高考数学二轮复习 专题辅导与训练 6.1 直线与圆教学课件.ppt

专题六解析几何第一讲直线与圆 主干知识 1 必记公式 1 直线的斜率公式 已知直线的倾斜角为 90 则直线的斜率为k 已知直线过点a x1 y1 b x2 y2 x2 x1 则直线的斜率为k x2 x1 tan 2 三种距离公式 a x1 y1 b x2 y2 两点间的距离 ab 点到直线的距离 d 其中点p x0 y0 直线方程为ax by c 0 两平行线间的距离 d 其中两平行线方程分别为l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 3 直线与圆相交时弦长公式弦长l 其中r为圆的半径 d为圆心到弦所在直线的距离 2 重要关系 1 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时 i 两直线平行 l1 l2 k1 k2 ii 两直线垂直 l1 l2 k1 k2 1 当两直线方程分别为 l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0时 i 两直线平行l1 l2 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0或b1c2 b2c1 0 ii 两直线垂直l1 l2 a1a2 b1b2 0 2 两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系设圆o1半径为r1 圆o2半径为r2 3 易错提醒 1 注意两平行线距离公式的应用条件应用两平行线间距离公式时 两平行线方程中x y的系数应对应相等 2 忽略直线斜率不存在的情况在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在 3 注意直线方程的限制条件 应用点斜式 斜截式方程时 注意它们不包含垂直于x轴的直线 应用两点式方程时 注意它不包含与坐标轴垂直的直线 应用截距式方程时 注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线 考题回顾 1 2014 浙江高考 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得弦的长度为4 则实数a的值是 a 2b 4c 6d 8 解题提示 将圆的方程化为标准方程 计算圆心到直线的距离 利用勾股定理求解 解析 选b 由x2 y2 2x 2y a 0配方得 x 1 2 y 1 2 2 a 所以圆心坐标为 1 1 半径r 圆心到直线x y 2 0的距离为所以22 2 2 a 解得a 4 2 2014 安徽高考 过点的直线l与圆x2 y2 1有公共点 则直线l的倾斜角的取值范围是 解析 选d 设过点p与圆相切的直线方程为则圆心到该直线的距离解得k1 0 k2 画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是 3 2014 湖南高考 若圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m a 21b 19c 9d 11 解析 选c 圆c1 x2 y2 1的圆心为c1 0 0 半径为r1 1 圆c2 x2 y2 6x 8y m 0的圆心为c2 3 4 半径为r2 所以 c1c2 5 r1 r2 1 因为圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 所以5 1 m 9 4 2013 重庆高考 设点p是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 点q是直线x 3上的动点 则 pq 的最小值为 a 6b 4c 3d 2 解析 选b pq 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径 圆心 3 1 到直线x 3的距离为6 半径为2 所以 pq 的最小值为6 2 4 5 2014 山东高考 圆心在直线x 2y 0上的圆c与y轴的正半轴相切 圆c截x轴所得的弦的长为则圆c的标准方程为 解析 设圆心半径为a 由勾股定理解得 a 2 所以圆心为 2 1 半径为2 所以圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 答案 x 2 2 y 1 2 4 热点考向一直线的方程及应用 考情快报 典题1 1 已知直线l1 k 3 x 4 k y 1 0与直线l2 2 k 3 x 2y 3 0平行 则k的值是 a 1或3b 1或5c 3或5d 1或2 2 已知点m是直线l 2x y 4 0与x轴的交点 过m点作直线l的垂线 得到的直线方程是 a x 2y 2 0b x 2y 2 0c x 2y 2 0d x 2y 2 0 信息联想 1 看到两直线平行 想到 2 看到两直线交点 直线垂直 想到 两直线平行的条件 两直线交点的求法 两 直线垂直的条件 规范解答 1 选c 因为直线l1 k 3 x 4 k y 1 0与直线l2 2 k 3 x 2y 3 0平行 所以 k 3 2 4 k 2 k 3 0 解得 k 3或5 经检验k 3或5符合题意 2 选c 显然直线l 2x y 4 0与x轴的交点坐标为 2 0 因为所求直线与直线l 2x y 4 0垂直 所以所求直线的斜率为 所以所求直线的方程为y 0 x 2 即x 2y 