 0 0 10 2 8 4 xyxxy yxf 解 当01x 时 2 0 d4 82d2 42 x fxf x yyyxyx x 2 2 4201 0 xxx fx 其它 当时 01y 1 2 d4 82d2 434 y fyf x yxyxxyyy 2 2 43401 0 yyyy fy 其它 其它 0 1 1 2 2222 yxyx yxf 解 当11x 时 2 2 3 1 222 2 1 28 d1d1 3 x x fxf x yyxyyx 3 2 2 8 11 3 0 1xx fx 其它 同理 3 2 2 8 11 3 0 1yy fy 其它 1 1 22222 yxyx yxf 解 22222 d1 darctan 11 1 1 y fxf x yyy 2 1 xyx x 2 1 1 fxx x 同理 2 1 1 fyy y 2 1 P 2 P 31 P P 已知 2 1 时 的概率 解 11 22 00 11 dd 22 Px 1 4 y 2 11 1 1 22 2 P 7 8 1 2 11 2 000 0 1 2 d dddd 24 x x yG xx Pf x yx yxyx 4 11 1 0 3 12 dd 33 Px y 2 11 1 1122 2 11 24 22 P P P 6 第 3 题各随机变量是否独立 解 若随机变量 与 相互独立 则 yfxfyxf 因此 相互独立 不独立 7 设二维随机变量 在图示的区域G上服从均匀分布 试求 的联合密度和边缘密度函数 求 落在区域内的概率 2 1xy 解 6 1 dd 1 0 2 1 0 xxxxyyA 下上 其它 0 10 6 2 xyxx yxf 当01x 时 2 6d6d 2 xxyyyxfxf x x 其它0 106 2 xxx xf 当01y 时 yyxxyxfyf y y 6d6d 其它0 106yyy yf 求交点 2 2 1xy xy 2 1 1 x 2 1xy xy 2 51 2 x 22 2 557 d6dd6d 2 22 1 2 1 2 51 2 51 0 x x x x yxyxP 8 设 相互独立 在 上服从均匀分布 20 的密度函数为 0 0 0 e5 5 y y yf y 求 和 的联合密度函数 求 P 解 其它0 20 2 1 x xf 因为 与 相互独立 所以 其它0 0 20e 2 5 5 yx yfxfyxf y 10 2 0 55 2 0 e1 10 1 de 2 1 de 2 5 d xyxP x x y 9 设一电子器件包含两个部分 分别用 和 表示它们的寿命 单位 小时 设 的联合分布为 其它 0 0 0 eee1 01 001 001 0 yx yxF yxyx 问 和 是否独立 求 120 120 P 解 x xFxF 01 0 e1 y yFyF 01 0 e1 因为 所以 yFxFyxF 和 相互独立 4 2 e12011201120120120 120 FFPPP 10 设 服从二维正态分布 设参数539511 2 2 22 121 写出它的联合密度函数和边 缘密度函数 若 的联合密度函数为 22 1 9 1 4 6 4 4 6 1 e 2 3 yyxx yxf 求参数 21 2 2 2 1 和 的值 并写出 和 的边缘密度函数 解 5 4 1 2 22 3 1 3 1 5 1 5 6 5 1 32 25 exp 24 1 yyxx yxf yx xxf x e 25 1 50 1 2 yyf y e 23 1 18 1 2 由公式 9 4 114 2 2 2 121 3 1 1 3 2 1 22 21 2 3 1 2 2 1 xxf x e 2 1 2 4 2 00 0 e 1 2 1 22 xy xy yxf yx 当 当 求证 和 的边缘分布分别为 1 0 N 注记 本题说明 即使 的边缘分布分别为正态分布 也不能保证联合分布函数 为二维正态分布 解 当时 0 x 2 0 22 0 2 1 222 22 e 2 1 dee 1 de 1 d xyx yx yyyyxfxf 当时 0 x 2 0 22 0 2 1 222 22 e 2 1 dee 1 de 