全国高中数学联赛辽宁省初赛试题全集（2005—2013）.doc

2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（本题满分30分，每小题5分）1. 已知集合，当时，实数m的取值范围是（）AB或CD或2. 过原点的直线交双曲线于两点，其中点在第二象限，将下半平面沿轴折起使之上半平面成二面角，线段的最短长度是（）。ABCD3. 设均为非零复数，令，若，则的值为（）A BCD4. 设是上的单调函数，且对任意，都有，若是方程的一个解，且，则的值为（）A 1B 2C 3D 45. 内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（）A 30B 33C 36D 396. 已知实数满足，则的最大值是（）。A B C D 32、 填空题（本题满分30分，每小题5分）7. 若，则的最大值是 。8. 长方体中，则异面直线与的距离为 。9. 椭圆，的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于两点，设为坐标原点，若，则该椭圆的方程是 。10. 将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种。11. 已知函数，设方程在区间内所有实根的和为，则数列的前n项和为 。12. 数列中，则此数列的通项公式 。3、 解答题13. 设关于的方程有两个实根，函数。（1） 求的值；（2） 判断在区间的单调新，并加以证明；（3） 若均为正实数，证明：。14. 已知数列满足，。（1） 若恒成立，求的取值范围；（2） 若，求证：。15. 如图，锐角ABC中，且点D和E在边BC上，满足BD=CE，若在ABC内存在点P满足PD/AE，且PAB=EAC，证明：PBA=PCA。16. 设点P为圆C1：上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足。（1） 求点M的轨迹方程。（2） 过直线上的点T做圆C2的两条切线，设切点分别 为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于C、D，求的取值范围。答案：1、 选择题BDCBCA二、填空题题号789101112答案42123、 解答题2012年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（每小题5分，共30分）1. 用1，2，3三个数字组成四位数，要求，三个数字都要出现，且相同的数字不相邻，这样的四位数共有（）个A 24B 18C 15D 122. 设，其中，则所有的交集为（）。ABCD3. 是定义在上的函数，对任意，有。记，则（）。ABCD4. 设双曲线，的右焦点为F，过F做x轴垂直的直线与两条渐近线交于A、B两点，P是与双曲线的一个交点，设O为坐标原点，若实数m、n，使得，且，则该双曲线的离心率为（）ABCD5. 在ABC中，设,。则等式，成立的充分必要条件是（）ABCD6. 设，则当，且使得二次方程的一个根大于1，一个根小于1的概率是（）ABCD2、 填空题（每小题5分，共30分）7. 设，则S在复平面内所对应区域的面积是 。8. 。9. 设函数，。则 。10. 不等式的解集为 。11. 已知点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是 。12. 四面体ABCD中，已知，BAC=60，BAD=CAD=45。若过D与平面ABC相切并且与该四面体的外接球面相内切的球面半径为1，则四面体ABCD外接球面相内切的球面的半径为1，则四面体ABCD外接求免的半径为 。3、 解答题（每小题20分，共80分）13. 设实数满足，证明：。14. 已知中心在原点O、焦点在x轴上、离心率为的椭圆过点。设不过原点O的直线与该椭圆交于点，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围。15. 如图1，已知PA、PB是由圆O外一点P引出的两条切线，M、N分别是线段AP、AB的中点，直线MN与圆O交于点C、E，点N在M与C之间，PC与圆O交于点D，延长ND与PB交于点Q，证明：四边形MNQP为菱形。16. 设递增数列满足，。（1） 求数列的通项公式；（2） 证明：。答案：一选择题（本题满分30分，每小题5分）1. (B). 2. (C) 3. (C) . 4. (A) 5. (D) 6. (A) . 二填空题（本题满分30分，每小题5分）7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 三解答题13.（本小题满分20分）证明：假设，则.由得即， (5分)由于单调递减，且，故. (10分)由得，即.(15分)由于单调递减，故.因此，与矛盾，所以，. (20分)OPQyx14（本小题满分20分）解：由题意可设椭圆方程为 ，由 得 ，所以，椭圆方程为 (5分)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为，满足 ，消去得，且， (10分)因为直线，的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即 (15分)由于直线的斜率存在，且，得且设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为 (20分)15.