几类特殊行列式的求解方法.doc

第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版)V0115 No52002年10月Journal of Higher Correspondence Educa矗on(NatttrM Scieaces)October 2002文章编号：10067353【2002)050024(08)一05几类特殊行列式的求解方法+徐胜林 孙平(华中师范大学数学系湖北武汉430079)摘要：本文通过严格的求解和论证，给出了r1阶循环行列式、中心对称行列式等特 殊行列式的求解方法和技巧，还介绍了降阶定理在简化行列式计算方面的应用。关键词：循环行列式；中心对称行列式；降阶定理；求解方法 中图分类号：O 15122 文献标识码：A行列式的计算，是高等代数的重要内容 的视个不同的根。 之一，也是学习中的一个难点。阶数较低的行 定理的证明可以采用析因子法，但过程 列式，一般都可以直接利用行列式的定义和 较长，受篇幅限制，我们受析因子法的启示， 性质来求解。在计算，z阶行列式时，通常需要 采用了下面这种比较简单但不太容易想到的灵活地应用一些计算方法和技巧，才能得出证明方法。结果。本文讨论了几类特殊的行列式，给出了证明 易知求解的一些方法和技巧。吼l眈q口1，2阶循环行列式的计算方法定义1形如 n乱眈孙qq眈一岔ln一q眈 卅n犹撕口1墨叠巧D。=孙一吼一 2 厂(而)观弛批1口z，(毛)的行列式称为ll阶z一循环行列式，简记为=z亨(毛)D。=al，a2，口。l。，其中口1，口2，口。都为复数，称为D。的生成元。特别地，当z=1时，称D。为，z阶循环行 111列式，记为D。=口1，口2，口。f 1；当名=一 XlX2Zn1时，称D。为咒阶反循环行列式，记为D。： 记|A I=j口1，口2，口。一1。硝一1z一1znn-1 定理1 当z0时，咒阶?一循环行列则l A l是范德蒙行列式，A I=(乃一Xi)0。 式D。=l乜1，口。l：=f(xi)。其中1ijni=1由(1)式可得厂(z)-口p，z1，z2，是z”一zD。A收稿日期：2002091824万方数据第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版)VoI15 No52002年10月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)October 2002f(x-)f(x2)f(x。)I=告2a+(咒一1)d竹。z1以z1)z2，(z2)xJ(x。)f当k=1，2，咒一1时，叫1，此时，叫t乒：1+z+z2+Xn-1的根，=l x2f(x。)ziz：)z(z。)lzi一1“z1)z一1，(z2)z#，(z。)l所以每一个叫都满足方程1十z+z2+z”1=0，从而=厂(zi)A I，f()=口1+叫6+(叫)2+(叫)”一1因此D。=|al，a2，口。l：+d五1+2叫五 十3(愚)2+ (凡 一=f(x；)。1)(叫)”2推论1 设循环行列式D。=j nl，口2，：d讲幽址警血二一1Xj)-11)d，五=1，2，咒。其中口，d为已知数，则=d一玉举盟!盟!，a。I 1的生成元具体为口l=口+(愚一有=一糌=砑ndl(五-1，2，一1)o=一_=_I p=I一IJ7。1一一、。D。=al，a2，a。J l注意到，2，09n-x是多项式1+z+=i12口+(7z一1)d(一咒d)nl。z2+z”一1的7z一1个互不相等的根，故 证明设g(x)=1+2z+322十+z”一1+X2+z+1=(z一甜)(z一(7z一1)z”一2，则g(z)一zg(z)=1+z+z22)(z一”一1)。+z”一2一(721)z”一1，在等式两边同时令z=1，得所以，当z1时，出)=出生生芝。 (1一叫)(1一叫2)(1一Ojn-1)=咒。所以D。=l吣，口。j。=厂(叫)=(一兰)(一禹)(一当X=1时，易知g(1)=1+2+3+(咒一1)：丛冬型。尚)卜#鲁)争2口+(咒一记厂(z)=口肛。，则由定理1可知，1)d172口+(n一1)d7l(一nd)”一1D。=j，口。I。=厂()，2(1一)(1一叫2)(1一Ogn-1)其中叫：cos至堡十isin堑，叫，叫2，n：1 2口+(咒一1)dirl(一nd)”一12 7z是z”一1的咒个互不相等的根。因为=妻2a+(咒一1)d(一nd)”一1。