等离子体物理讲义07_磁约束与稳定性12.pdf

1 等离子体物理学讲义 No 7 马 石 庄 2011 03 14 北京 2 第 7 讲 磁约束与稳定性 第 7 讲 磁约束与稳定性 教学目的 教学目的 以磁流体为模型 研究作为受控核聚变基础的等离子体约 束的稳定性问题 建立了描述理想磁流体稳定性的力算子及其能量原 理 示意性地建立了压强驱动的交换不稳定和电流驱动的圆柱扭曲不 稳定性的基本图景 主要内容 主要内容 1 磁约束平衡 3 1 1 环形磁约束 4 1 2 Grad Shafranov 方程 7 1 3 环向力平衡 12 2 线性稳定性方程 16 2 1 线性化 16 2 2 能量原理 19 2 3 简正模分析 23 3 理想 MHD 稳定性 27 3 1 箍缩稳定性 27 3 2 螺旋箍缩稳定性 29 3 3 交换不稳定性 36 3 磁约束问题人为地分成两部分 平衡问题和稳定性问题 平衡和 稳定性之间的差别可以用力学模拟加以说明 图示出了静止在硬表面 的一个弹子不同情形 平衡有与时间无关的解 小扰动是否被阻尼或 被放大来决定平衡是稳定或是不稳定 在情形 只要不把弹子推 出太远 它就处于稳定平衡 一旦运动超过阈值 就处于不稳定状态 这叫做 爆发性不稳定性 在情形 弹子处于不稳定状态 但是 不能作非常大的偏移 如果运动振幅的非线性范围不大 这样一种不 稳定性不是很危险的 1 磁约束平衡 1 磁约束平衡 在平衡和稳定性这两个问题中 稳定性较容易处理 对偏离平 衡态的小偏移 将运动方程线性化 而平衡问题是类似于扩散的非线 性问题 对复杂的磁场位形 平衡计算是冗长的过程 4 如图所示 考虑真空室中的聚变等离子体的平衡 磁场的作用是 将等离子体与第一真空壁隔离 以维持热等离子体和较冷的外壁 在 几种可能的数学解中 只有内部压强为正 壁上压强为零的是好约束 第 5 讲已经探讨了 箍缩 箍缩和螺旋箍缩的径向压强平衡 下面重点讨论环向力平衡问题 1 1 环形磁约束 1 1 环形磁约束 定性地说 环形结构中的 MHD 平衡有两类 径向压强平衡和环 向力平衡 等离子体是一团芯部炽热的气体 沿小圆半径 方向向外 膨胀的趋势 箍缩和 箍缩以及二者结合的磁场形态 可以产生平 衡所需的径向压强 径向压强平衡对于环形位形和直线位形的磁约束 都是重要的 5 环形力平衡问题完全由环形几何位形所致 环向磁场和极向磁场都势 不可免地产生沿大圆半径 向外的推力 等离子体环内的等离子体电流 产生的极型磁场比起等离子体 环外部的磁场要强得多 在 Tokamark 平衡位形中 必须增加垂直的 磁场减弱环内的极型磁场并增强环外部的极型磁场 如下图所示 下 面估计所需的垂向磁场 6 磁力线方程 d d d d d 其中 d d d d 所有的磁力线位于磁面 const 满足条件 0 图 磁面图 磁面 法向法向 和磁力线和磁力线 7 在圆柱位形 中 磁力线为 1 1 1 对于轴对称系统 0 磁面为 满足条件 0 0 在平移对称 0 磁面为 在螺线对称中 是 和 的函数 其中 是螺旋箍缩参数 约束完好的聚变等离子体的等压面是一组闭合的嵌套曲面 磁 力线和电流密度线都位于其上 等离子体平衡是磁压强与磁张力共同 作用的结果 1 2 Grad Shafranov 方程 1 2 Grad Shafranov 方程 在环形约束中 在柱坐标系中 中 定义磁面为 如 图 7 1 在轴对称系统中 8 图 7 1 磁面图 7 1 磁面 和电流和电流 磁场的分量为 1 1 因此 也称作磁通量函数 表面看来 MHD 平衡 1 既可以给定 求 又可以给定 求 实际是做不到的 平衡只对具有某种对称性特定的位形可以做到 例如各种磁约束装置 当用 分别表示 方向的单位矢量时 分别有 1 因此有 1 2 其中 成为极型通量 是 环型磁场 9 T 2 2 极型磁场 P 1 2 轴对称为极型磁场和环型磁场提供重要的联系 T 2 和 P 1 2 2 1 由 Ampere 定律 P T 1 P T 得到环型电流 T 2 1 和极型电流 P 1 2 代入平衡方程 得到 P