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超级答题模板 微书习学 高 考 状 元 2015课标版 理数选填题 目录CONT ENT 06 常用逻辑用语 函数及其性质集合 统计 不等式 解析几何 算 法 初 步 计数原理 选填题的解题技巧 立体几何 复数 三角函数 导数及其 简单应用 数列 概率 平面向量 推理与证明 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板1 112 选择题一般是容易题或中档题 个别题属于较难题 且大多数题的 解答过程可用特殊方法快速解答 一般来说 能定性判断的 就不再 使用定量计算 能使用特殊值判断的 就不必采用常规解法 能使 用间接法解的 就不必直接解答 对于明显可以否定的选项应及 早排除 以缩小选择的范围 对于具有多种解题思路的 宜选最 简解法等 总的原则是小题要小做 合情推理 优化思路 少算多思是快速 准确地解答填空题的 基本要求 由于填空题只要求答案 因此做填空题一定要准确 会 做的仔细认真做 不会的若能用特殊代替一般或通过图象等能猜 则猜 要不就放弃不做 否则就是浪费时间 选择题 填空题 综述1高考选填题 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板2 112 模块一1集合 高考对集合问题主要考查两个 方面 一是集合的有关概念 集合 之间的关系 集合的运算等 二是 集合语言 集合思想的理解与运 用 其中 集合的含义及表示是高 考考查的重点 集合的运算是高考 考查的热点 重难点是 文字语言 符号语言 图形语言之间的转化和 集合思想的运用 集合间基本关系问题的求解 集合基本概念问题的求解 模板1 集合运算问题的求解集合中的创新性问题 模板2 模板3 模板4 集合 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板3 112 模块一2集合 模板应用 典例1 已知集合A 0 1 2 则集合B x y x A y A 中元素的个数是 A 1B 3 C 5 D 9 解析 列举法 x 0 y 0 1 2时 x y 0 1 2 x 1 y 0 1 2时 x y 1 0 1 x 2 y 0 1 2时 x y 2 1 0 根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为 2 1 0 1 2 共5 个 答案 C 模板集合基本概念问题的求解1 涉及集合中元素的个数问题 常用列举法求解 如本题 求解时首先要看集合中 的元素 然后再看元素的限制条件 但在列举时要注意集合中元素的互异性 即相同的 元素只能视作一个元素 答题模板 典例2 若集合A x R ax2 ax 1 0 中只有一个元素 则a A 4 B 2 C 0 D 0或4 解析 直接法 分a 0 a 0两种情况讨论 由ax2 ax 1 0只有一个实数解 可得当 a 0时 方程无实数解 当a 0时 则 a2 4a 0 解得a 4 a 0不合题意 舍去 选A 选项代入法 当a 4时 方程有一个根 满足题意 当a 2时 方程无实数根 不符合 题意 当a 0时 方程无实数解 答案 A 模块一3集合 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板4 112 答题模板 对于含有字母参数的集合 可以直接 进行求解 也可以用特殊值或将选项值代 入求解 直接法求解时要注意在求出字母 的值后 要检验是否满足题意 集合的元 素是否满足集合的互异性 本题更适合用 选项代入法求解 答题提醒 当集合用描述法表示时 注意弄清其 元素表示的意义是什么 如对同一个函数 y f x 有三个不同的集合 定义域集合 x y f x 值域集合 y y f x 图象点集 x y y f x 并要特别认 识到一个集合与表示它的元素的字母无关 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板5 112 模块一4集合 首先确定集合的元素是什么 弄清集合元素的 特征 再利用集合元素的特征判断集合关系 模板集合间基本关系问题的求解 2 模板应用 典例 已知集合 A x x2 2x 0 B x 55x 则 A A B B A B R C B A D A B 答题模板 利用数轴或Venn图或平面图形把两个集合表示 出来 再判断它们之间的关系 如本题 一一列举观察 判断集合关 系的方法 解析 集合 A x x 2 或 x2 或 x 0 x 55x R 答案 B 判断集合关 系的方法 观察法 集合元素特征法 数形结合法 答题模板 解决集合的基本运算问题的步骤 1 明确集合中元素的性质 化简各个集合 2 理清几个集合之间的关系 3 利用列举法 数轴或Venn图等根据集合的 交集 并集 补集的定义进行基本运算 从而得 出最后的结果 如本题即是遵循此步骤求解的 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板6 112 模板集合运算问题的求解 3 模板应用 典例 设集合 S x x 2 T x x2 3x 4 0 则 RS T A 2 1 B 4 C 1 D 1 解析 先求 RS 化简集合 T 再借助数轴求 RS T S x x 2 RS x x 2 而 T x 4 x 1 RS T x x 2 x 4 x 1 x x 1 答案 C 输入 文本 答题指导 解决集合的运算问题要看所给集合的形 式选择不同的解题方法 一般规律如下 不等式的解集 用数轴法求解 点集 用数形结合法求解 抽象集合 常用 Venn 图求解 集合的形式 模块一5集合 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板7 112 模板集合中的创新性问题 4 模板应用 典例 设整数 n 4 集合 X 1 2 3 n 令集合 S x y z x y z X 且三条件 x y z y z x z xy 则 xy 则x2 y2 在命题 pq pq pq pq 中 真命题是 A B C D 输入 文本 模块二5常用逻辑用语 确定命题的构 