2014 数学竞赛 集合函数型问题综合讲解.pdf

3 1 集合函数型问题综合讲解集合函数型问题综合讲解 张小明主讲 一 自主招生难题一 自主招生难题 例例 1 1 集合 1 2 3 An 且A中不包含相邻的数 求所有这些子集中数的乘积的平方 和 n a 若A为单元集 a 则A中数的乘积为a 求有关 1 2 n an 的递推式 解解 设 集合 1 2 3 nAn 且A中不包含相邻的数 求所有这些子集中数的乘 积的平方和 n b 则有 1nnn aab 而 22 2nn bn an 所以有 2 12 1 nnn aana 而 12 1 5aa 可用归纳法证明 若 3 2 1 nA 且满足条件 则所求的和为 1 1 n 例例 2 2 已知函数 f x定义在R上 满足以下两个条件 1 值域为 1 1 当01x 时 有1 0f x 2 对于定义域内 x y都满足 1 f xf y f xy f x f y 同时函数 g x 的定义域为 1 1 且满足 g f xx 对任意的x都成立 求 111 235 ggg 提示 先证 f 0 0 f 为单调减 且为奇函数 g 是 f 的反函数 再做 111 0 235 fggg 所以 111 235 ggg 0 注 双变量是数学竞赛题的时兴题 也常在高考上出现 变动的强度更强 我们需了解 常见的几个变动 例例 3 3 已知函数方程 2 cosf xyf xyf xy 对于 x y都成立 求函数 f x 解 1 令0 x yx 有 2 0 c o sfxfxfx 2 0 cos fxfxf x 2 令 2 y 有 0 22 f xf x 所以可知 0f xf x f xf x 3 2 x 2 yx 有 2c o s 22 fxf xfx 2sin 2 fxf xfx 综合以上三个式子有 2 0 cos 2sin 2 fxf xf xfx 2 0 cos22sin 2 fxf xfx sin 0 cos 2 f xfxfx 例例 4 4 2005 年罗马利亚 已知 yf x 定义域 值域都是 R 滿足以下两个条件 1 对于 所有xyR 都有 1 x f xf xf x 2 对于所有 x yR 都有 f xf yxy 求 f x 解 若0 x nN 有 1 可知 f xnf x xnx 则 xn f x f xn x 所以 xnfxynfy fxnfynxy xy 即 3 2 f xf y f xf ynxy xy 对于所有 0 x y 和nN 成立 所以存在一 个实数k 使得 f xkx 对xR 成立 例例 5 例例 6 6 例例 7 7 求函数 22 10968256f xxxxx 的最大值 解 1 9 4 64 f xxxxx 则定义域为49x 为了从两个根 式中移出相同的常数 注意 1 64 63xx 即 22 164 1 6363 xx 令 1 cos 63 x 64 sin 63 x 为 锐 角 又 由 4 9 5xx 即 3 3 22 49 1 55 xx 令 4 sin 5 x 9 cos 5 x 为锐角 所以 163cos 95cosxx 6463sin x 45sinx 于是 3 35 coscossinsin3 35cos 3 35f x 当 时 等 号 成 立 此 时 19 coscos 635 xx 于 是 19 1 9 635635 xxxx 82 6817 126 1 17 x 126143 1 1717 x 而 143 4 9 17 即当 143 17 x f x取 得最大值3 35 解二 利用 abcdac bd 因为 2 abcdabcdabcdadbc 即 2 a bc da c b d 两边开方便 得上式 其中取等号当且仅当adbc 因此 1 9 64 4 f xxxx x 1 64 94 xxxx 63 53 35 其中取等号当且仅当 1 4 9 64 xxxx 即 143 17 x 例例 8 8 北约 北约 20122012 年自主招生试题 年自主招生试题 求使得sin4 sin2sin sin3xxxxa 在 0 有唯一解 求a 解 作如下恒等变换sin4 sin2sin sin3xxxxa 1111 cos6cos2cos4cos2 2222 xxxxa 11 cos6cos4 22 xxa 32 11 