T T P P P 由于轴对称性 P P 0 意味着 0 换言之 必定与 平行 d d d d 10 因此可以定义 d d d d 电流 势必是 的函数 极型电流 P 2 因此平衡方程可以写为 2 2 2 1 1 2 1 2 1 也就是说 与 平行 因此得到 1 4 0 称为 Grad Shafranov 方程 T 2 2 总电流 P T 2 第二项称为 无力 电流 既然与磁场平行 对 Lorentz 力的贡献为 零 Grad Shafranov 方程是一个非线性方程 一般得不到解析解 因为方程涉及 是三个变量 需要给定其中两个 确定 11 第三个 一般是用实验数据给定 求 下面考虑一个简单情形1 设 是 的线性函数 且 是均匀不变的 0 这意味着全部电流在 方向沿 轴流动 环向场是真空场 Grad Shafranov 方程简化为 1 4 0 有解析解 2 4 其中 是常数 而 2 1 如图 选 1 0处 给出 1 作为 函数的等值线 1 Shafranov V D 1966 Plasma equilibrium in a magnetic field Reviews of Plasma Physics Vol 2 New York Consultants Bureau p 103 12 虽然上述模型很理想化 但是描述了 MHD 平衡的三维特征 注 意其中有三类曲线 i 延伸到无穷远出的开放曲线 ii 有心闭合 曲线 当 1 磁轴 iii 将上述两类曲线分开的分离 线 separatrix 4 2 1 3 环向力平衡 1 3 环向力平衡 为避免终端损失 聚变等离子体必须约束在环形结构中 将直 圆柱结构弯成环状结构 需要外加力平衡三种沿大圆半径的向外环形 力环型等离子体的等压面是逐层嵌套的准同轴圆 几何结构 如图所示 综合考虑径向压强平衡和环向力平衡 环向场近似为 极向磁场也沿大圆半径方向衰减 也类似地有 再考虑外加垂向磁场 const 环向力平衡的压强和磁场为 13 坐标变化 cos sin 环向力平衡需要计算对全空间积分 d 0 既然 1 则 cos 2 将之回代用得到环向力平衡方程 用这个简单模型可以计算环向力平 衡 源自压强项的称为车胎力 车胎力 d 2 cos d d 其中利用轴对称环中关系式d 2 d d 再利用坐标变换式 2 d 2 0 车胎力恒正 力的作用方向沿大圆半径向外 在环形 箍缩和 箍缩 中都存在 14 环向力平衡方程中与环向磁场 产生 力力 2 2 cos d d 假设 将上式按大环径比 展开 1 1 1 cos 代入积分 2 2 d 2 2 2 其中 为无等离子体处 的外加环向场 当环向场是逆磁的 时 1 力方向沿大环半径 方向向外 当环向场是顺磁 的 时 1 力方向沿大环半径 方向向内 只在环形 箍 缩中存在 环向力平衡方程中与极向场 相关项引起环向力 环向力 I 2 2 cos d d 先按大环径比 展开 再对 积分 计算得到 I 4 2 d 4 2 2 2 d 等离子体内电感 1 2 2 d 2 2 d 等离子体外电感 1 2 2 d 2 2 d 15 归一化电感 2 近似得到 I 2 1 2 只在环形 箍缩中存在 理论上 理想导体壁可以感应出涡流 压缩等离子体与导体壁 之间的极向磁通量 从而提供回复力 实际上 产生回复力的办法是 外加垂直场力 垂直场力 V 2 d d 4 由于当 时 于是改写为 V 2 2 2 这个表达其实就是长为2 载流 的直导线在均匀磁场 中受到的 力 如果电流和磁场都取正的 垂直场产生的力就是向内的 综合起来 平衡环向力所需的垂直场为 1 4 2 1 这个简单的公式为早期 Tokamak 实验中的垂直场电路设计提供了有 用的指导 注意不能简单地得出压强增加 增加垂直场的结论 无论 导体壁还是垂直场力 都对环形 箍缩无效 16 2 线性稳定性方程 2 线性稳定性方程 线性稳定性分析首先计算自洽的 MHD 平衡态 然后使系统偏离平 衡位置的小扰动 研究小扰动的时空特征 即恢复 振荡还是进一步 远离平衡态 得知系统的线性稳定性 忽略外力作用 