（本小题满分25分）证明：连结，显然三点共线，且，所以是中点，由是的中点，故，(5分)，所以，(10分)又四点共圆，故四点共圆， (15分)是直角三角形，有，于是四点共圆 (20分)，所以，四边形是菱形. (25分)16.（本小题满分25分）（1）解法一：由得，由，猜想. (5分)证明：当时，显然成立；设当时，成立，当时，成立，所以，通项公式为. (10分)解法二：由得，故（），两式相减得，又为递增数列，故 . (5分)特征方程为，特征根为，所以，将代入，得 ，解之得 ，通项公式为. (10分)（2）设，由 得， (15分).所以 . (25分)2011年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（每小题6分，共36分）1. 已知，则“，且”是“”的（）。A 充分条件而非必要条件B 必要条件而非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件亦非必要条件2. 函数的值域为（）A BC D 3. 一个盒子里有3个黑球和4个白球，现从盒子里随机每次取出一个求，取出后不再放回，每个球取出的可能性相等，直到某种颜色的求签不被取出，则最后取出的是黑球的概率为（）A BC D 4. 是互相垂直的异面直线，与平面平行，在平面内，则在平面内到距离相等的点的轨迹是（）A 直线B 椭圆C 抛物线D 双曲线5. 设正整数列的前n项为，数列的前n项积为，且。则数列中最接近2011的数是（）A 1980B 2010C 2040D 20706. 如图1，正方体的棱长为1，在侧面对角线上取点M，上取点N，使得线段MN平行于对角面。则这样的MN长度的最小值为（）。A B C 1D 2、 填空题（每小题9分，共54分）7. 设。则 。8. 已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在x轴上方），与x轴交于点F。若，则 。9. 设正实数集合，集合。则集合S中的元素最多有 个。10. 函数的最大值与最小值之和为 。11. 设函数，定义，其中，则 。12. 将凸五边形ABCDE的每个顶点染上五种颜色之一，使每条对角线的两个端点颜色不同的颜色方式共有 种（用数字作答）。三解答题（每小题15分，共60分）13. 求曲线和，的交点。14. 已知椭圆，的离心率为，为左、右焦点，过的直线与椭圆相交与两点，若面积最大值为6，求椭圆的方程。15. 如图2，四边形ABCE为圆O的内接四边形，对边BC、AD交于点F，AB、DC交于点E，ECF的外接圆与圆O的另一交点为H，AH与EF交于点M，MC与圆O交于点G，证明：（1） M为EF的中点；（2）A、G、E、F四点共圆。16. 已知定义在R上的函数具有下列性质：（i）；（ii），（1） 当n为定值时，记，求的表达式；（2） 对，证明：。2010年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（每小题6分，共36分）1. 集合，。若，则集合C的元素个数为（）。A 9B 1C 13D 202. “函数在上单调”是“函数在上有最大值和最小值”的（）A 充分条件而非必要条件B 必要条件而非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件亦非必要条件3. 某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课。如果第一节不排生物，最后一节不排物理，则不同的排法共有（）种。A 36B 39C 60D 784. 数列的前40项的和是（），A B C 19D 185. 设，则任取，关于x的方程有实根的概率为（）A B C D 6. 若正方体的棱长为，则与正方体对角线垂直的最大截面的面积为（）A B C D 2、 填空题（每小题9分，共54分）7. 设，对恒成立，则 。 8. 函数的值域是 。 9. 将椭圆绕坐标原点逆时针旋转45后所得椭圆的最高点与原点的距离是 。 10. 不等式的整数解的个数为 。 11. 若关于x的方程的两个实根满足，则的最小值与最大值之和是 。12. 已知椭圆：，为其左右焦点，Q为椭圆C上任意一点，F1QF2的重心，内心分别为G、I，直线IG与x轴平行，则椭圆C的离心率是 。3、 解答题（每小题15分，共60分）13. 已知，若在上的最大值为，最小值为，令。（1） 求的函数表达式；（2）求证：恒成立。14. 已知分别为椭圆，的左右焦点，P为椭圆上一点，F1PF2中F1PF2的外角平分线为，点F2关于的对称点为Q，F2Q交与点R。（1） 当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程；（2） 设点R 的轨迹为曲线C，直线：与曲线C交于点A、B，AOB的面积为S，求S取得最大值时k的值。15. 如图，圆O1与圆O2内切于点P，圆O1的弦AB切圆O2于点C，延长PC交圆O1于点G，PA、PB与圆O2分别交于点E、F，EF与PC交于点D，延长AD与圆O1交于点H，求证：（1） G为弧的中点；（2)G、F、H三点共线。16. 已知数列各项均不为0，其前n项和为，且对任意，都有，为大于1的常数。记。