成形式 步骤一 判断其中命题p q 的真假 步骤二 依据真值表 判断 步骤三 答题模板 复合命题真假的判断步骤 12 解析 由不等式的性质可知 命题 p 是真命题 命题 q 为假命题 故 p q 为假命题 p q 为真命题 q 为 真命题 则 pq 为真命题 p 为 假命题 则 pq 为假命题 答案 C 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板14 112 输入 文本 模块二6常用逻辑用语 12 答题模板必备知识 真值表 p q p q p q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 口诀记忆 一真则真一假则假真假相反 p q p q p 与 p 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板15 112 模板全称命题 特称命题的真假判断 4 模板应用 典例 已知命题 p x R 2x 3x 命题 q x R x3 1 x2 则下列命题中为真命题的是 A p q B p q C p q D p q 解析 先判断命题 p q 的真假 再根据真值表求解 当 x 0 时 有 2x 3x 不满足 2x 3x p 是假命题 如图 函数 y x3与 y 1 x2有交点 即方程 x3 1 x2有解 q 是真命题 p q 为假命题 排除 A p 为真命题 p q 是真命题 答案 B 输入 文本 模块二7常用逻辑用语 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板16 112 模块二8常用逻辑用语 12 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定的集 合M中的每一个元素x 证明p x 成立 2 要判断一个全称命题是假命题 只要能举出集合M 中的一个特殊值x x0 使p x0 不成立即可 本题中的命 题p就是全称命题 要判断一个特称命题是真命题 只要在限定的集合M 中 找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则这一特称命题 就是假命题 本题中的命题q就是特称命题 全称命题 特称命题 答题模板 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板17 112 模块三1函数及其性质 函数及其基本性质是函数内 容的主体部分 是高考考查的 重点 其中定义域 单调性 奇偶性 周期性等几乎是每年 必考 常常是将这些知识点与 集合 不等式 方程 函数图 象等知识交汇融合 以选择题 或填空题的形式进行考查 函 数的定义域 解析式 图象是 高考考查的重点 函数及其性质 模 板 1 函数的定 义域 值域 2 函数的图象 3 函数的单调 性与最值 4 函数的奇偶 性与周期性 5 抽象函数 6 指数 对数 幂函数的运算 7 函数的零点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板18 112 模板函数的定义域 值域 1 模板应用 典例 函数 f x 1 2x 1 x 3的定义域为 A 3 0 B 3 1 C 3 3 0 D 3 3 1 解析 根据解析式 构建使解析式有意义的不等式组求解 由题意 自变量 x 应满足 1 2x 0 x 3 0 解得 x 0 x 3 3 x 0 答案 A 输入 文本 答题模板 1 求函数的定义域的具体步骤 写出使函数式有意义的不等式 组 解不等式 组 写 出定义域 如本题 按照此步骤即可 轻松解题 2 若求解复合函数y f g x 的 定义域 其步骤是 若已知f x 的 定义域为 a b 则f g x 的定义域 可由a g x b求出 若已知f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域 为g x 在x a b 时的值域 模块三2函数及其性质 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板19 112 模板函数的图象 2 模板应用 典例 函数 y x 2 2sinx 的图象大致是 解析 由 f x f x 知 函数 f x 为奇函数 所以排除 A 又 f x 1 2 2cosx 当 x 在 y 轴 右侧 趋向 0 时 f x 0 所以函数 f x 在 x 轴右边接近原点处为减函数 当 x 2 时 f 2 1 2 2cos2 3 2 0 所以 x 2 应在函数的减区间上 所以选 C 答案 C 输入 文本 12 模块三3函数及其性质 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板20 112 答题模板 函数图象的识别方法 模块三4函数及其性质 12 从函数的定义域 判断图象左右的位置 从函数的值域 判断图象上下的位置 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 如本题依此排除A 从函数的周期性 判断图象的循环往复 从函数的特殊点 排除不合要求的图象 如本题依此选择C 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板21 112 模板函数的单调性与最值 3 模板应用 典例 1 函数 f x log2 x2 1 的单调递减区间为 解析 复合法 根据对数函数的单调性求解 由 x2 1 0 得 x 1 或 x 1 即函数 f x 的定义域为 1 1 令 t x2 1 因为 y log2t 在 0 上为增函数 t x2 1 在 1 上是减函数 所以函 数 f x log2 x2 1 的单调递减区间为 1 答案 1 输入 文本 模块三5函数及其性质 图象法 答题模板 函数单调性的判断方法 复合法 定义法 导数法 取值 作差 变形 定号 下结论 同增异减 即内外函数的单 调性相同时 为增函数 不 同时为减函数 如本题的求解 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图 象的直观性判断函数单调性 