高考数学一轮复习 32 导数在研究函数中的应用课件 理.ppt

第2讲导数在研究函数中的应用 考试要求1 函数单调性与导数的关系 a级要求 2 利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 b级要求 3 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 a级要求 4 利用导数求函数的极大值 极小值 闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 b级要求 知识梳理1 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 则 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 单调递增 单调递减 常数函数 2 函数的极值与导数 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 最小 诊断自测1 思考辨析 在括号中打 或 1 f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数的极大值不一定比极小值大 3 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 2 2015 北京海淀区模拟 函数f x x2 2lnx的单调递减区间是 答案 0 1 3 苏教版选修2 2p34t8 2 改编 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 解析 f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0或x 2 f x 在 1 0 上是增函数 f x 在 0 1 上是减函数 f x max f x 极大值 f 0 2 答案2 4 如图是f x 的导函数f x 的图象 则f x 的极小值点的个数为 解析由题意知在x 1处f 1 0 且其左右两侧导数符号左负右正 答案1 5 2014 新课标全国 卷改编 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 答案 1 考点一利用导数研究函数单调性 例1 已知f x lnx ax 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在 1 2 上单调递减 求实数a的范围 规律方法 1 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 考点二利用导数求函数的极值 例2 2013 重庆卷 设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤 1 确定定义域 2 求导数f x 3 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检验f x 在方程根左右侧值的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况 从而求解 训练2 设函数f x ax3 2x2 x c a 0 1 当a 1 且函数图象过 0 1 时 求函数的极小值 2 若f x 在r上无极值点 求a的取值范围 规律方法 1 不含参数求f x 在 a b 上的最值时 只需把f x 的极值与端点函数值进行比较 其中最大的是最大值 最小的是最小值 2 含参数时 应注意讨论f x 在相应区间上的单调性 进而求最值 训练3 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由题意知f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上 当k 1时 f x 在 0 1 上的最小值为f 0 k 当1 k 2时 f x 在 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 2时 f x 在 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 思想方法 1 最值与极值的区别与联系 1 最值 是整体概念 是比较整个定义域或区间内的函数值得出的 具有绝对性 而 极值 是个局部概念 是比较极值点附近函数值得出的 具有相对性 2 从个数上看 一个函数在其定义域上的最值是唯一的 而极值不唯一 3 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能一个也没有 2 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要按一定标准讨论参数 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 易错防范 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 求函数最值时 不可想当然地