1 d xyx yx yyyyxfxf 式中高斯积分2 de 2 2 y y 且 2 2 e y 为偶函数 故 2 2 de 0 2 2 y y 0 0 0 e x x xf x 求的密度函数 3 解 3 xy 3 1 yx 03 2 xyy严格单调 由 则 0 x0 y 当时 0 y 3 2 3 1 e 3 yyhyhfyf y 0 0 0 e 3 3 3 2 y yy yf y 若 的密度函数为 求的密度函数 xf 3 解 解法同上 3 2 3 3 1 yyfyf 2 设随机变量 在 1 0上服从均匀分布 求 2 1 的密度函数 解 其它 0 1 0 1x xf xy2 严格单调 由10 x 得20 y 当时 20 y 2 1 2 1 1 1 yhyhfyf 其它 0 2 0 2 1 1 y yf 求的密度函数 e 2 解 其它 0 1 0 1x xf 1 x ye 严格单调 由yxln 10 x 得e1 y 当时 e1 y yy yyfyhyhfyf 11 1lnln 2 其它 0 e 1 1 2 y y yf 求 ln2 3 的密度函数 解 其它 0 1 0 1x xf xyln2 2 e y x 严格单调 由10 x 得 0 y 当时 0 y 2222 e 2 1 e 2 1 1ee 3 yyyy fyhyhfyf 其它 0 0 e 2 1 2 3 y yf y 3 设 1 0 N 求下列各随机变量函数的密度函数 e 1 解 y 当时 0 y 2 ln2 1 e 2 1 lnln y y yyfyhyhfyf 其它 0 0 e 2 1 2 ln2 1 y yf y 12 2 2 解 y 当时 1 y 4 1 e 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y yy f yy fyf 其它 0 1 e 1 2 1 4 1 2 y y yf y 求 3 解 y 当时 0 y 2 2 3 e 2 y yyfyyfyf 其它 0 0 e 2 2 2 3 y yf y 4 设 的密度函数为 其它 0 21 1 9 2 xx xf 求的密度函数 2 解 当时 11 x 2 xy 10 y分段单调 yx y yyfyyfyf 9 2 当时 21 x 2 xy 41 y严格单调 yx 3 y yyfyf 1 1 9 1 其它 0 41 1 1 9 1 10 9 2 y y y y yf 5 设 的密度函数为 其它 0 0 3 22 1 xx xf 其它 0 2 2 1 2 x xf 分别求出 cos 的密度函数 解 在 内 0 xycos 严格单调 yxarccos 11 y 当时 11 y 23 2 1 arccos3 arccosarccos y y yyfyf 其它 0 11 1 arccos3 23 2 y y y yf 在 2 2 内 xycos 分段单调 arccosarccos yyx或 10 y 当时 10 y 2 1 2 arccos arccosarccosarccos y yyfyyfyf iw242162 w 2 w i 当时 242162 w w ww fwf IW 24 1 22 yx x x yP 1 2 1 2 de 2 1 111 2 令 t x 1 t t xd 1 d 2 yt y x 0 1 y t y t tt t t yF 0 2 0 2 2 2 de 2 1 1d 1 e 2 1 22 2 2 e 2 1 y yFyf 8 设 独立同分布 服从指数分布 密度函数为 0 0 0 e x x xf x 求 1 2 2 的密度函数 解 当 zx z z z xzx zxxxzfxfzf edeed 0 2 1 0 0 0 e 2 1 z zz zf z 0 0 0 e 222 2 2 z z zz f zf z 9 设 独立 在 上服从均匀分布 2 0 服从参数为 1 的指数分布 求 的 密度函数 解 xxzfxfxxzxfzfdd 独立性 其它 0 20 2 1 x xf zx zx xz xz xzf xzxz 0 e 0 0 0 e 当 0 z 0 zf 当 20 z z z xz