答题提醒 1 求函数的单调区间 应先求定义域 在定义域内 求单调区间 如本题 2 函数的单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式的形式表示 一个函 数如果有多个单调区间应分别写 分开表示 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板22 112 典例 2 对 a b R 记 max a b a a b b a b 函数 f x max x 1 x 2 x R 的最小值是 解析 本题实质上是一个求分段函数最值的问题 将函数化为分段函数 利用数形结合法求解 f x x 1 x 1 2 x 2 xa b 故选 D 答案 D 输入 文本 模块三11函数及其性质 方法一 答题模板 比较指数 对数 幂函数值大小的三种方法 方法二 方法三 根据同类函数的单调性进行比较 采用中间值0或1等进行比较 如本题的求解 将对数式转化为指数式 或将指数式转化为对数式 通过转化进行比较 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板28 112 模板函数的零点 7 模板应用 典例 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 令 f x 2x log0 5x 1 0 可得 log0 5x 1 2 x 设 g x log0 5x h x 1 2 x 在同一坐标系下分别画出函数 g x h x 的图象 可以发现 两个函数图象一定有 2个交点 因此函数 f x 有 2 个零点 答案 B 输入 文本 模块三12函数及其性质 答题模板 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令 f x 0 如果能求出 解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求 函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且 f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如 单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不 同的值 就有几个不同的零点 本题的求解过程 其实质就是转化过程 应注意两点 转化的方式 变形 转化的 方向 由数到形 模块四1 导数及其简单应用 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板29 112 导数及其简单应用 模板1 利用导数的几何意义解 相关问题 模板2 利用导数研究函数的 性质 模板3 定积分与微积分 问题 高考选填题对导数的考 查侧重于对函数单调性和极 值 最值的考查 其中导数 的几何意义 利用导数研究 函数的单调性 极值 最值 是高考的重点与热点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板30 112 模板利用导数的几何意义解相关问题 1 模板应用 典例 2014 江苏 T11 在平面直角坐标 系xOy中 若曲线 2 b yax x a b为常数 过 点 2 5 P 且该曲线在点P处的切线与直线 7230 xy 平行 则ab 模块四2导数及其简单应用 解析 由曲线 y ax2 b x 过点 P 2 5 可得 5 4a 2 b 1 又 y 2ax 2 b x 所以在点 P 处的切线斜率 4a 7 42 b 2 由 1 2 解 得 a 1 b 2 所以 a b 3 答案 3 答题模板 函数切线的相关问题的解决 抓住两个关 键点 其一 切点是交点 其二 在切点处的导数是切线的斜率 因此 解决此类问题 一般要设出切点 建立关系 方程 组 求曲线的切线要注意 过点 P 的切线 与 在点 P 处的切线 的差异 过 点 P 的切线中 点 P 不一定是切点 点 P 也不 一定在已知曲线上 在点 P 处的切线 点 P 是 切点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板31 112 模板利用导数研究函数的性质 2 模板应用 典例 设函数 f x xex 则 A x 1 为 f x 的极大值点 B x 1 为 f x 的极小值点 C x 1 为 f x 的极大值点 D x 1 为 f x 的极小值点 模块四3导数及其简单应用 解析 f x xex f x ex xex ex 1 x 当 f x 0 时 即 ex 1 x 0 即 x 1 x 1 时函数 y f x 为增函数 同理可求 x0和f x 0 0 0 的部分图象如图所示 其中 A B 两点之间的距离为 5 那么 f 1 A 2 B 1 C 2 D 1 或 2 模块五6三角函数 解析 由图可知 M 2 因为 A B 两点分别是 函数图象上的最高点和最低点 设 A x1 2 B x2 2 因为 AB 5 所以 22 21 22 5xx 解得 x2 x1 3 因为 A B 两点的横坐标之差的绝对 值为最小正周期的一半 所以T 2 3 即 T 6 所以 2 6 解得 3 因为 f 0 1 所以 2sin 1 解得 sin 1 2 因为 0 所以 6或 5 6 结合图象 经检验 6不合题意 应舍去 故 5 6 所以 f x 5 2sin 36 x 故 f 1 5 2sin 36 2sin 2 2 答案 C 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板40 112 模块五7三角函数 答题模板 确定 y Asin x b A 0 0 的步骤和方法 1 求 A b 确定函数的最大值 M 和最小值 m 则 A M m 2 b M m 2 2 求 确定函数的周期 T 则可得 2 T 注意 求函数的周期时 注意以下规律 相邻的 最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期 最高点 或最低点 的横坐标与相邻零点差的绝 对值为1 4个周期 