厂(z)=a1+a2z+a322+anx”一1推论2 设循环行列式D。=i a1，a2，=口+(a+d)z+(口+2d)z2十+口+(7z一1)dX”1，口。1的生成元为口=ak-1(忌=1，2，=口(1+z+X2+Xn-1)+dz1+22，z)，a为已知数，则D。=1，a，口”1 1=(1一口“)”1。+322+(规一1)z”一2，故厂(叫”)=厂(1) 证明 当口=1时，结论明显成立。设：咒口+d丛车型f(x)=1+口z+a2x2+(ax)”一1。，2，叫”=1是X”一1的咒个不同的根，cU2S万方数据第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版)V0115 No52002年10月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)October 2002：cos熟+isin堑，则由定理知循环行列式，记为D。=l口l，口z，口。；当z=一1。时，称D。为第二类咒阶反循环行列D。=j 1，口，口“一1。=II厂(甜)。式，记为D。=一1 a1，n2，口。l。1)当n1而12”=l时，由”=1知由：J口1，a2，口。J1f(叫”)=f(1)=1+口+口2+口“一1：#贮：o，从而定理结论也成立。12)当口”1时，ao)不是1的以次单位1 根，从而口叫1，所以以及定理1可得 f()=1+出矿+(口)2+十(日)”一1定理2当z0时，第二类z一循环行1一(口c，)”1一口“ 列式D。=：l al，a2，口。I一n(n1) “1一n叫k 一1一口叫k。=(一1)2g(x；)。忌=1，2，咒 =1注意到a“1时，X“一口”的咒个根为其中g(X)=口。+口。一1z+a2z”一2+a叫，ctoj2，口甜”，所以alz“，z1，z2，zn是z“一z的7个不同一an=(z一伽)(z一黝2)(z一口c，)。的根。在等式两边同时令z=1，得 推论3 设第二类循环行列式D。=(1一口叫)(1一口2)(1一n叫“)=1一口“。l J口1，口2，口。I的生成元具体为a=口+所以，D。=1 1，口，口州l。=厂()(k一1)d，k=1，2，3，咒。其中口，d为已 知数，则有=直等Dn=1n1，a2，口。J=(1一口”)”1三一=去2a十(礼一1)d二II(1口)nfn一1)(一1)2(nd)“。：坠卫#：(卜nn)“。、 。推论4 设第二类循环行列式的生成元1一口”为=口卜1(k=1，2，咒)，口为已知数，同理可求得D。=l 1，口，a”1 ll则有=(1十a”)n-1。n(n一尘定义2 形如 1 1，n，矿一1=(一1)2 (扩一1)，a1 a21n血二1)一1 l，口，口n一1 J=(一1)2-(口”+1)“一1。a2口3。铆例1 求咒级循环行列式D=n3 口4独U弛12一23口n嬲1孙P孙D。=的行列式称为第二类咒阶z一循环行列式，咒1规一1简记为D。=。l口1，口2，口。1。其中口1，口2，解D。 =1 1，2，3，咒I，口。都为复数，称为D。的生成元。特别地，当z=1时，称D。为第二类咒阶=丢21+(咒一1)1126万方数据第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版)V0115 No52002年10月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)October 2002赵n1“卜咒 生扎=(ABJ聊AJ)=(AB捌EJA八J)，厂，生2等产+一2例2_ l|算 卜行。冽l列 D吐，式护II=AB篆ll E，l=l AB似B iJ l。1一D=铲毋1一(一E，驯含弘J3堆：)q铲小Q铲婷一 q铲铲口A仍、解行列式D也是一种循环行列式，但B 上I：)雕、f，与上文介绍的有所不同，不能直接利用上面AM佃一+0邱”口扩一皿卜 B10O0000010 两边取行列式，得 的结论，令A=O 100011 A归11：I A+JB|I皿一B I，O0001BJA0010 0 所以则易知AD=l 1，口，口2，a3，口41，而AI=I A+，B lI4一B Ii J=一1，l 1，n，口2，口3，口4|1=(1一a5)4，所以=l A+JJB lI J(AJ3)|I J；D=(1一a5)4。=I A+J：B|I，Il A一，B lI J例3求咒级行列式=J A+佃JJ AJB J。口由例4的结果易知，行列式口口111D。