高中数学 1.2.2.2 组合的综合应用课件 新人教A版选修23 .ppt

第2课时组合的综合应用 题型示范 类型一简单的组合问题 典例1 1 某人决定投资3种股票和4种债券 经纪人向他推荐了6种股票和5种债券 则此人不同的投资方式有 种 2 在一次数学竞赛中 某学校有12人通过了初试 学校要从中选出5人去参加市级培训 在下列条件下 有多少种不同的选法 任意选5人 甲 乙 丙三人必须参加 甲 乙 丙三人不能参加 甲 乙 丙三人只能有1人参加 甲 乙 丙三人至少1人参加 甲 乙 丙三人至多2人参加 解题探究 1 题 1 中投资需要分几步 每步选法如何用组合数表示 2 题 2 中的 至多 至少 的含义是什么 探究提示 1 投资需要分两步 第一步投资股票有种 第二步投资债券有种 2 甲 乙 丙三人至少1人参加指的是有1人 有2人 有3人三种情况 甲 乙 丙三人至多2人参加指的是有2人 有1人和没有人参加三种情况 自主解答 1 需分两步 第一步 根据经纪人的推荐在6种股票中选3种 共有种选法 第二步 根据经纪人的推荐在5种债券中选4种 共有种选法 根据分步乘法计数原理 此人有 100种不同的投资方式 答案 100 2 有 792种不同的选法 甲 乙 丙三人必须参加 只需从另外的9人中选2人 共有 36种不同的选法 甲 乙 丙三人不能参加 只需从另外的9人中选5人 共有 126种不同的选法 甲 乙 丙三人只能有1人参加 分两步 先从甲 乙 丙中选1人 有 3种选法 再从另外的9人中选4人 有种选法 共有 378种不同的选法 方法一 直接法 可分为三类 第一类 甲 乙 丙中有1人参加 共有 378种 第二类 甲 乙 丙中有2人参加 共有 252种 第三类 甲 乙 丙中有3人参加 共有 36种 共有 666种不同的选法 方法二 间接法 12人中任意选5人 共有种 甲 乙 丙三人都不能参加的有种 所以 共有种不同的选法 方法一 直接法 甲 乙 丙三人至多2人参加 可分为三类 第一类 甲 乙 丙都不参加 共有种 第二类 甲 乙 丙中有1人参加 共有种 第三类 甲 乙 丙中有2人参加 共有种 共有 756种不同的选法 方法二 间接法 12人中任意选5人 共有种 甲 乙 丙三人全参加的有种 所以 共有种不同的选法 方法技巧 解简单的组合应用题的策略 1 解简单的组合应用题时 首先要判断它是不是组合问题 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关 而组合问题与取出元素的顺序无关 只要元素相同即可 2 要注意两个基本原理的运用 即分类与分步的灵活运用 在分类和分步时 一定注意有无重复或遗漏 变式训练 2014 南昌高二检测 有八名志愿者 四名只懂英语 两名只懂法语 两名既懂英语又懂法语 现在从中选四人参与接待英国和法国代表团 每个团两名 共有 种不同的安排 数字作答 解析 结合venn图 选派方案有 既懂英语又懂法语的两人不选 6 都懂的两人都选做英语翻译 1 两人都选做法语翻译 6 两人都选 其中1人做英语翻译 1人做法语翻译 16 两人中选1人做英语翻译 8 两人中选1人做法语翻译 24 所以选派方案共有 6 1 6 16 8 24 61 答案 61 补偿训练 从6位同学中选出4位参加一个座谈会 要求张 王两同学中至多有一个人参加 则不同选法的种数为 a 9b 14c 12d 15 解析 选a 方法一 直接法 分两类 第一类张 王两同学都不参加 有种选法 第二类张 王两同学中只有1人参加 有种选法 故共有 9种选法 方法二 间接法 9种 类型二组合应用题中的分组 分配问题 典例2 1 2012 新课标全国卷 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 a 12种b 10种c 9种d 8种 2 有甲 乙 丙三项任务 甲需2人承担 乙 丙各需1人承担 从10人中选派4人承担这三项任务 不同的选法有 种 3 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法 分给甲 乙 丙三人 每人两本 分为三份 每份两本 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 解题探究 1 题 1 中将4名学生平均分成2个小组有多少种分法 2 解决题 2 可分为几步 3 题 3 中哪种情况是平均分组 哪种不是平均分组 分组后还需要分配吗 探究提示 1 有 3种分法 2 可分为2步 第一步先选 从10人中选出4人 第二步将4人分组后再安排承担三项任务 3 都属于平均分组问题 不属于平均分组 其中 分组即可 不需要再分配 分组后还需要再分配 自主解答 