xzfe1 2 1 de 2 1 0 当 2 z zxz xzfe1e 2 1 de 2 1 2 2 0 其它 0 2e1e 2 1 20e1 2 1 2 z z zf z z 10 设 相互独立 2 3 1 N 2 2 2 N 令 52 1 2 53 2 3 求各 i 的密度函数 解 2 1 6 7 52N yyf y e 26 1 72 7 2 1 13 3 2 N yyf y e 26 1 26 3 2 2 72 1 532 3 N 0 0 0 e t tt tf t 并设各周的需要量是相互独立的 试求 两周需要量的密度函数 三周需要量的密度函数 解 与 独立同分布 0 z 0 zf 当时 0 z z xxzfxfzf 0 d z z z z xzx z xxxzxxzx e 6 dedee 3 0 2 0 0 0 0 e 3 3 z z z zf z 与 相互独立 0 z 0 zf 当时 0 z z xxzfxfzf 0 d z z z z xzx z xxzxxxz x e 120 d 6 e dee 6 5 0 43 0 3 0 0 0 e 5 5 z z z zf z 12 设 的密度函数为 2 22 2 2 e 2 1 yx yxf 求 22 1 的密度函数 解 0 z 0 1 zF 当时 0 z 7 22 2 22 22 1 dde 2 1 dd 2 2 22 yx yx yx yxyxyxfzPzF 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 e1ede 2 1 d z z r z r rr 极坐标 其它 0 0 e1 2 2 1 2 z zF z 其它 0 0 e z 2 2 1 2 2 z zf z 13 在长为的线段上随机地任取两点 求这两点间距离的密度函数 a 解 aU 0 aU 0 其它其它 0 0 2 0 0 2 2 2 2 2 az a zaz az a zaa zPzF t 00 0 e1 11 3 3 t t tFtF t T 00 0 e3 3 t t tFtf t TT 15 设 n 1 L独立同分布 其密度函数 0 0 0 e 4 8 2 x x x xf x 求 i ni 1 max的密度函数 并求 4 P 解 独立同分布 故 niyFyFi 2 1 L n 1 L 8 当时 0 y 0 yF 当时 0 y 88 22 e1de 4 d y y x y i x x xxfyPyF 0 0 0 e1 8 2 y y yF y 0 0 0 e1 8 2 y y yFyF n y n 0 0 0 e1e 4 1 88 22 y y ny yFyf n y y n PP 2 e11414 16 设某种元件寿命近似服从 2 20 160N 随机地选取 4 只 求其中没有 1 只寿命小于 180 小时的概率 解 11 20 160180 20 160 11801180 PPPPp 1587 08413 0111 故所求概率为 4 4 1587 0 pP 9 第三章 连续型随机变量及其分布 复习题 p 125 1 一批弹药 如果在规定的距离内试射 5 发而没有一发落在离开靶心 2 米之外 就可认为 合格予以接收 在每次试射时 弹着点与靶心距离r的密度函数为 30 e1 e2 9 2 r r rf r 问该批弹药被接收的概率是多少 解 9 4 2 0 9 2 0 9 e1 e1 e e1 1 d e1 e2 2 2 2 已知 97 BAPU 求a 解 其它 0 31 2 1 x xf 且 独立同分布 所以 1 2 1 d 2 1 1 axaPAP a axaPBP a 3 2 1 d 2 1 3 且事件相互独立 所以 BA 9731 4 1 1 aaBPAPBPAPBAPU 0 9 35 4 2 aa 所以 3 7 3 5 aa或 5 设在半径为R的圆周上随机任取两个点P Q 用 表示弦PQ的长度 求 的分布函 数和密度函数 解 其中 Rx Rxp x xPxF 21 20 0 0 圆 扇 S S p 2 1 设xPQ 圆心角为 2 R x 2 arcsin 所以 2 RS 扇 2 p Rx Rx