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7 二次曲线方程的化简与分类一 方程的化简： 1 中心曲线方程的化简： 对中心曲线F（x,y）=0，令O（，）为其中心，若将坐标原点平移至O，则新方程中将不含一次项，再选取适当的角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为 （1） 由于， 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x， y轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）例1：化简二次曲线方程x-xy+y+4x-2y=0 解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐标变换公式 即 代入原方程有x+3y-8=0 即 2 无心曲线方程的化简： 对无心曲线F（x,y）=0，选取适当的角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即方程简化为由于 有且仅有一为0，不妨设=0 ，再配方有作平移则方程最终简化为 （2）由于 从而无心曲线（2）关于x轴对称，即x轴是其一主直径，且x州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。可见以无心曲线的主直径作为x轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2）例2：化简二次曲线方程x+2xy+y+2x-2y=0 解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换，为 即 代入原方程并化简为 3 线心曲线方程的化简： 对于线心曲线F（x,y）=0，取一中心（，），并作平移变换即可消去方程中的一次项，再选取适当的角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方程简化为 由于 有且仅有一为0，不妨设，则线心曲线方程化简为 （3）由于，曲线（3）关于x轴对称，可见新坐标系的x轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3）例3：化简二次曲线方程 x-2xy+y+2x-2y=0 解：可以验证所给曲线是线心曲线，其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0，作坐标变换 即 代入原方程并化简得 总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论： 选取适当坐标系，可使 中心二次曲线的方程的化简为 无心二次曲线的方程的化简为 线心二次曲线的方程的化简为 二 二次曲线的分类： 1对于中心曲线，其方程可化简为（I） 当 ，令 A=，B=，则（I）为 Ax+By=1 若A，B0，令A= ，B=，则（I）为 1 椭圆 若A，B0，B0,令A=，B=-，则（I）为 3 双曲线 同理当A0时，也是双曲线 当时，令A=，B=，则（I）为 4 一点 同理，若A，B0,B0，令A=，B=-，则（I）为 5 二相交直线 同理 若A0,则（I）也为二相交直线。2对于无心曲线，其方程可化简为（II），令 P= ，则（II）为 6 y=2Px 抛物线 对于线心曲线，其方程可化简为（III），令 k= ，则（III）为 y=k 若k0，则（III）
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