1 选a 将4名学生均分为2个小组 共有 3种分法 将2个小组的同学分给两名教师带有 2种分法 最后将两个小组的人员分配到甲 乙两地有 2种分法 故不同的安排方案共有3 2 2 12 种 2 先考虑分组 即10人中选4人分为三组 其中两组各一人 另一组二人 共有 种 分法 再考虑排列 甲任务需2人承担 因此2人的哪个组只能承担甲任务 而一个人的两组既可以承担乙任务又可以承担丙任务 所以共有 2520 种 不同的选法 答案 2520 3 根据分步乘法计数原理得有 90种 分给甲 乙 丙三人 每人两本有种方法 这个过程可以分两步完成 第一步分为三份 每份两本 设有x种方法 第二步再将这三份分给甲 乙 丙三名同学有种方法 根据分步乘法计数原理可得 所以因此分为三份 每份两本一共有15种方法 这是 不均匀分组 问题 一共有种方法 在 的基础上再进行全排列 所以一共有 360种方法 延伸探究 若题 3 条件不变 则分给甲 乙 丙三人 每人至少一本 有多少种不同的选法 解题指南 至少一本 包括三种类型 2 2 2型 1 2 3型 1 1 4型 解析 可以分为三类情况 1 2 2 2型 即 中的分配情况 有 90种方法 2 1 2 3型 即 中的分配情况 有 360种方法 3 1 1 4型 有 90种方法 所以一共有90 360 90 540种方法 方法技巧 分组 分配问题的求解策略 1 分组问题属于 组合 问题 常见的分组问题有三种 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 部分均匀分组 应注意不要重复 若有n组均匀 最后必须除以n 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 2 分配问题属于 排列 问题 分配问题可以按要求逐个分配 也可以分组后再分配 变式训练 2014 浙江高考 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 解析 不同的获奖情况分两种 一是有一人获两张奖券 一人获一张 共有 36种 二是有三人各获得一张 共有 24种 因此不同的获奖情况有60种 答案 60 补偿训练 将7名学生分配到甲 乙两个宿舍中 每个宿舍至少安排两名学生 那么互不相同的分配方案共有 a 252种b 112种c 20种d 56种 解析 选b 按分配到甲宿舍的人数分类 则不同的分配方案共有 112种 类型三与几何有关的组合问题 典例3 1 以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为 2 平面内有12个点 其中有4个点共线 此外再无任何3点共线 以这些点为顶点 可构成多少个不同的三角形 解题探究 1 题 1 的正方体的顶点中 满足什么条件的四个点不能构成四面体 2 题 2 中的三角形如何分类 探究提示 1 正方体的顶点中 共面的四个顶点不能构成四面体 2 以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准 自主解答 1 正方体的8个顶点可构成个四点组 其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点 故可以确定的四面体有 12 58个 答案 58 2 方法一 以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准 第一类 共线的4个点中有2个点为三角形的顶点 共有 48个不同的三角形 第二类 共线的4个点中有1个点为三角形的顶点 共有 112个不同的三角形 第三类 共线的4个点中没有点为三角形的顶点 共有 56个不同的三角形 由分类加法计数原理知 不同的三角形共有48 112 56 216个 方法二 间接法 从12个点中任意取3个点 有 220种取法 而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形 即不能构成三角形的情况有 4种 故这12个点构成三角形的个数为 216个 方法技巧 解答几何组合问题的策略 1 几何组合问题 主要考查组合的知识和空间想象能力 题目多以立体几何中的点 线 面的位置关系为背景的排列 组合 这类问题情境新颖 多个知识点交汇在一起 综合性强 2 解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样 只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可 3 计算时可用直接法 也可用间接法 要注意在限制条件较多的情况下 需要分类计算符合题意的组合数 