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时 A b 已知 或代入图象 与直线 y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的某一个点为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与 x 轴的交点 时 x 0 第二点 即图象的 峰点 时 x 2 第三点 即图象下降时与 x 轴的交 点 时 x 第四点 即图象的 谷点 时 x 3 2 第五点 时 x 2 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板41 112 模板正 余弦定理的应用问题 3 模板应用 典例 2014 广东理 T12 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边分别为 a b c 已知 coscos2bCcBb 则 a b 解析 由已知及余弦定理得 222222 2 22 abcacb bcb abac 化简得 a 2b 则2 a b 答案 2 模块五8三角函数 答题模板 利用正弦定理 余弦定理都可以进行三角形边 角之间的互化 当已知三角形中的两边及其一边的 对角 或两角及其一角对边时 可以利用正弦定理求 解三角形中的有关量 如果已知三边或两边及其夹 角 则可利用余弦定理进行求解 其基本思路如下 找 梳理已知条件 找出三角形中已知的 边与角 选 根据已知的边角关系 灵活选用定理 和公式 求 利用公式求得结论 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板42 112 模块六1平面向量 平面向量在高考中的考查内容 主要集中在三个方面 一是向量的 基本概念 二是向量的坐标运算 三是向量的数量积 其中向量的数 量积及其应用是考查的重点内 容 平面向量的线性运算 平面向 量的数量积及其应用等是高考的热 点 需重点关注 平面向量基本定理的应用平面向量的概念及线性运算 平面向量 平面向量数量积的相关运算问题 平面向量的综合应用 平面向量基本定理的应用 模板1 模板2 模板3模板4 模块六2 平面向量 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板43 112 模板应用 典例 1 设 a0为单位向量 若 a 为平面内的某个向 量 则 a a a0 若 a 与 a0平行 则 a a a0 若 a 与 a0平行且 a 1 则 a a0 上述命题中 假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 向量是既有大小又有方向的量 a 与 a a0的模相 同 但方向不一定相同 故 是假命题 若 a 与 a0平行 则 a 与 a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向 时 a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个 数是 3 答案 D 模板平面向量的概念及线性运算 1 答题提醒 对于向量的概念应注意以下几点 1 向量的两个特征 有大小和方向 向量既可以用有向线段和字母表示 也 可以用坐标表示 2 相等向量不仅模相等 而且方 向要相同 故相等向量一定是平行向 量 而平行向量则未必是相等向量 3 向量与数量不同 数量可以比 较大小 向量则不能 但向量的模是 非负实数 故可以比较大小 模块六3 平面向量 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板44 112 典例 2 2014 江苏 T12 如图 在平行四边形ABCD中 已知8 5ABAD 3 CPPD 2AP BP 则AB AD 的值是 解析 因为 1 4 APADDPADAB 3 4 BPBCCPADAB 所以AP BP 13 44 ADABADAB 22 3 16 ADAB 1 2 2 AD AB 将 AB 8 AD 5 代入解得22AD AB 答案 22 向量的运算一般有两种方法 即基 底法和坐标法 若应用基底法 则需 要将未知量用已知向量表示 如本题 的求解 在进行向量的线性运算时 要 尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法则求解 在进行平面向量的加法和减法运算时 要注意有特殊位置关系的向量的和与差 如共线 共起点 共终点 并注意利用 平面几何的性质 如三角形中位线 相 似三角形等知识 答题模板 模块六4 平面向量 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板45 112 模板应用 典例 2014 福建理 T8 在下列向量组中 可以把向量3 2 a表示出来的是 A 12 0 0 1 2 ee B 12 1 2 5 2 ee C 12 3 5 6 10 ee D 12 2 3 2 3 ee 模板平面向量基本定理的应用 2 解析 解法一 若 e1 0 0 e2 1 2 则 e1 e2 而 a 不能由 e1 e2表示 排除 A 若 e1 1 2 e2 5 2 因为 12 52 所以 e1 e2不共线 根据共面向量基本定理 可以把向量 a 3 2 表示出来 选 B 解法二 因为 a 3 2 若 e1 0 0 e2 1 2 不存在实数 使得 a e1 e2 排除 A 若 e1 1 2 e2 5 2 设存在实数 使得 a e1 e2 则 3 2 5 2 2 所以 35 222 解得 2 1 所 以 a 2e1 e2 故选 B 答案 B 12 模块六5 平面向量 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板46 112 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的 形式 再通过向量的运算来解决 答题模板 12 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另 