（1） 试比较与的大小；（2）求证：2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知集合M=x|xR，5|2x3|N+，则M的所有非空真子集的个数是（）A254B255C 510D 5112平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为（）ABCD 3已知ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是（）A(1，1+B，1+ C（1，D， 4设M是正方体各条棱的中点的集合，则过且公过M中3个点的平面的个数是（）A56 B81 C136 D1455设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。），An、Bn分别为数列an、bn的前n项和。记cn=anBn+bnAnanbn，则数列cn的前10项和为（）A210+53B.2 11 +53 C.110（2 91）D.110（2 101）6将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是（）A30B.31C.32D.33二填空题（本题满分30分，每小题5分）7正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC中点，则二面角ABOE的大小为_.8函数f（x）=的最大值与最小值的乘积是_.9.把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰能围成三角形的概率为_.10设a（0a1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+）上递减。若f（）=0，f（logax）0，那么x的变化范围是_.11数列an满足an =1，则a1+a 2+a 3+。+a n =_.12已知点P是双曲线=1上的动点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围_.三解答题（本题共4道小题，满分90分）13（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx（1）若a0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有f()成立；（2）若对任意x1，e，不等式f（x）（a+3）xx2恒成立，求a的取值范围。14（本小题满分20分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t0，都存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.15.（本小题满分25分）如图，ABC中，ABAC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE过ABC的内心.16.（本小题满分25分）已知数列an中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的两个根.（1）求数列an的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+，求证：Tn（nN+）答案：一选择题（本题满分30分，每小题5分）1（C） 2（B） 3（C） 4（A） 5（D） 6（B）二填空题（本题满分30分，每小题5分） 7 8 9 10或 11 12三解答题13（本小题满分20分）解：（I）.（5分）因为 所以, ， 又， 故，所以，； （10分）（）因为对恒成立，故， ，因为,所以，因而 ，（15分）设 因为，当时, ,，所以，又因为在和处连续 ，所以在时为增函数，所以 （20分）14，（本小题满分20分）解：（I）直线的方程为， 依题意得 解得， 所以，椭圆方程为（5分）（）将代入椭圆方程，得， 由直线与椭圆有两个交点，（1） （10分）设，则，（2）以为直径的圆过点，即， 而，将（2）代入，解得，（15分），即满足（1），所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点（20分）15. （本小题满分25分）证明：设角的内角平分线与交于点，连接,由于是外接圆的切线，故，（5分）又，故， （10分）故，所以四点共圆. （15分） （20分），故为角的角平分线，为的内心. （25分）16. （本小题满分25分）（I）解：方程的两个根为， （5分） （10分）() 证明：，所以， （15分）当时， （20分）同时，综上，当时， （25分）2008年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（本题满分30分，每小题5分）1. 设全集，。若。则集合B可能为（）A B C D 2. 函数，的最大值是（）A B C D 3. 已知，在上单调增加，那么的取值范围是（）A B C D 4. 有一个正四棱锥，它的地面边长与侧棱长均为，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A B C D 5. 已知抛物线，过点向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的争渡是（）A B C D 6. 