变式训练 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 其中异面直线有 a 18对b 24对c 30对d 36对 解析 选d 方法一 一条底面棱有5条直线与其异面 例如 与ab异面的直线分别是b1c a1c b1c1 a1c1 cc1 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线 例如 与bb1异面的直线分别是ac ac1 a1c1 a1c 侧面中的对角线有5条与其异面的直线 例如 与ab1异面的直线分别是bc bc1 cc1 a1c a1c1 而每条直线都数两遍 故共有 36 对 方法二 一个四面体中有3对异面直线 在三棱柱的六个顶点中任取4个 可构成四面体的个数为 3 12 个 故共有异面直线12 3 36 对 补偿训练 正六边形的顶点和中心共7个点 可组成 个三角形 解析 不共线的三个点可组成一个三角形 7个点中共线的是过中心的3条对角线 即共有3种情况 故组成三角形的个数为 3 32 答案 32 拓展类型 相同元素的分配问题 备选例题 1 要从7个学校中选出10人参加数学竞赛 每校至少1人 这10个名额的分配方法有 a 36种b 48种c 84种d 96种 2 6个相同的小球放入4个编号为1 2 3 4的盒子 求下列方法的种数 每个盒子都不空 恰有一个空盒子 恰有两个空盒子 解析 1 选c 因为名额之间没有差别 可将10个名额用符号 表示 排成一排 即 然后用6块挡板插入 之间 将其分成7部分 那么挡板的一种插法即对应着名额的一种分配方法 所以不同的名额分法为 84 种 2 先把6个相同的小球排成一行 在首尾两球外侧放置一块隔板 然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板 有 10 种 恰有一个空盒子 插板分两步进行 先在首尾两球外侧放置一块隔板 并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板 如 0 000 00 有种插法 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒 如 0 000 00 有种插法 故共有 40 种 恰有两个空盒子 插板分两步进行 先在首尾两球外侧放置一块隔板 并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板 有种插法 如 00 0000 然后将剩下的两块隔板插入形成空盒 其一 这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子 如 00 0000 有种插法 其二 将两块板与前面三块板之一并放 如 00 0000 有种插法 故共有 30 种 方法技巧 相同元素分配问题的建模思想 1 隔板法 如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置 便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板 相邻两块隔板形成一个 盒 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法 此法称之为隔板法 隔板法专门解决相同元素的分配问题 2 将n个相同的元素分给m个不同的对象 n m 有种方法 可描述为n 1个空中插入m 1块板 规范解答 排列 组合的综合应用 典例 12分 假设在100件产品中有3件是次品 从中任意抽取5件 求下列抽取方法各有多少种 1 没有次品 2 恰有2件是次品 3 至少有2件是次品 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若在 处不能按照分步乘法计数原理进行 而认为是分类加法计数原理 则考试时至少会扣掉3分 失分点2 若在 处对 至少问题 不能准确分类 则此问将不得分 悟题 提措施 导方向1 准确运用两个计数原理在解答排列组合问题时 首先要搞清楚解决这个问题是分步还是分类 是应用分类加法计数原理还是应用分步乘法计数原理 如本例 1 2 都是直接应用了分步乘法计数原理 而 3 则是先分类后分步 2 正确分清是排列问题还是组合问题判断一个具体问题是排列还是组合 就是看这个问题是否与顺序有关 若有关则是排列问题 否则是组合问题 若问题是关于是排列组合的综合应用 一般先 选 后 排 3 注重分类讨论的意识在解答含有 至少 至多 的排列组合问题时 要注意对各种情况的分类讨论 如本例 3 类题试解 某运输公司有7个车队 每个车队的车辆