有质量弹簧的振动解.doc

2 0 0 3 20 4 , 5 ( 2 ) : 4 5 -4 7J ou r na l of A ns ha n Nor ma l U niversity有质量弹簧的振动解戴宝印代娜(鞍山师范学院 物理系 ,辽宁 鞍山 114005)摘 要 :从有质量弹簧的波动方程出发 ,运用牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法 ,给出定解问题 ;然后 分离变量 ,直接求解波动方程 ,得到分离变数形式的解和频率 所满足的本征值方程 ;再将 tan/ m 展开 成麦克劳林 ( Maclaurin) 级数形式 ,并采用迭代法解出弹簧振子的本征频率 ,导出弹簧的有效质量的渐近级数表达式 ;最后由初始条件解出其对应的振幅 ,得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解 .关键词 :波动方程 ;本征值方程 ;本征频率 ;有效质量文章篇号 :100822441 (2003) 0220045203中图分类号 :O32文献标识码 :AThe Sol ut ions of Spring Which O wns Ma ssDA I Bao2yinDA I Na( Depa rt ment of Physics , A ns han N or m al U ni versi t y , A ns han L i aoni ng 114005 , Chi n a)Abstract :Applying Newto n seco nd law and Hoo ks law and lit tle yuans analytic met ho d , t he p ro blem of definite solutio n are w rit ten o ut ,beginning wit h t he wave equatio n of sp ring w hich ow ns mass. Then t he variables are separated and t he wave equatio n is solved directly. The solu2 tio n of separating parameter fo r m and int rinsic equatio n t hat f requency meet s are got . Then tan/ m is changed into McL aurin Series fo r m and t he int rinsic f requency of sp ring o scillato r is solved by adop ting iterative law . The asymp totic series exp ressio n of t he effective mass of sp ring is co ncluded. Acco rding to t he initial co nditio ns , t he co rrespo nding amplit ude is solved and t hen t he solutio n of sp ring w ho se mass can not be igno red o scillato r system is got .Key words : Wave equatio n ; Int rinsic equatio n ; Int rinsic f requency ; Effective mass在精确程度要求不高的情况下 ,一般认为弹簧振动系统具有一个自由度 ,即系统内各点的位置完全由振子的位置决定 ,弹簧质量忽略不计 ,不考虑弹簧惯性的影响. 严格地讲 ,弹簧具有质量 ,弹簧上各点 的位置并不能由振子的位置完全确定 ,弹簧的惯性将对整个系统的运动产生影响.1有质量弹簧的波动方程考虑弹簧是均匀的连续介质 ,一端固定 ,一端系一质量为 M 的振子 . 设弹簧的劲度系数为 k , 长为L , 质量为 m , 在 t 时刻离固定端距离为 x 点处的弹簧位移量为 u ( x , t ) , 在振动过程中 , 弹簧不断地受到拉伸或压缩 . 观察其中原长为 d x 的一小段 . 设在某一时刻 t 这段弹簧正受到拉伸 , 根据胡克定律 , d x 两 端受到的合力为5 F5 F( 1)F = kL / d x d u , 即 F = kL u x , 将- F + F + 5 x d x = 5 x d x .这段弹簧的劲度系数是 kL / d x , 它的形变是 d u , 受到的拉力则为( 1) 式代入其中 , 得这段弹簧受到的合力为 ( 5 F/ 5 x ) d x = kL u x x d x . 这段弹簧的质量为 m / L d x , 加速度为 u t t , 由牛顿第二定律得弹簧中的波动方程u t t - ( kL 2 / m ) u x x = 0 .假定 x = 0 处固定 , x = L 处与质量为 M 的振子相连 ,可得其边界条件为( 2)u ( 0 , t ) = 0 ,u x ( L , t ) = - ( M / kL ) u t t ( L , t ) . t = 0 时弹簧被拉伸位移 u0 , 弹簧处于静止 , 则初始条件为u ( x , 0) = ( x / L ) u0 ,u t ( x , 0) = 0 .( 3)( 4)弹簧振子的本征频率令 u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) , 并将其代入泛定方程 ( 2) 和定解条件式 ( 3) 、( 4) 可得T/ ( kL 2 / m ) T = X/ X ,2( 5)( 6) ( 7)X ( 0) = 0 ; X( L ) T ( t ) = - M X ( L ) T( t ) ,kLT( 0) = 0 .