外 要熟练运用平面几何的一些性质定理 解此类试题的一般思路 模块六6 平面向量 模板应用 典例 2014 江西理 T14 已知单位向量 e1与 e2的夹角为 且 1 cos 3 向量 12 32 aee与 12 3 bee的夹角为 则cos 模板平面向量数量积的相关运算问题 3 解析 因为 a2 3e1 2e2 2 9 2 3 2 cos 4 9 所以 a 3 b2 3e1 e2 2 9 2 3 1 cos 1 8 所以 b 2 2 a b 3e1 2e2 3e1 e2 9 2 1 e 9 e1 e2 2 2 2 e 9 9 1 1 1 3 2 8 所以 cos 82 2 33 2 2 a b a b 答案 2 2 3 答题模板 向量数量积的两种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法 求解 即 a b a b cosa b 如本题的求解 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1x2 y1y2 答题提醒 解决数量积运算应注意三点 1 a b 0 未 必有 a 0 或 b 0 2 a b a b 3 a b c 与 a b c 不一定相等 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板47 112 模块六7 平面向量 模板应用 典例 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 两定点 A B 满足 OA OB OA OB 2 则点 集 P OP OA OB 1 R 所表示的区域的面积是 A 2 2 B 2 3 C 4 2 D 4 3 模板平面向量的综合应用 4 解析 由 OA OB OA OB 2 可得 AOB 3 又 A B 是两定点 可设 A 3 1 B 0 2 P x y 由OP OA OB 可得 x 3 y 2 3 3 x y 2 3 6 x 因为 1 所以 3 3 x y 2 3 6 x 1 当 x 0 3y 3x 0 3y 3x 6 时 由可行域可得 S0 1 2 2 3 3 所以由对称性可知点 P 所 表示的区域面积 S 4S0 4 3 答案 D 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板48 112 模块六8 平面向量 答题模板 两类平面向量综合问题的解决方法 用向量解决平面几何问题 主要是通过建立平面直角坐标系将问 题坐标化 然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题 如本题 将OP OA OB通过坐标运算求得 的表达式 在平面向量与平面解析几何的综合问题中 应先根据平面向量知 识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白 再根据这个几 何意义用代数的方法研究解决 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板49 112 模块七1数列 数列 模板1 等差 等比数列的判定 模板2 等差 等比数列的基本 量的求解 模板3 等差 等比数列的 性质应用 等差 等比数列是高考的一 个基本考查点 选填题突出 小 而巧 主要考查性质的灵活应 用及对概念的理解 在高考中也 可能出现新的命题背景 如定义 新数列进而转化为等差 等比数 列 高考重点考查等差 等比数 列的定义 通项公式和前n项和 公式 数列中an与Sn之间的互化 是高考的热点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板50 112 模板应用 典例 2014 重庆理 T2 对任意等比数列 n a 下列说法一定正确的是 139 A a a a成等比数列 236 B a a a成等比数列 248 C a a a成等比数列 369 D a a a成等比数列 模板等差 等比数列的判定 1 解析 由等比数列的性质得 a3 a9 2 6 a 0 因此 a3 a6 a9一定成等比数列 选 D 答案 D 答题模板 等比数列的三种判定方法 1 定义法 an 1 an q q 是不为零的常数 n N an 是等比数列 2 通项公式 an cqn 1 c q 均是不为零的常数 n N an 是等比数列 3 等比中项法 a2n 1 an an 2 an an 1 an 2 0 n N an 是等比数列 同理 等差数列的判定方法如下 1 定义法 an 1 an d d 是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q 为常数 an 是等差数列 4 前 n 项和公式 Sn An2 Bn A B 为常 数 an 是等差数列 模块七2数列 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板51 112 模板应用 典例 1 2014 福建理 T3 等差数列 an 的前 n 项和为 n S 若 13 2 12aS 则 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 解析 设等差数列 an 的公差为 d 则 S3 3a1 3d 所以 12 3 2 3d 解得 d 2 所以a6 a1 5d 2 5 2 12 故选 C 答案 C 模板等差 等比数列的基本量的求解 2 典例 2 2014 江苏 T7 在各项均为正 数的等比数列 an 中 若 2 1a 864 2aaa 则 6 a的值是 解析 设等比数列 an 的公比为 q q 0 则 a8 a6 2a4即为 a4q4 a4q2 2a4 解得 q2 2 负值舍去 又 a2 1 所以 a6 a2q4 4 答案 4 答题模板 关于等差 等比 数列基本量的运算 求解过程常用的思想方法有两个 1 方程的思想 此类问题通常已知 a1 d q n an Sn中的任意三个量 通过解方程 组 求出另外两个量 其中基本 量是 a1与 d q 2 分类讨论思想 在应用等比数列前 n 项和公式时 必须分类求和 当 