4cos 23cos2 2cos 21 22 xxxa 32 4cos 22cos 23cos2210 xxxa 令cos2xu 则 上 式 可 写 为 32 423210uuua 由 于 0 x 因 此 2 0 2 x 若在方程式中 0 0u 是它的一个根 则 0 cos2xu 要使其有唯一解 只 有 0 1u 或 0 1u 此时0a 或1a 当0a 时 32 42310uuu 2 1 421 0uuu 12 3 15 1 4 uu 不符合题意 当1a 时 32 42330uuu 2 1 463 0uuu 4 1u 符合题意 至此知1a 二 竞赛题二 竞赛题 例例 1 1 设 xp是实系数多项式函数 dcxbxaxxp 23 证明 如果对于任何1 x 都有1 xp 则7 dcba 证明 其实对于任何1 x 都有1 xp 令 2 1 2 1 1 1 x 分别有 3 4 1 dcba 1 dcba 1 2 1 4 1 8 1 dcba 1 2 1 4 1 8 1 dcba 则 2 1 4 1 8 1 2 1 4 1 8 1 4321 dcbatdcbatdcbatdcbat 4321 tttt 22 4 1 4 1 8 1 8 1 4321 43 2143214321 dttttc tt ttbttttatttt 4321 tttt 若令0 0 22 1 4 1 4 1 1 8 1 8 1 4321 43 2143214321 tttt tt tttttttttt 可 解得 3 2 2 0 3 4 4321 tttt 即得4 ba 若令0 0 22 1 4 1 4 1 1 8 1 8 1 4321 43 2143214321 tttt tt tttttttttt 可解得2 3 2 3 4 0 4321 tttt 即得4 ba 若令1 1 22 0 4 1 4 1 0 8 1 8 1 4321 43 2143214321 tttt tt tttttttttt 可 解得 3 2 2 0 3 1 4321 tttt 即得3 dc 若令1 1 22 0 4 1 4 1 0 8 1 8 1 4321 43 2143214321 tttt tt tttttttttt 可解得2 3 2 3 1 0 4321 tttt 即得3 dc 至此易知 baba 或 ba 4 ba dcdc 或 dc 3 dc 进而知7 dcba 例例 2 2 设A是一个n元集合 A的m个子集 m AAA 21 两两互不包含 试证 1 m i in AC 1 1 1 2 m i in mAC 1 2 其中 i A表示 i A所含元素的个数 证明 按定义有 1 n AnA AC ii in 由此可见 为证 1 只须证明等价不等式 m i ii nAnA 1 对于每个 i A 利用 i A构造集A中的n个元素的排列如下 前 i A个位置是 i A中的所有 元素的一个排列 后 i An 个位置是 i A的补集 c i A中的所有元素的一个排列 这样的排列 称之为从属于 i A的排列 按乘法定理知 这样的排列数是 ii AnA 当ij 时 不妨设 ij AA 如果有一个A的元素的排列既从属于 i A 又从属于 j A 则其中的前 i A个元素都属于 i A 前 j A个元素都属于 i A 从而有 ji AA 此与已知矛 盾 这表明从属于不同子集的任何两个排列互不相同 因为 A 中 n 个元素的所有排列总数为 n 故得不等式 3 5 对于任何m个正数 m aaa 21 由柯西不等式有 m i i m i i m i i i a a a a m 11 2 1 2 11 令 i A ni Ca mi 2 1 由已证的不等 式 1 即得 m i A n m i A n m i A n ii i CC C m 111 2 1 例例 3 3 设集合 1 2 10A A到A的映射f满足下列两个条件 1 对任意xA 30 fxx 2 对每个正整数k 129k 至少存在一个aA 使得 k faa 其中 1 fxf x 2 fxff x 1kk fxffx 求这样的 映射的总数 解 由题意可知 该映射由若干个小循环映射组合而成 且这几个循环映射的最小公倍 数为 30 不妨设该映射由n个小循环映射组成 依次以 12 n aaa 为循环 则 12 12 