浅谈一类有约束条件的最值题的解法.doc

活用数形结合求解一类有约束条件的最值题西安市第一中学 张莲生简单线性规划是现行高中数学教材必修5的一部分必修内容，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。本文将从规划的思想出发来探讨高中数学中一类有约束条件的最值问题的解法。一、线性约束条件下的二元函数最值问题在这类问题中, 它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内各点的坐标即为可行解。当目标函数是一个二元一次函数时，在可行解中使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解；当目标函数不是二元一次函数时，可以利用目标函数所具有的几何意义转化求解. （一）利用直线的截距求线性规划的最优解图1例1已知、满足条件，求的最值。解：约束条件所表示的可行域如图1中的阴影部分所示. 其中直线与直线的交点为，直线与直线的交点为.可变形为,此时可理解为直线的截距.现作直线， 再作一组与平行的直线. 、是上面不等式组所表示的区域内的点的横纵坐标，当直线通过点时，取最小值即， 当直线通过点时，取最大值即.图2例2(2008年全国,13)若、满足约束条件，则的最大值为 。解：约束条件所表示的可行域如图2中的阴影部分所示.其中直线与直线的交点为，直线与直线的交点为,可变形为，将直线在平面内平移，当过点时，直线在y轴上的截距- z最小,此时z取最大值.特别提示：( 1) 解线性规划问题要先正确画出约束条件的可行域. ( 2) 例1中可化为， z的几何意义为直线在轴上的截距. 平移可找出最值的位置, 纵截距最大(或最小)时即取得最大(或最小) 值.例2中，由于， 才是直线在y轴上的截距,当截距最大(或最小) 时, 取最大(或最小)，此时z取得最小(或最大) 值.(二) 利用斜率公式求形如的目标函数的最值例3已知、满足，则的取值范围为 .解：约束条件所表示的可行域如图3中的阴影部分所示.其中直线与轴的交点为，与轴的交点为，图3，可理解为可行域中点与点连线的斜率的2倍与1的和,易知可行域中点与点连线的斜率最小为，点与点连线的斜率最大为5故：，所以的取值范围为.评注：本例将目标函数中式子理解为两点连线的斜率,充分利用了目标函数的几何意义及斜率公式，使问题迎刃而解.(三)利用两点间距离公式求形如的目标函数的最值图4例4已知x、y满足约束条件，求：( 1)的最小值；( 2) 最小值.解：( 1) x、y满足的约束条件所对应的可行域如图4所示. 可理解为可行域内的点到原点的距离的平方. 由题知原点和点的连线段最短，即 ( 2) 同理，可理解为可行域内的点到点的距离的平方，过点向直线作垂线,垂足为在可行域中，所以，点到直线的距离的平方即为的最小值，即(四)利用点到直线的距离公式求形如的最值例5已知x、y满足约束条件，则的最大值为 .图5解：x、y满足的约束条件所对应的可行域如图5所示.由于可理解为可行域内的点到直线距离的倍，而直线与直线及都相交，可知直线与的交点到直线的距离最大.评注：利用与点到直线的距离公式“形似”的特点，充分运用了目标函数的几何意义,将目标函数理解为可行域中点到直线的距离的5倍，进而求出的最大值.由以上几个例子可以看到, 充分理解目标函数的几何意义对求解这类二元函数最值问题确实起到至关重要的作用. 所以在解这类问题时一定要先充分理解目标函数的几何意义再求解，这样才可以做到事半功倍.二、非线性约束条件下的二元函数最值问题在这类问题中, 它的非线性约束条件往往是一个二元二次不等式或二元二次方程，可行域就是非线性约束条件中不等式所围成的平面区域或方程所表示的曲线，区域内的各点（或曲线上的点）的坐标即为可行解；当目标函数是线性函数时, 就是通常所说的二元线性规划问题，可转化为直线与曲线的位置关系来解决，当目标函数不是线性函数时，可以利用目标函数所具有的几何意义转化求解，现举例说明如下. 例6 已知实数、满足，求：（1）的取值范围， （2）的最值， （3）的最值， （4）的最值.解：约束条件所表示的可行域如图6中的阴影部分，是以 为圆心、1为半径的圆及圆内部分。图6(1) 可变形为，将直线在平面内平移，可知当直线与相切时，直线在y轴上的截距取得最值.由直线与圆相切可得：，节得：， 故的取值范围为.(2) 由于可理解为可行域内的点与定点连线的斜率，转动过定点的的位置关系可知当过定点的直线即与相切时，斜率分别取得最大值与最小值.由直线与圆相切可得：，解得：, .(3)由于可理解为可行域内的点与定点的距离的平方，可知以定点为圆心、以为半径的圆与相外切时取最小值、与相内切时取最大值，又， （4）由于可理解为可行域内的点到直线距离的倍，平行移动直线，可知当直线与相切时，分别取得最大值与最小值.又圆心到直线的距离为 例7 已知实数、满足，求：（1）的取值范围， （2）的取值范围.解：约束条件所表示的可行域如图7中的阴影部分，是中心在原点、长轴长为4、短轴长为2的椭圆及椭圆内部分。(1) 可变形为，将直线在平面内平移，可知当直线与椭圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值.图7由直线与椭圆相切可得方程组有两个相等的实数解，即方程，有两个相等的实数根，解得， （2）由于可理解为可行域内的点与定点连线的斜率，转动过定点的直线可知，当过定点的直线即与椭圆相切时，斜率可以取得最大值，由于椭圆长轴的端点与点的连线与椭圆相切，这时连线的斜率不存在.由直线与椭圆相切可得方程组有两个相等的实数解，即方程有两个相等的实数根，解得：故：的取值范围为例8 已知实数、满足，求的最大值与最小值.解：约束条件所表示的可行域如图8中的阴影部分， 在直线的下方、抛物线的上方、公共部分在第一象限的部分，由于图8可理解为可行域内的点与定点的距离的平方减去25所得的差. 可知以定点为圆心的圆与直线相切时取最小值，这时即求点到直线的距离；又点在抛物线的对称轴上，到轴的距离为3，点到点和点的距离相等，且距离的平方为，这时取最大值. , 综上：在求有约束条件的最值问题时，当约束条件为二元变量时，不管是线性条件还是非线性条件都可以先画出约束条件的可行域，