q 1 时 Sn na1 当 q 1 时 Sn a1 1 q n 1 q 在判断等比数列单调性时 也必须对 a1与 q 分类讨论 模块七3数列 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板52 112 模板应用 典例 在各项均为正数的等比数列 an 中 a3 2 1 a5 2 1 则 a23 2a2a6 a3a7 A 4 B 6 C 8 D 8 4 2 解析 在等比数列中 a3a7 a25 a2a6 a3a5 所以 a23 2a2a6 a3a7 a23 2a3a5 a25 a3 a5 2 2 1 2 1 2 2 2 2 8 答案 C 模板等差 等比数列的性质应用 3 答题模板 等差数列与等比数列的性质应用问题中 等差中项与等比中项是非常重要的 主要体现在两个方面 1 等差 比 中项在解决项的计算问题中的应 用 将两项之和 或积 直接转化为数列中的某一项 在等差数列 an 中 有 an k an k 2an 在等比数 列 bn 中 有 bn k bn k b2n 如本题 2 等差中项在等差数列求和公式中的应 用 在等差数列 an 中 如 n 2k 1 k N 则 a1 an 2ak 1 所以 Sn 1 2 n n aa nak 1 模块七4数列 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板53 112 模块八1不等式 高考主要考查不等关系与不等式 一元二次不等式的解法以及线性规划等基础内容 主 要涉及不等式的性质 解法 简单的线性规划 基本不等式及应用等知识 其中利用基本不等 式求函数最值是确定函数最值的重要方法 也是高考的热点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板54 112 不等式 不等式性质的应用 利用基本不等式求最值问题 一元二次不等式的解法 不等式恒成立问题的求解 线性规划问题的求解 模板应用 典例 若 a 0 b a c d 0 则下列命题 1 ad bc 2 a d b c 0 3 a c b d 4 a d c b d c 中能成立的命题为 模板不等式性质的应用1 答题模板 对于不等式的常用性质 要弄清其条 件和结论 不等式性质包括 单向性 和 双向性 两个方面 单向性主要用于证明 不等式 双向性是解不等式的依据 因为 解不等式要求的是同解变形 解本题时 易忽视不等式性质成立的条件 或 无中 生有 自造性质导致推理判定失误 解析 利用不等式的性质判定正误或举反例说明真 假 a 0 b c d 0 ad 0 bc 0 则 ad bc 1 错误 由 a 0 b a 知 a b 0 又 c d 0 因此 a c b d 即 ac bd 0 a d b c ac bd cd 0 2 正确 显然 a c b d 3 正确 a b d c 0 a d c b d c 4 正确 答案 2 3 4 模块八2不等式 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板55 112 模板应用 典例 1 不等式 x2 x 2 0 的解集为 解析 x2 x 2 x 2 x 1 0 解得 2 x 1 故不等式的解集是 x 2 x 1 答案 x 2 x0 确定判别式 的符号 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二次方程无根 结合二次函数的图象得出不等式的解集 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板56 112 典例 2 若不等式 mx2 2mx 1 0 的解集为 R 则 m 的取值范围是 解析 当 m 0 时 1 0 显然成立 当 m 0 时 由条件知 m 0 4m2 4m 0 得 0 m 1 由 知 0 m 1 答案 0 m 1 模块八4不等式 可先考虑分解因式 再对参数进 行讨论 若因式不易分解 则可 对判别式进行分类讨论 注意分 类要做到不重不漏 二次项系 数为常数 的不等式 应先考虑二次项是否为零 然后再讨论二次项系数不 为零时的情形 以便确定 解集的形式 如本题就是二 次项系数为参数的不等式 二次项系 数为参数 的不等式 答题模板 含参数的一元二次不等式的解法 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板57 112 模板应用 典例 若不等式 x2 mx 4 0 在 1 2 上恒成立 则 m 的取值范围是 模板不等式恒成立问题的求解3 解析 分离参数法 当 x 1 2 时 不等式 x2 mx 4 0 恒成立等价于 m x 2 4 x x 4 x 在 x 1 2 上恒成立 设 x x 4 x x 1 2 则 x 5 4 故 m 5 所以 m 的取值范围为 5 数形结合法 设 f x x2 mx 4 因为当 x 1 2 时 不等式 x2 mx 40 a 0 当且仅当 4x a x 即 a 4x 2时取等号 则由题 意知 a 4 32 36 答案 36 模板利用基本不等式求最值问题5 当函数或代数式具有 和是定值 积是定值 如本题 的结构特点时 常利用基本不等式求其 最大 最小值 在具体题目中 一般很少考查基本 不等式的直接应用 而是需要对式子进行变形 寻 求其中的内在关系 然后利用基本不等式得出结果 答题模板 答题提醒 在运用基本不等式解决上述问题时要注 意 一正 二定 三相等 创设一个使用基 本不等式的情境 常用的技巧有变常数 变 系数 拆项等 另外 对于函数 b f xax x a 0 b 0 定义域内不含实数 b a 的类型的 最值问题 要会利用函数的单调性求解 模块八9不等式 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板62 112 模块九1立体几何 高考选填题对立体几何的考查内容主要是 1 三视图 简单几何体的表面积与体积 2 求球的体积或表面积 以及探讨其与外接或内接几何体的关系 3 点 线 面位置关 系的判定 重点是简单几何体与三视图之间的相互转化 以及根据三视图中的 三图 确定 第三图 空间几何体的三视图与体积 