(自填)韩师2011《高代》专插本考试样卷(答案).doc

（A卷）第 6 页 共 6 页韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷数学与应用数学 专业 高等代数 A卷题号一二三四五六七八九十总分评卷人得分一、选择题(每小题3分，共15分)题号12345答案1m个方程n个未知量的线性方程组中，若其系数矩阵的秩等于m, 则( )成立。（A）方程组一定有解 ; （B）方程组一定有无穷多解; （C）方程组一定无解; （D）方程组一定有唯一解.2. 设E1E2Es A Es+1Et =I,其中Ei为初等矩阵，i = 1,2, t , 则A-1等于( ).（A）E1 E2 Et ； （B）EtE2 E1； （C）Es+1 Et E1 Es ； （D）E t E s+1E1 Es . 3. 设A1, A2, As都是n阶方阵，则对角线分块矩阵的秩等于( ).（A）秩(A1A2As)； （B）秩A1秩A2秩As； （C）秩(A1+A2+As)； （D）秩A1+秩A2+秩As . 4. 设1 , 2 , s与1 , 2 , s均为线性相关的向量组，则下列结论正确的是（ ）.（A）1+1, 2+2,s+s线性相关； （B）1+1,2+2,s+s线性无关；（C）1,2,s,1,2,s线性相关； （D）1, 2,s,1,2,s线性无关.5. ，是R3的规范正交组，添加( )可以扩充为R3的规范正交基.（A）； （B）；（C）； （D）.二、填空题（把答案填在题中横线上。每小题3分，共15分）1. 在n元排列中，反序数最大的排列的反序数为 .2. 实数域上的不可约多项式的次数只能是 .3. 在Qx内的典型分解式为 .4. 复数域C作为实数域R上的向量空间, 维数是 .5. mn矩阵A的行向量组所生成的F n的子空间叫做A的 .三、判断题(每小题2分，共14分. 你认为正确的，在题后圆括号内打“”，错误的打“”。)1. 81357246 是偶排列. ( )2. 多项式在有理数域上是不可约的. ( )3. 设A是n阶方阵，那么 det ( - A ) = - det A . ( )4. 在欧氏空间V中，当向量时，有. ( )5. 设f : AB, g : BC是映射, 又令h =. 如果h是单射, 那么g也是单射. ( )6. 复数域上两个n元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵有相同的秩. ( )7. 矩阵A=与B=可以看成某一线性变换关于两个基的的矩阵. ( )四、(8分) 求矩阵A =的逆矩阵.五、(8分)求齐次线性方程组的一个基础解系.六、(8分)计算行列式.七、(8分) 证明：多项式在复数域C内没有重根.八、(8分)设向量组线性无关，证明也线性无关.九、(8分)设是数域F上向量空间V上的一个线性变换, 和是的属于不同本征值的本征向量. 证明:不是的本征向量.十、(8分)设A与B都是n阶方阵.证明: 如果AB = O, 那么秩A + 秩B n .【自己得出来的答案】1.A2.C（由已知A=(E1E2Es)-1(Es+1Et)-1所以A-1=Es+1EtE1E2Es）3.D（r(A)=r(A1)+r(A2)+r(As)）4.C (部分相关则整体相关,整体无关则部分无关)5.B （利用正交来做,再单位化） （属于不同特征值的特征向量彼此正交，故（1）T *3=0,(2)T*3=0即解齐次线性方程组，其系数矩阵为2/3 2/3 -1/3 ）2/3 -1/3 2/3 3=1 -2 -2/(12+(-2)2+(-2)2)=1/3 -2/3 -2/3(最后一步是标准化)二.1.n(n-1)/22.1或2(实数域上的不可约多项式类型有2种:一次多项式,只含非实共轭复数根的二次多项式.所以是1或2)3.f(x)=2(x-1)(x-3)(x3-x2+x-1)4.25.行空间三.1.错(反序数为13,是奇排列)2.对3.错(det(-A)=(-1)ndetA)4.对5.错(f为单射)6.对7.错（一个线性变换在两个基下的矩阵A、B的关系是相似（即B=T-1AT），而相似矩阵必有相同的特征值，故有相等的行列式与迹）四.1-3-3/20-2-3/2035/2五.-3/2-11=7/22=-21001六. 将第2行加到第1行第1行提出公因子 a+b+c+d行列式化为范德蒙行列式故 D = (a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)七.令g(x)=f(x)=1+x+x2/2!+x3/3!+.+x(n-1)/(n-1)!f(x)=g(x)+xn/n!显然g(x)不能整除xn/n!（后者只有0为根。0显然不是g(x)的根）所以g(x)也不能整除f(x),所以f(x)无重根（多项式有重根的充要条件是能被导数整除）八.证明：假设+线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，k3，使得k1(+)+k2(+)+k3(+)=0(k1+k3)+(k1+k2)+(k2+k3)=0又因为线性无关所以k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k1=k2=k3=0与假设矛盾，所以假设不成立所以+线性无关九.解:反证,设+k是线性变换的属于本征值的本征向量则(+k)=(+k),所以()+k()=+k,由已知,(，是分别属于的两个不同本征值、的本征向量)()=,()=,所以+k=+k,所以(-)+k(-)=0.由于属于不同本征值的本征向量线性无关,所以(-)=k(-)=0.由于k0,所以=.这与已知矛盾(题中、是不同的本征值)