概率论与数理统计应用实验报告.doc

西安交通大学实验报告_课程：概率论与数理统计应用 实验名称：概率论在实验中的应用 实验日期：2015 年 12 月15 日 系别：电信 专业班级：电信少41姓名：刘星辰 学号：2120406102_一、实验目的：1. 了解 matlab 在实现数学问题时如何应用；2. 加强对 matlab 的操作能力；3. 对实际问题在概率论中的应用的理解有所加深；4. 将实际问题进行模拟，提高数学建模能力。二、实验内容：本次试验将解决下面 4 个问题：1. 二项分布的泊松分布与正态分布的逼近；2. 正态分布的数值计算；3. 通过计算机模拟已有分布律进行模拟实验；4. 进行蒲丰投针实验模拟。三、实验问题分析、解决与思考：1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近设 X B(n，p) ，其中np=21) 对n=101,104,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。画处逼近的图形2) 对n=101,104, 计算 ，1）用二项分布计算2）用泊松分布计算3）用正态分布计算比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。解：（1）x = -10:0.1:10;y1 = binopdf(x,10,2/10); %此处仅列出n=10时的二项分布语句y2 = poisspdf(x,2); %泊松分布语句plot(x,y1,r) %做出二项分布图像hold onplot(x,y2,b) %做出泊松分布图像title(泊松分布逼近二项分布图像)(图中红线为二项分布，蓝线为泊松分布) n=10，很明显地看出拟合效果不太好，红线与蓝线没有完全重合： n=100，放大之后可以看出还是有一部分没有很好地拟合（后为局部图）：n=1000，仅仅只有一部分的拟合程度没有很完美（后为局部图）： n=10000可以看出，当n 100时拟合程度较好。（2）i=10; %计算不同分布情况下的P 5 X 50while i = 100000P1 = binocdf(50,i,2/i) - binocdf(5,i,2/i) %二项分布下的计算P2 = poisscdf(50,2) - poisscdf(5,2)%泊松分布下的计算P3 = normcdf(50+0.5-2)/(2*(1-2/i)0.5) - normcdf(5-0.5-2)/(2*(1-2/i)0.5)%正态分布下的计算i = i*10;%计算不同分布情况下n=101,105下的概率endi=10; %计算不同分布情况下的P 20 X 90while i = 100000P1 = binocdf(90,i,2/i) - binocdf(20,i,2/i) %二项分布下的计算P2 = poisscdf(90,2) - poisscdf(20,2)%泊松分布下的计算P3 = normcdf(90+0.5-2)/(2*(1-2/i)0.5) - normcdf(20-0.5-2)/(2*(1-2/i)0.5)%正态分布下的计算i = i*10;%计算不同分布情况下n=101,105下的概率end 结果：（其中 P1 对应二项分布，P2 对应泊松分布，P3 对应正态分布）P 5 X 50n=10:P1 =0.0064P2 =0.0166P3 =0.0241n=100:P1 =0.0155P2 =0.0166P3 =0.0371n=1000:P1 =0.0165P2 =0.0166P3 =0.0384n=10000:P1 =0.0166P2 =0.0166P3 =0.0384P 20 X 90n=10:P1 =0P2 =6.1062e-15P3 =0n=100:P1 =8.8818e-16P2 =6.1062e-15P3 =0n=1000:P1 =5.1070e-15P2 =6.1062e-15P3 =0n=10000:P1 =5.9952e-15P2 =6.1062e-15P3 =0问题分析及其总结：对于比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣，由上面的计算结果进行比较得出：二项分布 X B(n, p)，当 n 很大，p 很小，而np = 大小适中时，二项分布可用参数为 = np的泊松分布来近似；当 n 充分大，且 p 既不接近于0也不接近于1 时，二项分布 X B(n, p)可用正态分布X N(np, np(1 p)来近似。2.正态分布的数值计算设；1）当时，计算，；2）当时,若，求；3）分别绘制，时的概率密度函数图形。