表面积 空间线面位置关系结合命题是高考的热点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板63 112 三视图 空间几何体的表面积和体积 与球有关的组合体问题的求解 空间点 线 面之间位置关系的判断 立 体 几 何 模板应用 典例 2014 湖北理 T5 在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中 一个四面体的顶点坐标分别是 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 给出编 号为 的四个图 则该四面体的正视图和俯视图分别为 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 在空间直角坐标系 O xyz 中作出棱长为 2 的正方体 在该正方体中作出四面体 如图所示 由图可知 该四面体的正视图为 俯视图为 选 D 答案 D 模板三视图1 三视图的识别要把握好 长对正 高 平齐 宽相等 这一识图原则 注意画三 视图时 能看到的轮廓线画成实线 看 不到的轮廓线画成虚线 模块九2立体几何 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板64 112 答题技巧 模板应用 典例 1 2014 安徽理 T7 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的表面积为 A 213 B 183 C 21 D 18 解析 由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后面右上 角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分 其表面积为 2 1 64622 3 2 4 13 2 S 答案 A 答题技巧 认识三视图时 注意 长对正 高平齐 宽相等 另外要能根据三视图准确提炼出几何体中的线线关 系 线面关系 面面关系 以及线的虚实和各种关键数据 还原出几何体的直观图 模板空间几何体的表面积和体积2 模块九3立体几何 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板65 112 典例 2 2014 辽宁理 T7 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 82 B 8 C 8 2 D 8 4 解析 直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 1 的 1 4 圆柱 所以该几何体的体积为 32 1 22 128 4 选 B 答案 B 模块九4立体几何 123 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板66 112 答题模板 根据给出的三视图判断该几何体的形状 第一步 由三视图中的数据标出几何体的相关数据 第二步 根据几何体的表面积 体积公式求解 第三步 由几何体的三视图求其 表面积或体积的步骤 模块九5立体几何 123 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板67 112 求空间几何体体积的常用方法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形 转化为可计算 体积的几何体 如典例2的计算就是运用的割补法 注意本题容易把两个割 去的部分合起来认为是一个圆柱 公式法 等积法 割补法 直接根据相关的体积公式计算 根据体积计算公式 通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易 或是求出一些体积比等 模块九6立体几何 123 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板68 112 模板应用 典例 2014 湖南理 T7 一块石材表示的 几何体的三视图如图所示 将该石材切削 打磨 加工成球 则能得到的最大球的半径等于 模板与球有关的组合体问题的求解3 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 该几何体为直三棱柱 底面是 边长分别为 6 8 10 的直角三角形 侧棱长 为 12 故能得到的最大球的半径等于底 面直角三角形内切圆的半径 其半径为 1 26 8 2 2 68 10 r 故选 B 答案 B 模块九7立体几何 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板69 112 模块九8立体几何 一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化 为平面问题 从而寻找几何体各元素之间的关系 若球面上四点P A B C中PA PB PC两两垂直或三棱锥的三 条侧棱两两垂直 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 答题模板 解决与球有关的切 接问题的方法 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板70 112 模板应用 典例 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 模板空间点 线 面之间位置关系的判断4 解析 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 A1D 与 D1A 和平面 ABCD 所成的角都 是 45 但 A1D 与 D1A 不平行 故 A 错 在平面 ABB1A1内 直线 A1B1上有无数个点 到平面 ABCD 的距离相等 但平面 ABB1A1与平面 ABCD 不平行 故 B错 平面 ADD1A1 与平面 DCC1D1和平面 ABCD 都垂直 但两个平面相交 故 D 错 从而 C 正确 答案 C 答题模板 