从理想 MHD 方程组出发 流体力学方程 d d 0 d d d d 0 和 MHD 电磁场方程 0 0 2 1 线性化 2 1 线性化 不考虑平衡流动 0 设各物理量均可以表示为平衡状态 和扰动量 的迭加 代入 动力学方程 得到零阶近似方程为 0 一阶近似方程为 17 0 0 扰动电场已经通过理想Ohm定律消去 令流体质点相对于平衡位置 的位移为 则在小扰动近似下 d d 选取 0 0 0 0 0 代入一阶扰动方程并对时间积分 各扰动物理量均可以用位移 表示 平衡态物理量下标0省略 1 得到关于扰动位移满足的二阶微分方程 称为力方程力方程 其中 相当于扰动位移引起的作用在单位体积未扰 动流体上的力 18 1 1 1 其中 显然在适当的边界条件下求解 可以研究平衡位形的稳定性 力算子 是 的线性函数 是常张量或者是一个 常数矩阵 如果 0 那么位移和力的方向相反 力的作用是 使得系统恢复到原始的平衡状态 此时 可以预期系统围绕平衡位置 振荡 因此说系统是稳定的 反之 如果 0 那么位移和力 的方向相同 力的作用是放大位移 使得系统进一步偏离原始平衡状 态 此时 可以预期位移时间增长 因此说系统是不稳定的 unstable 第三种可能是 0 位移与力是正交的 那么系统是自然稳定 的 neutrally stable 当等离子体与理想导体接触时 切向电场为零 即 0 等价于 0 其中 是外向法向矢量 条件 0和 0同时满足 当等离子体与真空接触时 在等离子体 真空边界上总压强必须 保持连续 2 2 其中 分别是等离子体内部 外部 的磁场 19 当 和 按 展开 边界条件为 2 根据 Maxwell 方程 可以得到有下列关系 0 2 2 能量原理 2 2 能量原理 根据能量守恒原理 扰动位移引起的系统总能量的变化为零 换言之 扰动动能 1 2 d 的增加势必引起扰动位能 的减少 const 上式两端对时间求微商 d d d 0 可以证明 力算子函数 是自伴的 即对任意两个满足边界条件的 矢量 而言 d d 则 d d 1 2 d 1 2 d 20 所以 1 2 d 系统稳定性的充分必要条件是 0 如果流体质点位移是不稳定的 扰动动能 将随时间无界增大 此时扰动位能 必须减小变成负的 以保证能量常数 相反地 如 果 0 必将有界 此时扰动动能不能无限制地 增长 等离子体是稳定的 因此 0是系统稳定性的充分条件 采用反证法 证明 0是系统稳定性的必要条件 考虑初始 位移满足 0 0 0 0 0 并且要求这样的位移使得 0 得到 0 0 0 0 0 定义 d d 0 对时间一次求导 d d 1 2 d 对时间再次求导 21 d d 1 2 2 d 1 2 2 d 因此有 d d 2 2 2 既然 永远是非负的且 是小于零的 那么 d d 2 0 这意味着 如果存在使得扰动位能 0的初始位移 则 就会一 直增大 也就是说初始位移会无限制增长 为保证稳定性 0必 须对所有的等离子体位移成立 这就证明了稳定性条件 0的必 要性 扰动位能 1 2 d 不便于计算 针对不同的边界条件和问题 需要改写为便利的形式 下面考察等离子体为理想导体壁围合的情形 等离子体位移 和扰动 磁场 满足边界条件 0 和 0 其中 是围绕等离子体的曲面 的法矢量 22 力算子表示为 1 扰动位能的原始表达式可以展开为三个积分 1 2 d 1 2 d 1 2 d 根据矢量微分公式 第一个积分的被积函数 第二个积分的被积函数 第三个积分的被积函数中 第一项 不用处理 第二项 把上述对被积函数的整理结果代回 并对散度项应用 Gauss 定理把体 积分变成面积分 得到 1 2 1 d 23 d 1 2 1 d 将理想导体边界条件代入 得到 1 2 1 d d 第一个积分的被积函数都是非负的 因此是致稳的 其中第一项表示 弯曲磁力线所需要的能量 第二项表示用非零平衡压强压缩等离子体 所需要的能量 第二个积分可能是失稳的 其中第一项显式地依赖与 平衡电流密度 可能驱动 扭曲 kink 型不稳定性 第二项显 式地依赖于平衡压强 可能驱动 气球 