解：（1）p1 = normcdf(2.9,1.5,0.5);%绘制均值为1.5，标准差为0.5的x2.9的正态曲线p2 = normcdf(1.8,1.5,0.5);%绘制均值为1.5，标准差为0.5的x1.8的正态曲线P1 = p1 - p2%计算 P1.8 X 2.9p3 = normcdf(-2.5,1.5,0.5); %绘制均值为1.5，标准差为0.5的x-2.5的正态曲线P2 = 1 - p3 %计算 P2.5 X结果：P1.8 X 2.9 = 0.2717, P2.5 X = 1.0000（2）x = norminv(0.95,1.5,0.5) %计算 PX x = 0.95 时的x值结果：当PX x = 0.95 时的 x 值为 2.3224（3）p1=normcdf(2.9,1.5,0.5);p2=normcdf(1.8,1.5,0.5);p3=normcdf(-2.5,1.5,0.5);p1=p1-p2p2=1-p3daan=norminv(0.95,1.5,0.5)n=-10:0.1:10;y1=normpdf(n,1,0.5);y2=normpdf(n,1,0.5);y3=normpdf(n,3,0.5); plot(n,y1,r,n,y2,g,n,y3,k);结果为：1. 2. 3. 问题分析及总结： 通过作图可知当正态函数的标准差保持不变时，当均值不断变大时图像不断平行向右移动。并且通过不断使用 matlab，可知使用已给的 matlab 函数进行正态分布概率计算十分方便，并且可以十分直观地得出我们想要的结论。正态分布的数值计算使用 matlab 较为简便。4.已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量的分布律为 0 1 2 3 4 5 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 试确定报纸的最佳购进量。（要求使用计算机模拟）解：问题解析：为求最佳进货量 n，须求出对应的利润 P。模拟有 m=100000 次实验，先通过 生成随机概率数组来求出不同情况下的需求量然后求出每一次实验的所得的利 润 P1，之后累加求出总的 P，然后除以实验总次数 m 求出平均的利润 P0。每次的利润w = 14 T 8 ( n T )（需求小于报纸购买量）和w = 14 T（需求大于报纸购买量）。最后通过在不同购买量 n 情况下的利润值 P0 的大小进行比较，最后得出在本次模拟试验中得到的最佳报纸购买量 n0。程序如下所示：T = 100000;% 设置试验次数为100000次Profit = 0;% 设置利润初始值为0x = rand(T,1);% 生成一维各分量值在0至1之间的长度为T的数组for i = 0:5% 开始循环计算不同购买量下的理论s = 0;% 这是用来汇总在同一次购买量下每次试验的利润for t = 1:T% 试验次数为100000次if x(t) 0.05% 根据所给表格进行不同需求量的计算N1 = 1;elseif x(t) 0.15N1 = 2;elseif x(t) 0.4N1 = 3;elseif x(t) N1%需求小于报纸购买量时利润的计算方法Profit = 14 * N1 - 8 * (i - N1);else%需求不小于报纸购买量时利润的计算方法Profit = 14 * i;endends = s + Profit;%各次试验利润进行累加endX = I%显示当前报纸的购买量s = s / T%在固定购买量的平均利润的计算计算结果如下：当购买量为 0 百份时，平均利润为 0 元；当购买量为 1 百份时，平均利润为14 元；当购买量为 2 百份时，平均利润为 26.9257 元；当购买量为 3 百份时，平均利润为 37.6359 元；当购买量为 4 百份时，平均利润为 42.7967 元；当购买量为 5 百份时，平均利润为 40.2967 元；故可知在本次计算机模拟试验中可知当购买量为 4 百份时，平均利润最大为42.7967 元。通过实际推断原理得可以在实际中购买 4 百份报纸从而来获得最大利润。问题分析及总结： 通过计算机模拟可以将现实生活中一些难以进行选择的事情进行模拟，之后得到自己想要得到的结果。通过 matlab 模拟可以较好地模拟现实（通过构造随机数组），之后统计所需量。5蒲丰投针实验取一张白纸，在上面画出多条间距为d的平行直线，取一长度为r（rd）的针, 随机投到纸上 n次，记针与直线相交的次数为m. 由此实验计算针与直线相交的概率。圆周率的近似值。解：1）clear a=1;l=0.6;counter=0;n=10000000;x=unifrnd(0,a/2,1,n);phi=unifrnd(0,pi,1,n);for i=1:nif x(i)l*sin(phi(i)/2 counter=counter+1;endendfrequency=counter/n; disp(针与直线相交的概率)gailv=counter/ndisp(圆周率的近似值)Pi=2*l/(a*frequency) endendfrequency=counter/n; Pi=2*l/(a*frequency) gailv=counter/n结果为：gailv =0.3820Pi