空间线面位置关系的判断方法 1 公理法 2 模型法 借助空间几何模型 如在长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 结合有关定理作出选择 如本题借助正方体模型判断位置关系 模块九9立体几何 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板71 112 模块十1解析几何 高考选填题对本模块的考查主要有以下内容 1 直线与圆的方程的求解 2 两 直线 直线与圆 圆与圆的位置关系 3 距离公式 与圆有关的量的计算 如半径 弦长等的计算 4 圆锥曲线的定义及简单几何性质 其中直线与圆的位置关系及圆锥曲 线的概念和性质是高考考查的重点 同时也是热点 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板72 112 直线与圆之间的位置关系问题 圆锥曲线的标准方程 圆锥曲线的几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 解 析 几 何 模板应用 典例 2014 新课标全国卷 理 T16 设点 M 0 x 1 若在 圆 O 22 1xy 上存在点 N 使得 OMN 45 则 0 x的取值范围 是 模板直线与圆之间的位置关系问题1 答题模板 处理直线与圆的位置关系问题 数形结合 是最为重要的思想与方 法 对于几何中的存在性问题 常考 虑与之相关的 临界 情况 本题中有 两处用到 临界思想 一是圆上任 意一点N对应的 OMN的大小 最小为 0 最大为 OMP 从而使 问题得到有效转化 二是 OMP 45 的临界值 OMP 45 利用此 临界值 转动为定 求出 x0的临界 值 再结合图形即得到 x0的取值范 围 解析 由题意可知 M 在直线 y 1 上运动 设直线 y 1 与圆 x2 y2 1 相切于点 P 0 1 当 x0 0 即点 M 与点 P 重合时 显然圆上 存在点 N 1 0 符合要求 当 x0 0 时 过 M 作圆的切线 切点之一为点 P 此时对于圆 上任意一点 N 都有 OMN OMP 故要 存在 OMN 45 只需 OMP 45 特别地 当 OMP 45 时 有 x0 1 结合图形可知 符合条件的 x0的取值范围为 1 1 答案 1 1 模块十2解析几何 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板73 112 判定直线与圆位置关系的方法 若直线恒过定点且定点在圆内 可判断直线与圆相交 代数法 几何法 点与圆的 位置关系法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 0 相交 0 相离 0 相切 比较圆心到直线的距离与半径的大小 设圆心到直线的距离为d 则d r 相交 d r 相离 d r 相切 主要掌握几何方法 答题模板 模块十3解析几何 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板74 112 模板应用 典例 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F 3 0 离心率等于3 2 则 C 的方程是 A x 2 4 y2 5 1 B x2 4 y2 5 1 C x 2 2 y2 5 1 D x 2 2 y2 5 1 模板圆锥曲线的标准方程2 解析 由题意可知 c 3 a 2 b c2 a2 32 22 5 故双曲线的方程 为x 2 4 y2 5 1 选 B 答案 B 答题模板 求解圆锥曲线标准方程的方法 就是指定类型 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 从而设出标准方程 先定型 即利用待定系数法求出方程中的a2 b2或p 另外 当焦点位置无法确定时 抛物 线常设为y2 2ax或x2 2ay a 0 椭圆常设mx2 ny2 1 m 0 n 0 双曲线 常设为mx2 ny2 1 mn 0 后计算 模块十4解析几何 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板75 112 模板应用 典例 2014 山东理 T10 已知 a b 0 椭圆 C1的方程为 22 22 1 xy ab 双曲线 C2的方程为 22 22 1 xy ab C1与 C2的离心率之积为 3 2 则 C2的渐近线方程为 A 20 xy B 20 xy C 20 xy D 20 xy 模板圆锥曲线的几何性质3 解 析 椭 圆C1的 离 心 率 为 22 ab a 双 曲 线C2的 离 心 率 为 22 ab a 所 以 2222 3 2 abab aa 所以 444 3 4 aba 即 a4 4b4 所以 a 2b 所以双曲线 C2的渐近线方 程是 1 2 yx 即 x 2y 0 答案 A 模块十5解析几何 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板76 112 答题提醒 1 椭圆的离心率 e2 c 2 a2 1 b2 a2 b a 1 e2 半焦距 22 cab 2 双曲线的离心率 e2 c 2 a2 1 b2 a2 b a e2 1 半焦距 22 cab 当题目中既有椭圆又有双曲线时要注意不要用错上述关系式 通过已知条件列方程组 解出a c的值 由已知条件得出关于a c的二元齐次方程 然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解 通过取特殊值或特殊位置 求出离心率 答题模板 求椭圆的离心率的方法 模块十6解析几何 12 高考状元超级答题模板理数选填题答题模板77 112 模板应用 典例 2014 新课标全国卷 理 T10 设 F 为抛物线 C 2 3yx 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 O 为坐标原点 则 OAB 的面积为 A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 模板直线与圆