由于 (5) 式两边分别是时间 t 和坐标 x 的函数 , 不可能相等 , 除非两边实际上是同一个常数记作 - 1 ,则 T/ ( kL 2 / m )T = X/ X = - , 这可以分离为关于 X 的常微分方程X+ X = 0 , X ( 0) = 0 ,( 8)X( L ) = - M L X( L )m和关于 T 的常微分方程2T+ kL T = 0 ,mT( 0) = 0 .( 9)当 0 时 , 方程 ( 8) 的解是m ,X ( x ) = C1co s x + C2 sin x . 积分常数 C1 和 C2 由条件 (6) 确定 ,即 C1于是X ( x ) = C2 sin x ,再看 T 的方程 (10) ,这个方程的解是L tanL= 0 ,=M( 10)2kLT ( t ) = A co s由式 (10) 和式 (11) 得到分离变数形式的解( 11)t .mAsin x co st ,u ( x , t ) =( 12)m L式中 m =k / m , 满足本征值方程 tan =m ,( 13)m mM为简捷起见 ,令 y = / m , = m / M 2 , 则 y tan y = , 解此方程可得到弹簧振子的本征频率 . 以 y n 表示第 n 个周期所对应的本征值 y , 在 | y | / 2 内 , 将 tan y 展开成麦克劳林 ( Maclaurin) 级数( n) (f ( y) f ( 0) + f ( 0) y + f ( 0) y2 + + f0)y n ,( 14)= 8sec2 ytan3 y +2 !n !因为 f ( y)= sec2 y , f ( y)= 2sec2 ytan y , f “( y)= 4sec2 ytan2 y + 2sec4 y , f (4) ( y)16sec4 ytan y , f (5) ( y) = 16sec2 ytan4 y + 88sec4 ytan2 y , f (6) ( y) = 32sec2 ytan5 y + 416sec4 ytan3 y + 272sec6 ytan y , f (7) ( y) = 64sec2 ytan6 y + 1824sec4 ytan4 y + 2880sec6 ytan2 y + 272sec8 y , , 所以 f ( 0) = 0 , f ( 0) = 1 ,f ( 0) = 0 , f “( 0) = 2 , f ( 4) ( 0) = 0 , f ( 5) ( 0) = 16 , f ( 6) ( 0) = 0 , f ( 7) ( 0) = 272 , 于是按公式 (14) ,得tan y 1 = y 1 + y3 + 16 y5 + 272 y7 + = y + 1 y 3 + y 5 + y 7 +2217, 由于 = y tan y , 因此11111111 13 ! 5 !7 !315315= / ( tan y 1 / y 1 ) = / ( 1 + 1 y1 +217y 2246y1 ) .y 1 +1315315对上式进行迭代运算 ,依次迭代 5 次可得/ ( 1 + 1 + 1 2 - 1 3 +111y24 +5 ) ,= ( 15)1 ( 5)3451891517522275ky 2 / m , 又每迭代一次可多取的高一幂次项 ,初值可任取 . 因为 y = / m ,m因为 = m / M ,代入 (15) 式右边 ,得弹簧的本征频率为k/ m , 所以 =1 ( m )- 1 ( m ) 2 +111k/ M + m 1 +( m ) 3 +( m ) 4 .1 ( 4)=315 M63 M4725 M7425 M将 tan y 在区间/ 2 y 3/ 2 内级数展开 ,可类似地求出第二本征频率 2 (2= y2m ) 2 - 642 - 15 1 -y22 +3 ,= + ( 16)2 ( 4)23436依此方法可求得更高的本征频率 n ( n 1)22 1 -( n) - 62 + 4 ( n) - 153 .y 2= n +n-( 17)n +1 ( 4)( n) 23 ( n) 43 ( n) 6由此得到弹簧的基频的有效质量 m 3 为11 ( m ) 1 ( m )111( m )( m )m 3234=m 1 +-+.( 4)315 M63 M4725 M 7425 M可见 ,弹簧的基频模式下振动的有效质量不仅取决于弹簧本身的质量 m , 还与弹簧质量与振子质m 3= m / 3 3 , 仅是弹簧有效质量的一级近似 . 在量的比值 m / M 有关. 以往认为弹簧的有效质量m / M 比值较小时精度尚可 , 当比值 m / M 增大时 ,误差将增大 .弹簧振子系统的振动解3n x= A n sinco sn t , 再由初始条件 , 可得振子的振动解为由本征值 n , 可得 u ( x , t )m Ln = 122 u0y2co sn t .u ( t )= u ( L , t ) =( 18)22n y n + + n = 1由 (8) 式可见 ,振动是由无限多的本征频率的振动合成的 . 为求得基频振幅的表达式 ,将 y1 的级数解式(12) 代入 A 1 的表达式 ,得1 - 1 ( m ) 2 +( m ) 3 -211( m ) 4 -4( m ) 5( 19)A 1 ( 5)= u 0,45 M 189 M 4725 M 22275 M同样可得第 n + 1 本征频率 ( n 1) 对应的振幅为 5 m 21 - ( n) 2 m2( n) 2 ( M )() M1 -+( 20)A n +1 ( 4)= u0.( n) 4以上所有级数表达式均具有相当高的精度 .由式 (19) 、(20) 可见 ,各本征频率的振幅除了取决于初始位移 u0 外 ,完全由弹簧质量与振子质量的 比值 m / M 所决定 , m / M 愈小 ,则基频的振幅占总振幅的比例就愈大 ,即使在 m / M = 1 时 ,基频的振 幅也占到 98 %以上4 . 因而 ,一般情况下 ,振动以基频的振动为主 ,其余的谐波成分可忽略不计.参考文献 :罗蔚茵 . 关于弹簧振子固有频