balloning 或 交换 interchange 型不稳定性 对于理想 MHD 等离子体来说 不稳 定性总是调整其特征函数使得其对扰动位能的稳定效应最小 第一个 积分 2 3 简正模分析 2 3 简正模分析 令 e 其中 是复函数 表示复共轭 因此位移是实函数 代入力方 程得到 24 偏离静平衡状态小位移的线性方程 用 乘以方程两端 1 如果 0 那么 0 运动是振荡 如果 0 那 么 0 因此 i 运动随时间增长 力方程可以写为齐次方 程形式 0 有非平庸解 0的充分必要条件是振荡频率 满足 det 0 是 的特征值 相应的位移是特征矢量 再注意到力算子 中包含有对空间位置的微分运算 对于空 间无限 或周期 系统 可以进一步 e 因此 e 使得 i 从而方程 det 0的解变为 称为所论系统的色散关系 dispersion relation 色散关系的根及其 所对应的特征矢量称为 特征振荡 characteristic oscillation 或 简正模 normal mode 25 对于有限非周期系统来说 方程 0将会是一个 微分方程 需要在适当的边界条件下求解 可以证明 力算子是自伴 的 self adjoint d d 因此可以到一系列重要的结论 令 和 是分别属于特征值 和 的特征向量 即 同时有 在全空间上积分 主要用到力算子的自伴性 0 d d 因此 d 0 当 时 由于 0 对于非平庸解 而言 必须有 即力算子 的特征值是实的 因此 在理想 MHD 中 简正模要么是 纯振荡要么是纯增长 衰减 超稳定模 overstable mode 是不可 能的 若 0 则 位移依照 演化 简正模是 纯振荡 若 0 则 位移依照 演化 简正模中 有一个是纯指数增长 26 当 和 时 则 d 0 即力算子 的特征向量是正交的 而且可以进一步归一化为 d 还可以证明 特征向量 是完备集 complete set 换言之 任 一 分片连续 函数 可以用特征函数的线性组合在 平均 意义上近似 即 其中 是复的展开系数 用 点乘上式两端 并积分 d d 得到 d 因此 任一位移的行为可以从已知特征矢量的行为获取 换言之 如 果求得特征矢量和特征值 就知道了系统的行为 如果特征矢量的时间变化为 e 那么 e 因此 如果所有的 量都是实的 那么系统在平衡位置附近振荡 是稳定的 然而 如果 中有一个是虚数 那么系统指数偏离其平 衡位置 一个不稳定的特征模使得整个系统不稳定 27 3 理想 MHD 稳定性 3 理想 MHD 稳定性 在受控热核反应中 磁流体力学的研究对象几乎全部是处于静 平衡的磁约束等离子体 在很多受控热核反应装置中 等离子体是环 形的 图 2 由于等离子体位形和磁场位形都比较复杂 起作用的 因素是 等离子体环的尺寸 截面形状 各种等离子体参量 等离子 体环内 外的磁场位形 导体壁等等 已知上述一部分因素的参量 如何选取其余一部分的参量才能获得一个稳定的 具有良好的性能的 磁约束环形等离子体 3 1 3 1 箍缩稳定性 箍缩稳定性 在理想 MHD 稳定性研究 对于小扰动 可以利用下面的能量原 理 系统的扰动动能与系统的扰动势能之和等于不随时间变化的常量 根据这个原理可知 任何扰动如果使扰动势能减少 扰动动能就会增 加 则这种扰动是不稳定的 否则 扰动是稳定的 根据能量原理 还可以计算出不稳定扰动的振幅的增长率 作为一个典型应用 可 以证明 箍缩是 MHD 稳定的 在 箍缩中 等离子体压强和磁压强满足 2 2 因此有 28 对于小位移扰动 箍缩关于 是对称的 exp i i 其中 是极向波数 是环向波数 各种不同 和 的模式扰动如图 可以看到 1对应于等离子体柱的轴向扭转 2对应于等离 子体柱截面的椭圆形变 3对应于等离子体柱截面的三角形变 0对应于等离子体柱轴发生弯曲 特别地 0 0对应于沿 柱面的一系列凹凸 做分解 其中 取 则平行扰动磁场表示为 运用能量积分 可以证明 0 由于 29 i i 1 代入能量积分计算时 由 Gauss 定理知道 对内模边界条件 所有的 散度项为零 