从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是（）A B C D 2、 填空题（本题满分30分，每小题5分）7. 设是非负实数，则的最小值是 。8. 设是等差数列的前m项和，已知，则 。9. 已知，则 。10. 已知，是连续正整数（从小到大或从大到小），且，则的最小值是 。11. 设，（m，n没有大于1的公约数），则 。12. 空间有9个点，其中任意4点不共面，在这9点间连接若干条线段，使图中不存在四面体，则图中三角形的个数最多是 。13. （本小题满分20分）已知函数，且存在使在上的值域为，求实数k的取值范围。14. （本小题满分20分）设数列满足，且，其中为数列的前n项和，求的表达式。15. （本小题满分25分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，直线BO和CO分别与边AC、AB交于点，直线交ABC的外接圆于点，求证：ABC是等腰三角形。16. （本小题满分25分）如图，已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，且成等比数列。（1） 求椭圆的离心率；（2） 过F的直线与椭圆相交与M，N两点，直线AM与AN分别与右准线相交与两点。答案：2007年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题一、选择题（每小题6分，共36分）1. 已知的定义域为，且过点。则的值域为（）A B C D 2. 已知曲线，过x轴上一点作该曲线的切线，最多可作切线的条数为（）A 1B 2C 3D 43. 将正整数从小到大依次插入到数列中，且与之间的正整数的个数恰好为，得到数列0、1、-1、2、3、-2、4、5、6、-3、7、8、9、10、-4、。则2007是此数列的第（）项。A 2069B 2070C 2071D 20724. 在锐角ABC中，BC=1，A=2B，则AC的取值范围（）。A B C D 5. 底面半径为2，高为42的封闭的圆柱形容器中最多能放入的半径为1的球的个数为（）。A 54B 56C 58D 606. 一只青蛙在正六边形ABCDEF的点A处，每次向相邻顶点跳跃，到达点D或跳满5次则停止，那么不同的跳跃方式有（）种。A 26B 28C 30D 322、 填空题（每小题9分，共54分）7. 方程在上的解的个数为 。8. 已知集合，且，若则 。 9. 两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各有3名队员，每名队员出场一次，共赛三餐，每场比赛胜者得一分，负者得0分，A对和B对的3名队员分别是和，且Ai对Bj的胜率为，则A队得分期望的最大可能只是 。10. 在ABC中，A、B满足，则的取值范围是 。11. 若不等式对恒成立，则满足此条件的实数的最小值是 。12. 若关于x的方程有实根，则的最小值为 。3、 解答题（每小题15分，共60分）13. 已知关于x的方程。（1） 若方程无实根，求m的取值范围；（2） 若方程有唯一实根，求m的取值范围。14. 已知、，设分别为的中点，对于任意正整数n，为线段中点，记，设，。（1） 求；（2）证明：；（3） 设，证明：是等比数列，并求。15. 如图，C为半圆弧的中点，P为直线BA延长线上一点，过P作半圆的切线PD，D为切点，BPD的平分线分别交AC、BC于点E、F，求证：以EF为直径的圆过半圆的圆心O。16. 设分别为双曲线的左右交点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在左准线上，且满足，。（1） 求此双曲线的离心率；（2） 若此双曲线过点，、，点在双曲线上，且，当时，求直线AB的方程。答案：2006年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题1、 选择题（每小题6分，共36分）1. 设集合，则M与N的关系为（）。A B C D 2. 设一个四面体的体积为，以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体，其体积为，则为（）。A B C D 不确定3. 在1，2，3，4，5的排列中，满足的排列的个数为（）。A 24B 16C 10D 84. 给定正数，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程（）A 有两个相等实根B 有两个同号互异实根C 有两个异号实根D 无实根5. 若为奇函数，且在为减函数，则的一个值为（）A B C D 6. 已知满足，若的最大值为，最小值为，则的取值范围是（）A B C D 或2、 填空题（每小题9分，共54分）7. 设圆，其中，定义如下：。则的面积为 。8. 已知复数集合D，复数当且仅当存在模为1的复数，使得，则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是 。9. 一个立方体的任意4个不再同一平面上的顶点A、B、C、D组成的二面角的余弦角中，小于的值的个数是 。10. 设，映射，则满足，且像恰好取个不同值的的个数为 。11. 设F为抛物线的焦点，为直线上一点，若抛物线上有且仅有一点P满足，则的值为 。12. 设，则的最大值为 。三、解答题（每小题15分，共60分）13. 设满足，求证：14. 设抛物线的焦点为F，过点的直线在第