=1b11一口 一口 Z 一11b1解D。 =f z，口，口，口f一1111a=互1 1-(z+口)”+(z一口)”。2 中心对称行列式的计算方法=定义3设A，B都是咒阶方阵，称=(AB嚣炒心对称阵，其中舭川f1I口+1 0I口一12J=1l称为咒阶倒置阵。I称为中=Iil0b 4-1 2b一111j=(口+1)(b+1)(口一1)(b一1)一4。心对称行列式。3 利用降阶定理计算行列式例4证明：中心对称行列式 对于高阶行列式，直接计算比较复杂时，lI=l A+佃lI AJB。可以考虑利用下面的一些降阶定理化高阶行证明 容易验证，=广=厂1，从而可列式为低阶行列式，达到简化计算的目的。丝f丝二!)知J2=E，l J I=(一1)2。 定理3(第一降阶定理，Schur定理)若万方数据第15卷第5期 高等函授学报(自然科学版)V0115 No52002年10月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)October 2002A为咒阶可逆阵，D是m阶方阵，则AB：j c=(，DcA一B。C D|f 1111 1D=I若A为凡阶方阵，D为m阶可逆阵，则Inl a2 a3 口n J把D。改写为两个方阵之和的行列式，会言i=I。lI ABD。1 c I。则利用定理4易知定理4设A，D分别为珂阶可逆阵和口1+q 口1+眈 n1十日2+口1眈+眈 眈十m阶可逆阵，则I。CA一1B I=蝌n=A+!ABD_1C 1。+q+眈+定理5 设A，B，C，D均为，z阶方阵，=I A+BC一1D且Ac=以，则昝|仙一cB I。：；掣12 i1丁叫 C+DA一1B十例5 计算九阶行列式卜j 0 j0口1十a2 口1十 2台口2+口1 0口2十=(一矽qn=t=1 1_罢一旦2。蹦 哝l一2Z口n+alan+a202n=(一2)” 。 口其中咒2，口。0。解首先记 小刊2一(参i 1)(砉i挑i=1o=、j=1，o一 2 口 1参考文献1北京大学数学系高等代数(第二版)北京：高等2 o 2A=教育出版社，19882李桃生、朱德高等高等代数武汉：华中师范大2a。学出版社，2002口113钱吉林、陈良植高等代数方法导论武汉：华中口21B=师范大学出版社，1990(上接第19页) 高的特点，在输入频率fIN参考文献 一定时，射频输出可达到DDS系统一样的频1AIN850 Data Skeet，ANALOG Integrated Products 率分辨率，且频率和相位调节方便。其输出2苏文平著电子电路应用实例精选北京航空航天大学出版社，20005(9495)频率为3张凤言著电子电路基础(第二版)北京：高等教fout=ftN+fDDs=fIN+M00291HZ。育出版社，19955(359363)万方数据几类特殊行列式的求解方法作者：徐胜林， 孙平作者单位：华中师范大学数学系,湖北武汉,430079 刊名：高等函授学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCES) 年，卷(期)：2002,15(5)被引用次数：2次参考文献(3条)1.钱吉林;陈良植 高等代数方法导论 19902.李桃生;朱德高 高等代数 20023.北京大学数学系 高等代数 1988本文读者也读过(10条)1. 陈旭东 非齐次差分方程解一类行列式期刊论文-科技信息（科学教研）2007(26)2. 虞莉娟.熊惠民 用递归法计算行列式期刊论文-高等函授学报（自然科学版）2008,21(3)3. 齐成辉 求解行列式的方法和技巧期刊论文-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)4. 黄基廷.赵丽棉.HUANG Ji-ting.ZHAO Li-mian 高阶行列式的计算方法与技巧期刊论文-科技信息2010,02(23)5. 李周红.张在明.LI Zhou-hong.ZHANG Zai-ming 几类特殊方程组与特殊行列式期刊论文-玉溪师范学院学报2007,23(8)6. 刘建新.LIU Jianxin 一种特殊行列式的q-类比期刊论文-南京工程学院学报（自然科学版）2004,2(3)7. 陈小芳.CHEN Xiao-fang 关于Lucas数的一类行列式的计算期刊论文-渭南师范学院学报2009,24(5)8. 王平华.程广文 Jacobi定理的推广期刊论文-巢湖学院学报2003,5(3