2 0 互动探究 若本例 1 中的 平行 改为 垂直 则k的值是多少 解析 因为l1 k 3 x 4 k y 1 0与直线l2 2 k 3 x 2y 3 0垂直 所以 k 3 2 k 3 4 k 2 0 解上式得 k 规律方法 1 解决与平行 垂直有关问题的两个关注点 1 求解两条直线平行的问题时 在利用a1b2 a2b1 0建立方程求出参数的值后 要注意代入检验 排除两条直线重合的可能性 2 判定两直线平行与垂直的关系时 如果给出的直线方程中存在字母系数 不仅要考虑斜率存在的情况 还要考虑斜率不存在的情况 2 求直线方程的两种方法 1 直接法 选用恰当的直线方程的形式 由题设条件直接求出方程中系数 写出结果 2 待定系数法 先由直线满足的一个条件设出直线方程 使方程中含有待定系数 再由题设条件构建方程 求出待定系数 变式训练 1 若直线l1 x ay 6 0与l2 a 2 x 3y 2a 0平行 则l1与l2间的距离为 解析 由l1 l2 知3 a a 2 且2a 6 a 2 2a2 18 求得a 1 所以l1 x y 6 0 l2 x y 0 两条平行直线l1与l2间的距离为d 答案 2 2013 四川高考 在平面直角坐标系内 到点a 1 2 b 1 5 c 3 6 d 7 1 的距离之和最小的点的坐标是 解析 由题可知a 1 2 b 1 5 c 3 6 d 7 1 四边形abcd的对角线的交点到四点的距离之和最小 直线ac的方程为2x y 0 直线bd的方程为x y 6 0 所以两直线的交点为 2 4 答案 2 4 加固训练 1 m 1是直线mx 2m 1 y 1 0和直线3x my 3 0垂直的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 由两直线垂直得3m 2m 1 m 0 解得m 0或m 1 而当m 1时可得两直线垂直 所以m 1是直线mx 2m 1 y 1 0和直线3x my 3 0垂直的充分不必要条件 2 若直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则直线l的倾斜角的范围是 解析 选b 方法一 由解得 因为交点在第一象限 所以解得 k 所以 直线l的倾斜角的范围是 方法二 因为直线l y kx 恒过定点 0 直线2x 3y 6 0与x轴 y轴交点的坐标分别为 3 0 0 2 又因为点 0 与点 3 0 连线的斜率为点 0 与点 0 2 连线的斜率不存在 所以要使直线l与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则k 所以直线l的倾斜角的范围是 热点考向二求圆的方程 考情快报 典题2 1 2014 湖州模拟 设二次函数与x轴正半轴的交点分别为a b 与y轴正半轴的交点是c 则过a b c三点的圆的标准方程是 2 2014 威海模拟 已知圆o过椭圆 1的两焦点且关于直线x y 1 0对称 则圆o的方程为 信息联想 1 看到a b是圆与x轴的交点 想到 2 看到椭圆的焦点 想到 看到关于直线x y 1 0对称 想到 圆心与ab中 点的横坐标相同 椭圆中c2 a2 b2 对称满足的条件 规范解答 1 已知三个交点分别为a 1 0 b 3 0 c 0 1 易知圆心横坐标为2 则令圆心为e 2 b 由 ea ec 得b 2 半径为 故圆的方程为 x 2 2 y 2 2 5 2 由题意知 a2 6 b2 2 所以c2 a2 b2 4 椭圆的焦点为f1 2 0 f2 2 0 所以圆心在直线x 0上 又圆o关于直线x y 1 0对称 圆心也在直线x y 1 0上 与方程x 0联立可得圆心坐标为 0 1 半径r 因此圆的方程为x2 y 1 2 5 答案 1 x 2 2 y 2 2 5 2 x2 y 1 2 5 规律方法 求圆的方程的两种方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 即用待定系数法先设出圆的方程 再由条件求得各系数 变式训练 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 a x 2 2 y 2 2 1b x 2 2 y 2 2 1c x 2 2 y 2 2 1d x 2 2 y 2 2 1 解析 选b 圆c2的圆心与圆c1的圆心关于直线x y 1 0对称 设圆c2的圆心为 a b 则 1 a b 0 且在直线x y 1 0上 解得a 2 b 2 所以圆c2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 加固训练 1 已知圆c关于y轴对称 经过点 1 0 且被x轴分成两段弧长的比为1 2 则圆c的方程为 解析 由已知圆心在y轴上 且被x轴所分劣弧所对圆心角为 设圆心 0 a 半径为r 则rsin 1 rcos a 解得r 即r2 a 即a 故圆c的方程为x2 答案 2 2014 长春模拟 已知圆 x a 2 y b 2 r2的圆心为抛物线y2 4x的焦点 且与直线3x 4y 2 0相切 则该圆的方程为 解析 因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 所以a 1 b 0 又根据 1 r 所以圆的方程为 x 1 2 y2 1 答案 x 1 2 y2 1 热点考向三直线与圆的位置关系 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一求切线方程 参数值 典题3 