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文档简介

3 4基本不等式 普洱市墨江二中杨玉丹 第24届国际数学家大会 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明 最早对勾股定理进行证明的 是三国时期吴国的数学家赵爽 赵爽创制了一幅 勾股圆方图 用形数结合得到方法 给出了勾股定理的详细证明 赵爽 弦图 1 你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗 探究点1探究基本不等式 一 探究 则正方形ABCD的面积是 这4个直角三角形的面积之和是 设AE a BE b a2 b2 2ab Z x x K 有可能相等吗 又什么时候取等号呢 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 2 你能给出它的证明吗 可以叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 基本不等式 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 证明 当时 a 0 b 0 如图 AB是圆的直径 C是AB上任一点 AC a CB b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD 则CD 半径为 CD小于或等于圆的半径 上述不等式当且仅当点C与圆心重合 即当a b时 等号成立 几何意义 半径不小于半弦 3 几何解释 a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 应用基本不等式求最值的条件 a与b为正实数 若等号成立 a与b必须能够相等 一正 二定 三相等 积定和最小和定积最大 a 0 b 0 二 应用 例1 求下列函数的最小值 并求出自变量满足什么条件时取得最小值 发现运算结构 应用不等式 二 应用 例2设 且 求证 发现运算结构 应用不等
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