10 30 n n aaa aaa 经过枚举可知 该映射仅能由 2 3 5 为小循环组合而成 这样的 映射的总数共有 532 1045221 120960CPCPCP 例例 4 设 oxyz 是空间直角坐标系 S 是空间中的一个有限点集 Sx Sy Sz分别是 S 中所有点 的坐标平面 oyz ozx oxy 上的正投影所成的集合 求证 2 zyx SSSS 1992 年 IMO 试题 5 证明 对每点令 x Sji ij Tx i jx i jS 显然有 ix ij i jS ST 由柯西 不等式有 2 2 2 1 ij Sji xij SjiSji TSTS xxx 考虑集合 x ijij i jS VTT 其中 1212 ijijij TTt tt tT 显然 V 2 ij Sji T x 定义映射 f 如下 zy SSixjxjixjixV 不 难 看 出f为 单 射 因 此 有 zy SSV 由 即得 2 zyx SSSS 例例 5 5 求满足 0 xyyzzu xyyzzu 且1 10 x y z u 的所有四元有序整数组 x y z u的个数 解 设 abbccd f a b c d abbccd 记 1 10 0 Ax y z ux y z uf x y z u 1 10 0 Bx y z ux y z uf x y z u 1 10 0 Cx y z ux y z uf x y z u 显然 4 10card Acard Bcard C 我们证明 card Acard B 对每一个 x y z uA 考虑 x u z y 3 6 00 xyyzzuux x y z uAf x y z u xyyzzuux 00 xyyzzuux f x y z u xyyzzuux 0 0 xuuzzyyx f x y z ux u z yB xuuzzyyx 接着计算 card C 0 xzyuxzyu x y z uCzx uy xzyu xy zuyz ux 设 1 1 10 Cx y z uxzx y z u 2 1 10 Cx y z uxz yux y z u 3 1 10 Cx y z uxz yu xzyux y z u 因满足 abcda b c d 为 1 2 3 10 的两两不同的无序四元组只有 1 62 3 1 824 1 102 5 263 4 2 93 6 2 104 5 3 846 3 105 6 4 105 8 满足 xy zu xz 的四元组共 90 个 满足 xz yu xz 的四元组共 90 个 312 42 99090252 1000 900card Ccard Ccard C 所以 2152 3924card Ccard A 例例 6 6 若01 1 2 i xin 求 1 2222 213211nnn Mxxxxxxxx 的最大值 2 3 1 ij ij n Mxx 的最大值 解 1 不妨设 1 x最小 则易知 2222 213211nnn Mxxxxxxxx 2222 2321nnn xxxxxx 又 222 2323 11xxxx 223 110 xxx 所以有 222 31 11 nnn Mxxxx 又 2 22 3344 1 1xxxx 34 1xx 所以 222 41 2 nnn Mxxxx 当 12 0 1 0 1 x x M 最大时 若最后 1 0 n x 则易证 222 1 22 nnnn xxxx 即 n x取 1 若最后 1 1 n x 则易证 2222 1 11 nnnnn xxxxx 此时 n x可取 0 所以n为偶数时 M的最大值为 n n为奇数时 M的最大值为 n 1 2 3 1 ij ij n Mxx 关于诸 1 2 i x in 是对称的 不妨设 12n xxx 所以 3 12 1 nji ij n M x xxxx 当 1 2 n k 时 我们有 3333 111 kkkkknk xxxxxxxx 3333 111 0 0 0 0 kkn xxxx 3 7 等价于 2 111111 21 3 kkkkkkknnkk nk xxxxxxxxxxxxx 此时 上式左边为负 右式为正 此式成立 因此我们依次把 12 1 2 0 0 0 n xxx 时 M 越来越大 所以有 12 1 21 0 0 0 