提取各项并求解 得到 d d 0 所以 箍缩对所有 MHD 模扰动是稳定的 可惜的是 如此好稳定性的直线 箍缩不能完成环形 那样会引 来一堆与环向力平衡的问题 对于其它位形 最终的积分函数或正或 负 无法如此直接地得到稳定性判断 3 2 螺旋箍缩稳定性 3 2 螺旋箍缩稳定性 考虑角向对称轴向均匀等离子体圆柱处于平衡状态 如图 在圆 柱坐标系中 设在边界内部有均匀轴向磁场 const 0 0 在边界外部有均匀轴向磁场 const 和角向磁场 0 其中 除了在等离子体柱边缘 内有趋肤电流 外 使得 2 处处都有 0 压强 0 小位移 满足力方程 30 1 其中 平衡状态的自由边界稳定性分析 考虑位移模 mode exp i i 任意位移都可以表示为这样模的迭加 0 既然在能量积分中 的项是正的 不可压缩扰动 0 是最危险的 这里只考察最坏的模 等离子体内部的磁场扰动 为 i 扰动压强 满足 0 31 对力方程两端求散度 0 引入 运动方程为 既然 0 得到 0 即 d d d d 0 在轴心 0出非奇异的解为第一类修正 Bessel 函数 因此 因此得到 由于真空中的磁场 满足 0和 0 可以表示为 磁标量势 满足 0 0 则有 exp i i 32 其中 是第二类修正 Bessel 函数 在边界上 圆柱面两侧的压 力相等 即边界条件 1 1 2 2 1 2 由于 1 边界上的 为 i 由于 边界条件化简为 i 合并起来 得到色散关系为 既然 0 则前两项表示 和 的致稳效应 第三项是失稳项 如果传播矢量 正交于磁场 即 0 第二个致稳项为零 致使凹槽 flutelike 扰动是危险的 33 腊肠不稳定性 腊肠 sausage 模 腊肠 sausage 模 在 0条件下 0 1 1 稳定性条件为 1 既然2 对一切的 稳定性条件为 2 对于给定的等离子体参数 和 满足平衡条件 2 2 稳定性条件用极向 因子表示 如图 2 1 1 1 2 0 1 1 34 假设 0 考察轴向磁场比角向磁场强 时 等离子 体圆柱的 1稳定性 利用修正 Bessel 函数的渐近表示 1 2 1 2 2 1 得到 当 0时 达到极小 即当 时 取极小值 35 扭曲不稳定性 运用平衡方程 2 2 2 环向 因子表示 2 则 1 1 1 2 表明对于 1低 装置 只有 1 2模可以变为不稳定的 1不稳定模称为扭曲 kink 模不稳定 称为扭曲 kink 模不稳定 在长波极限 1和 1条件 对于 1模 色散 关系可以 用表示为 2 1 36 得到结论 如果满足 即使 1 等离子体也是稳定的 通常等离子体柱长度 是有限的 致使 不会小于2 因此 当 2 等离子体也是稳定的 这个条件称为 Kruskal Shafranov 条件Kruskal Shafranov 条件 按照安全因子 Kruskal Shafranov 条件可以表示为 1 通过 建立了穿过等离子体的驱动环向电流的上线 这也是 Tokamak 具有小极向 环向磁场的原因 另一个限制与等离子体极向 磁场的 坏曲率 有关 所谓气球模不稳定 3 3 交换不稳定性 3 3 交换不稳定性 如图 考虑 a 密度 流体位于密度 流体上方处于平衡 受到 重力的作用 界面受到扰动力 b 当密度 流体下沉 重力位能损 失 而密度 流体上升 重力位能增加 显然 位能变化 与 差 同号 如果 平衡态是稳定的 这一重流体支持轻 37 流体的常识一致 当 时发生不稳定 称为 Rayleigh Taylor 不稳定性 在非理想流体中 界面的表面张力可以提供致稳作用 可 以防止某个临界波长短的扰动引起的不稳定增长 在 MHD 中 等离子体为磁场支持 a 当边界面扰动方向与磁力 线垂直时 磁通管与拉长的流体元交换 磁力线没有受到弯曲而磁能 不变 流体质点位能损失 不稳定发生 b 当边界面扰动方向与磁 力线平行时 磁力线受到弯曲而磁能变化 类似流体界面的表面张力 一样 提供了稳定作用 不失一般性 设平衡状态 0 g 0 0 重力加速度方向与磁场方向相互垂直 磁场存在剪切 显然平衡压强 满足 d d 1 2