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 2 若圆c上存在点m 使ma 2mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 现场答案 纠错析因 找出以上现场答案的错误之处 分析错因 并给出正确答案 提示 以上解题过程中出错之处是第 2 小题倒数第二行 cd长度的范围cd 2 1出错 原因是两圆有公共点 忽略了圆心距大于或等于两半径差的绝对值 导致解答过程不完整 规范解答 1 由题设知 圆心c是直线y 2x 4和y x 1的交点 解得点c 3 2 于是切线的斜率必存在 设过a 0 3 的圆c的切线方程为y kx 3 由题意得 1 解得k 0或 故所求切线方程为y 3或3x 4y 12 0 2 因为圆心在直线y 2x 4上 所以圆c的方程为 x a 2 y 2 a 2 2 1 设点m x y 因为ma 2mo 所以化简得x2 y2 2y 3 0 即x2 y 1 2 4 所以点m在以d 0 1 为圆心 2为半径的圆上 由题意知 点m x y 在圆c上 所以圆c与圆d有公共点 则2 1 cd 2 1 即1 3 由5a2 12a 8 0 得a r 由5a2 12a 0 得0 a 所以圆心c的横坐标a的取值范围为 0 命题角度二与圆有关的弦长问题 典题4 1 2014 天水模拟 直线y kx 3与圆 x 3 2 y 2 2 4相交于m n两点 若 mn 2 则k的取值范围是 2 2014 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 直线x 2y 3 0被圆 x 2 2 y 1 2 4截得的弦长为 信息联想 1 看到 mn 2 想到 2 看到求直线被圆所截的弦长 想到 弦心距 半径 半弦长 之间的关系 弦心距 半径 半弦长 之间的关系 规范解答 1 选a 因为 mn 2 所以圆心到直线的距离d 1 即 1 解得k 0 2 圆 x 2 2 y 1 2 4的圆心为c 2 1 半径为r 2 点c到直线x 2y 3 0的距离d 所求弦长为答案 规律方法 1 位置关系的判定方法 1 直线和圆的位置关系的判断方法直线l ax by c 0 a2 b2 0 与圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的位置关系如表 2 判断两个圆的位置关系依据两个圆心的距离与半径差与和的比较 2 切线问题的求解方法 1 直线与圆相切时利用 切线与过切点的半径垂直 圆心到切线的距离等于半径 建立切线斜率的等式 所以求切线方程时主要选择点斜式 2 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离 利用勾股定理处理 3 弦长的求解方法与弦长有关的问题常用几何法 即利用圆的半径r 圆心到直线的距离d 及半弦长 构成直角三角形的三边 利用其关系来处理 变式训练 2014 杭州模拟 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值是 解析 设圆心c 4 0 到直线y kx 2的距离为d 则d 由题意知问题转化为d 2 即 2 解得0 k 所以kmax 答案 加固训练 1 2014 衡水模拟 已知圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 设该圆中过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积是 解析 配方可得 x 3 2 y 4 2 25 其圆心为 3 4 半径为r 5 则过点 3 5 的最长弦 ac 2r 10 最短弦 bd 且有ac bd 则四边形abcd的面积为s ac bd 20 答案 20 2 2014 梅州模拟 若直线ax by 1过点a b a 则以坐标原点o为圆心 oa长为半径的圆的面积的最小值是 解析 由题意知 ab 半径r 1 故圆的面积的最小值为 答案 备选考向 与圆有关的最值问题 典题 已知圆c x 1 2 y2 8 1 设点q x y 是圆c上一点 求x y的取值范围 2 在直线x y 7 0上找一点p m n 使得过该点所作圆c的切线段最短 解析 1 设x y t 因为q x y 是圆上的任意一点 所以该直线与圆相交或相切 即解得 5 t 3 即x y的取值范围为 5 3 2 因为圆心c到直线x y 7 0的距离所以直线与圆相离 因为过点p作的切线长 圆心与切点的连线 点p与圆心的连线 组成一直角三角形且半径为一定值 所以只有当过圆心向直线x y 7 0作垂线 过其垂足作的切线段最短 其垂足即为所求 设过圆心作直线x y 7 0的垂线为x y c 0 又因为该垂线过圆心 1 0 所以 1 0 c 0 即c 1 而x y 7 0与x y 1 0的交点为 3 4 该点即为所求 规律方法 与圆有关的最值问题的求解策略与圆有关的最值问题求解时需根据待求值及式子的几何意义 充分利用几何图形的性质 数形结合求解 加固训练 2013 山东高考 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短的弦长为 解析 半径为r 2 圆心为 2 2 圆心到点 3 1 的距离d 所求最短弦长为答案 转化与化归思想 解决与圆有关的最值问题 思想诠释 用转化与化归思想解决与圆有关最值问题的常见类型1 圆外一点与圆上任意一点距离的最值 可先求出圆外一点与圆心的距离 加上半径就是最