回归系数的假设检验(7).doc

回归系数的假设检验前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X、Y的总体回归系数b为零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为零。因此需作b是否为零的假设检验，可用方差分析或t检验。 .P(x, y) Y - - X 应变量Y的平方和划分示意图任一点P的纵坐标被回归直线与均数截成三段：第一段，表示实测点P与回归直线的纵向距离，即实际值Y与估计值之差，称为剩余或残差。第二段，即Y估计值与均数之差，它与回归系数的大小有关。|b|值越大，也越大，反之亦然。当b=0时，亦为零，则=,也就是回归直线不能使残差减小。第三段，是应变量Y的均数。依变量y的总变异由y与x间存在直线关系所引起的变异与偏差两部分构成，即上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有 由于，所以于是 =0 所以有 反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为；反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为；反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。总变异SS总是由回归关系引起的SS回和与回归无关的其它各种因素产生的SS剩所构成。若回归直线与各实测点十分吻合，则SS回将明显大于SS剩，当全部实测值都在回归直线上时，SS总=SS回，SS剩=0，反之，若回归直线拟合不好，SS回相对较小，SS剩则相对增大。可见SS回/SS剩反映了回归的效果。上式又可表示为： 这表明y的总平方和划分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度也划分为回归自由度与离回归自由度两部分，即 在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即；y的总自由度；离回归自由度。于是：离回归均方，回归均方 (1)、方差分析法：具体计算如下：1、 建立无效假设：H0 ：= 0， 即胆固醇与年龄之间无直线关系H1 ：0， 即胆固醇与年龄之间有直线关系= 0.05 2、计算SS总=88.8081 df总=19SS回=b l xy =0.141 (453.7385)=63.9771 df回=1 SS剩 = SS总 SS 回 =88.8081-63.9771=24.8310 df剩=18 方差分析结果表变异来源SSdfMSF总变异88.808119回归63.9771163.977146.377剩余24.8310181.3795 3、查表确定p值 F0.05(1,18) = 4.41 , F0.01(1,18) = 8.29 P0.01 故按= 0.05水准拒绝无效假设，接受备择假设。 4、结论：可以认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。（2）、t检验 基本思想与样本均数与总体均数比较的t检验类似，而检验统计量t值的计算按下式完成： df = n-2 本例 n =20，SS剩=1.3795 , lxx=3216.95, b=0.141 按df = 18 ，查t界值表，t0.05(18) =2.101, t0.01(18) =2.878 ，按a=0.05 水准，拒绝H0， 接受H1 ， 结论同上。 直线回归方程的应用统计预测： 1、总体回归系数的区间估计根据参数估计原理，回归系数b是总体回归系数的点估计，正像样本均数不一定恰好等于总体均数一样，需要对总体回归系数进行区间估计。 式中Sb为回归系数的标准误；n-2为自由度。回归方程为根据资料的样本回归系数b=0.141估计总体回归系数的95%可信区间。已知b=0.141, sb=0.0207, t0.05(18)=2.101则总体回归系数的95%可信区间为(0.141-2.1010.0207, 0.141+2.1010.0207)=(0.0975,0.1977)2、的区间估计是指总体中自变量X为某一定值X0时，的总体均数。对的估计可计算可信区间： 式中即的标准误，可按下式计算： 式中SY.X为剩余标准差。当时，此时，可信区间的范围最窄，预测精度相对较高。试计算当X0=50岁时，的95%可信区间。已知，, sy.x=1.175=2.661+0.14150 = 9.71t0.05(18)=2.101当X0=50时，的95%可信区间为（9.71-2.1010.3418,9.71+2.1010.3418）= ( 8.99, 10.43) 即当年龄为50岁时，估计其胆固醇的的总体均数在(8.99, 10.43) 范围内的可能性为95%。3、个体Y值的容许区间总体中，X为一定值时，个体Y值的波动范围，可按下式求出： 式中SY为X取一定值时，个体Y值的标准差，其计算公式为 试计算当X0=50时，个体Y值的95%容许区间。已知 =9.71，t0.05(18)=2.101，SY.X=1.175 故当X0=50岁时，个体Y值的95%容许区间为：（9.71-2.1011.2230, 9.71+2.1011.2230）=(7.14, 12.28) 即当年龄为50岁时，总体中有95%的个体Y值波动在(7.14，12.28) 的范围内。用回归方程进行统计控制控制是指党要求Y值在一定的范围内波动时，如何通过控制X的范围来实现统计控制的目标, 所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。如：为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范围（4.446.66mol/L），如何控制血中胰岛素水平？这可以对回归的逆运算来实现。例如：资料已建立了有胰岛素估计血糖平均水平的直线回归方程，问：欲将血糖水平控制在正常范围的上限6.66mol/L以内时，血中胰岛素应维持在什么水平上？已知，取0.05，本例当个体y值取6.66mol/L 时的x值，故取单侧t0.05(18)=1.734，所得方程为：由此式解得x = 32.64(mu/L) , 即如要将一名糖尿病人的血糖控制在6.66mol/L以内，胰岛素水平可维持在32.64(mu/L)以上。又例：某市环境监测站在某交通点连续测定30天，每天定时采样3次，发现大气中NO2浓度Y(mg/m3)与当时的汽车流量X(辆/小时)呈直线关系，根据90对观测数据求得回归方程 ，剩余标准差。若NO2最大容许浓度为0.15mg/m3,则汽车流量应如何控制？设a=0.05。本例 ，a=0.05，n=90-2=88，查表得