高中数学第八章基本立体图形（第2课时）圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征学案新人教A版.docx

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征考点学习目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算 问题导学预习教材P101P104的内容，思考以下问题：1常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体名师点拨 (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示(2)圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体名师点拨(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示(3)圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体名师点拨(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示(4)球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径名师点拨 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r.2简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体(2)两种构成形式由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面()答案：(1)(2)(3)(4) 下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体 过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案：B 可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成 指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的解：是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：圆柱的底面是圆面；经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体其中说法正确的是_(2)给出以下说法：球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形其中正确说法的序号是_【解析】(1)正确，圆柱的底面是圆面；正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；不正确，圆台的母线延长相交于一点；不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体(2)根据球的定义知，正确；不正确，因为球的直径必过球心；不正确，因为球的任何截面都是圆面；正确【答案】(1)(2)(1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成；明确旋转轴是哪条直线(2)简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想 判断下列各命题是否正确(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球解：(1)错误直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示(2)正确(3)错误应为球面简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A变条件、变问法若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征解：是直角三角形，旋转后形成圆锥；是直角梯形，旋转后形成圆台；是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图所示(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图所示(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图所示(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图所示旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台OO的母线长【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为116，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则SOASOA，SA3 cm.所以，所以.解得l9，即圆台OO的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得注意在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化1已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，则圆台的母线长为_解析：如图是圆台的轴截面，由题意知AO2 cm，AO1 cm，SA12 cm.由，得SASA126(cm)所以AASASA1266(cm)所以圆台的母线长为6 cm.答案：6 cm2轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为_解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S2r2r2.答案：r21如图所示的图形中有()A圆柱、圆锥、圆台和球B圆柱、球和圆锥C球、圆柱和圆台 D棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B.根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是()A圆锥 B圆柱C球 D棱柱答案：D3下列说法中正确的是_连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以不正确错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线答案：4一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高h为_cm.解析：h20cos 302010(cm)答案：105如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图(1)所示若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图(2)所示A基础达标1以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A两个圆锥拼接而成的组合体B一个圆台C一个圆锥D一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥故选D.2如图所示的组合体的结构特征是()A一个棱柱中截去一个棱柱B一个棱柱中截去一个圆柱C一个棱柱中截去一个棱锥D一个棱柱中截去一个棱台解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得3如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B该几何体有12条棱、6个顶点C该几何体有8个面，并且各面均为三角形D该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面故D说法不正确4如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A圆锥B圆锥和球组成的简单组合体C球D一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体答案：D5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()ABC D解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分6如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：由一个长方体割去一个四棱柱构成由一个长方体与两个四棱柱组合而成由一个长方体挖去一个四棱台构成由一个长方体与两个四棱台组合而成其中正确说法的序号是_解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的答案：7若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是_解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h .由题意可知2rhr8，所以r28，所以h2.答案：28一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 cm，BC835 (cm)所以AB13(cm)答案：139指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成10一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则ASO30.在RtSOA中，AOSOtan 30(cm)SA(cm)所以SASBSO2AO(cm2)所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.B能力提升11用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A2 B2C.或 D.或解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2r8，所以r；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2r4，所以r.所以选C.12某地球仪上北纬30纬线圈的长度为12 cm，如图所示，则该地球仪的半径是_cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30所在小圆的周长为12，则该小圆的半径r6，其中ABO30，所以该