nnn M x xxMxx 3 3 1 21 1 21 1 2 n iij innij n n xxx 设 1 1 2 n k 11 1 21 1 21 0 0 0 0 0 0 1 nkknnn MxxMxxxx 等价于 3 333 3 11 1 21 3 333 11 1 21 1 2 1 1111 2 kkkkkknkn kknn n xxxxxxxxx n xxxx 1 3333 3 1 1 21 1 111 2 nk ikikiki i kin n xxxxxxx 22 1 1 22 2 1 21 11 1 111 2 n ikikii i k k kkiikiki in xxxxxx n xxxxxxxx 22 1 1 222 1 21 3331 1 11 333 2 n iikkik i k k kkiikikk in xx xxxx n xxxxxx xx 1 222 1 1 21 333211333 nk iikikkiiik i kin xx xxknxxxxx x 1 222 1 1 21 333211333 nk iikikkiiik i kin xx xxknxxxxx x 1 2 1 21 0321333 k kiiik in xknxxx x 1 2 1 21 0 k kiiik in xxxx x 1 1 21 01 k kii in xxx 即 1 1 2 1 1 1 1 nnn xxx 至此知 12 0 0 0 1 1 n M x xxM 即n为 偶数时 一半 0 一半 1 M 为最大 即n为奇数时 1 2 n 个 0 其余为 1 M 为最大 例例 7 7 3 8 例例 8 8 设M为n元集 若M有k个不同的子集 12 k A AA 满足 对于每个 1 2 i jk ij AA 求正整数k的最大值 解 正整数k的最大值为 1 2n 1 先证明 存在M的 1 2n 个子集 两两之交不空 设 12 n Ma aa 而 1 12 2 n A AA 为集合 121 n a aa 的全部 1 2n 个子集 令 1 1 2 2n iin BAai 则M的 1 2n 个子集 1 12 2 n B BB 两两之交不空 2 再证 对于M的任何 1 21 n 个子集 其中必有两个子集不相交 设 1 12 2 n B BB 是M的 1 2n 个不同子集 其中每个皆含 n a 用 i B表示子集 i B在M 中的补集 1 1 2 2 n i i BMBi 则对于任意ij ij ij BB BB 并且 j i BB 因前者含 n a而后者不含 故 1 12 2 n B BB 1 122 n B BB 为M的全部2n个不同子 集 现将上述集合搭配成为 1 2n 对 1 1 122 12 2 n n B BB BBB 任取M的 1 21 n 个子集 必有两个子集属于同一对 则这两个子集不相交 例例 9 9 求证 n 是 2 的幂次的充要条件是存在两个数组 12 n a aa 和 21n bbb 相同 的元素可重复出现 使得集合 1 njiaa ji 与集合 1 njibb ji 相同 证明 必要性 构造母函数 n aaa xxxxf 21 n bbb xxxxg 21 所以 nji aa ji xxfxf 1 22 2 nji bb ji xxgxg 1 22 2 所以 2222 xgxgxfxf 即 2222 xgxfxgxf 因为 0 1 1 gf 所 以 1xgxfx 所 以 存 在 Nh 使 得 0 1 xPxgxfxPx h 所以 1 2222 xPxxfxf h 所以 1 1 22 xPxxPxxgxf hh 所以 1 2 xP xPx xgxf h 令 x 1 则 h n22 所以 1 2 h n 即 n 为 2 的幂次 3 9 充分性 直接构造如下 1na aaa 中取 1 2 k l 个l 2 其中 2 1 1 0 k l 21n bbb 中取 1 12 k l 个12 l 其中 2 1 0 k l 则这两个集合满足要求 课后练习课后练习 1 1 若01 1 2 i xin 求 2 1 ij ij n xx 的最大值 2 2 求2713yxxx 的值域 3 3 设 0a b 求 22 1 1 a bab y abab 的取值范围 解 当ab 时 y 所以y无最