数列通项公式复习专题(修改版).doc

学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 刘柏雄 课时 4h 课 题数列通项公式的求法教学目标让学生掌握求数列通项公式的几种方法（定义法，公式法，构造法，递推法，双数列型等）重 点定义法，公式法，构造法的熟练掌握及灵活应用难 点递推法中各类型的区别，通过用心感悟去求递推数列的通项公式一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目1. 等差数列定义： (n2)； 2. 等差数列通项公式： (n1)3. 等比数列定义：=q（q0） 4. 等比数列通项公式：例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.例2设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN*），其中m为常数，且m-3,m0.（1）求证：an是等比数列；（2）若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1) (nN,n2),求证：为等差数列，并求bn. 定义法求数列通项例3差数列an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；（2）若a16,a110,S1477,求所有可能的数列an的通项公式.练习：1数列an中，a1=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值； （2）求证：bn是等比数列.等比数列定义法2已知数列an的前n项和为Sn，且对任意nN*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列bn是等比数列； 等比数列定义法（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n2)，求cn的通项公式.3函数f(x)=sinxsin(x+2)sin(x+3)在区间（0,+）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an (n=1,2,3,).(1)求数列an的通项公式；（2）设bn=sinansinan+1sinan+2,求证： bn=（n=1，2，3，）.二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并例1已知数列的前项和 求数列的通项公式。例2 已知数列an的前n项和Sn满足2=2aSn- an (n2)且a1=2, 求an和Sn.例3 数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）练习1已知数列的前n项和，且， ，设，求证：数列是等比数列2已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.三、由递推式求数列通项法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为，解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1 已知数列中,N),求的表达式. 例2 例3 已知，求Sn的值。例4 已知数列中,其中，求数列的通项公式。练习1若数列an由a1=2, an+1= an+2n (n1) 确定, 则a100的值是 ( )A 9900 B 9902 C 9904 D 101002数列的首项为，为等差数列且若则，则（ ）A0 B3 C8 D113.在数列中， ，则 4 已知数列满足，求。类型2递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解例1 已知数列满足，求。例2 已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 例子练习1 已知数列中， ，前项和。（）求，； （）求的通项公式。 2已知数列an满足(nN*)，且a11，则an_.类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1 在数列中，若，则该数列的通项 例2在数列中， 求的通项公式例3 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞存活的个数是 .练习：1 已知数列满足=1，+2=2，求.2 数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。3某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. （待定系数求表达式）类型4递推式： 解法：只需构造数列，消去带来的差异例1 设数列：，求.例2设数列： ，求.思考: 设数列： 求.练习：数列a满足a=1，a=a+n3（n2），求数列a的通项公式。类型5 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）例1已知数列中，,，求。例2设数列的前项的和，求首项与通项 练习1已知数列满足， ，求2 在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；类型6递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为，然后在与原来的式子进行比较，从而解得s和t 例1 已知数列中，,，求。例2 已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；练习1 数列满足=0，求数列a的通项公式。类型7 形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例1 已知数列 求数列a的通项公式。例2 已知数列an满足an+1=,a1=2,求数列an的通项公式.练习1 数列满足，写出前5项，并猜想通项公式.2 （1）已知数列，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以证明. （2）在数列中，求an类型8双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例1 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.练习1.已知数列an、bn满足：a1=2,b1=1,且 (n2). (1)令cn=an+bn，求数列cn的通项公式；（2）求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.四。图像型数列 通过观察图形之间的规律 ，找出它们之间的关系，进一步转化为数列的求解。一般是成等差，等比，或者利用累加，累积的方法求解。例1 如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前个内切圆的面积和.例2下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）例3如图，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的记第n个图形的顶点数为an (nN*)，则an = 图1图2图3图4例4 如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是_ 练习1图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则；2 如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； . 3 （2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378课后作业1、已知数列的前n项和为San1（a为不为零的实数），则此数列（）A、一定是等差数列B、一定是等比数列C、或是等差数列或是等比数列D、既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2、已知,则数列的通项公式3、 在数列中, 且则为 ()A. 5 B. 7 C. 8 D. 104、若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公式为（ ）ABCD5、已知数列满足=1，则=_. 6、在数列中，则=_.7、已知数列中，且，则=_.8、 已知数列满足，则=_.4在数列an中，a1=1，an+1=（nN*），则是这个数列的第_项ICME7图甲OA1A2A3A4A5A6A7A8图乙8.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 1已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117,a2+a5=22. （1）求通项an;(2)若数列bn满足bn=,是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.2 已知， ，求。3已知数列的首项（是常数且），（1）是否可能是等差数列，若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设c是常数)，若是等比数列，求实数c的值，并求出的通项公式。4 设数列的前n项和为，且，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式5 设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. 求数列an的通项公式；6 已知数列中，前项和，若时，求7 已知数列的前n项和公式，求的通项公式（1）；（2）8 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.9设Sn是等差数列an的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5; S3，S4的等差中项为1，求数列an的通项10已知数列满足，求数列的