处处连续处处不可导函数.pdf

2 高等数学研 究 S T U DI E S I N C OI I E GE M A TH A TI CS VoL 9 No 1 J a n 2 0 06 衄 数学分析课程中的一个反例 处处连续处处不可导的函数 陈纪修 邱 维元 复旦大学 数学科学 学院 上 海 2 0 0 4 3 3 摘要 介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学 通过电子课件演示函数的图象 使学生理 解这一类函数的局部与整体的某种相似性质 并对 分形 概念有一个初步的了解 关键词 连续 I 可导 I We i e r s t r a s s函数 中田分类号 O1 7 2 1 G6 4 2 1 1 We i e r s t r a s s反例 在数学分析的历史发展过程中 数学家们一直猜想 连 续函数在其定义区间上 至多除去可列 个点外都是可导的 也就是说 连续函数的不可导点至多是可列集 直到 1 9世纪初 数学家们仍然 在致力于证明这一猜想 然而数学家们的这一努力一直没有得到成功 究其原因 是由于在当时 关 于函数的表示手段有限 如果仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑 这个猜想 是正确的 但是随着级数理论的发展 函数表示的手段扩展了 数学家可以通过函数项级数来表示 更广泛的函数类 We i e r s t r a s s 是一位研究级数理论的大师 他于 1 8 7 2 年利用函数项级数第一个构 造出了一个处处连续而处处不可导的函数 称为 We i e r s t r a s s 函数 一 口 s i n b x 0 口 1 1 O 为上述猜测做了一个否定的终结 K a r l We i e r s t r a s s 1 8 1 5 1 8 9 7 是 1 9 世纪德国数学家 他在数学的许多领域如分析学 代数学 解 析函数论 变分学 微分几何等众多学科都作出了重大贡献 其中不少成果是在他做中学教师时取得 的 1 8 5 6 年 柯尼斯堡大学授于他名誉博士学位 1 8 6 5 年他被聘为柏林大学教授 后来成为法 国巴黎科 学院院士 We i e r s t r a s s 是数学分析基础的主要奠基者之一 是把严格的数学论证引进分析学的一位大 师 We i e r s t r a s s 利用单调有界的有理数数列来定义无理数 从而在严格的逻辑基础上建立 了实数理 论 l 关于连续函数的分析定义 即e 一艿语言 也是他给出的 这些贡献使得数学分析的叙述精确化 论 证严格化 在数学分析课程中 除了第一个给出处处连续处处不可导函数的例子外 以 We i e r s t r a s s 名 字命名的还有 We i e x s t r a s s 第一逼近定理与 We i e r s t r a s s 第二逼近定理 函数项级数与含参变量反常积 分的 We i e x s t r a s s 判别法等重要定理 We i e r s t r a s s 还是一位著名的教育学家 他培养 了一大批数学家 如 H A S c h w a r z L L F u c h s M G 1 Y I i t t a g L e f f l e r F S c h o t t k y等等 We i e r s t r a s s 例子的证明较为复杂 不适合放到数学分析课程的教学中 在 1 9 3 0 年 荷兰数学家 Va n d e r Wa e r d e n给出了另外一个例子 Va n d e r Wa e r d e u的例子在思想方法上与 We i e r s t r a s s的 例子是一致 的 但它的证 明却很简单 而且初等 Va n d e r Wa e r d e n的例子使得在数学分析课程 中 介绍处处连续处处不可导的函数成为可能 2 V a n d e r Wa e r d e n反例及 其证 明 设 表示 与最邻近的整数之间的距离 例如当士 1 2 6 则 0 2 6 当士 3 6 7 收稿 日期 t 0 5 1 0 0 9 注 本文作者之一陈纪肇为 2 0 0 3 年首届国家 百名高校教学名师奖 获得者 维普资讯 第 9卷第 1 期 陈纪修 邱维元t 数学分析课程中的一个反例 3 则 z 一 0 3 3 显然 1 2 是周期为 1的连续 函数 且具有以下性质 当X k 1 2 或 七 1 2 k 1 时 l z 一 一 X Y v a n d e r w a e r d e n 给 出 的 例 子 是 z 妻 由 I I 及 薹 的 收 敛 性 根 据 w e ier stra ss 判 别 法 上 述 函 数 项 级 数 关 于 一o o 一致收敛 所 以 z 在 一o o 连续 现考虑 z 在任意一点 X的可导性 由于 z 的周期性 不妨设 0 X 1 并将 X表示成无 限小数 X 0 以 以 n 若 z是有限小数时 则在后面添上无穷多个 0 然后我们取 f 1 0 一 当n 一0 1 2 3 5 6 7 8 一 一1 0 一 当n 一 4 9 如 X一 0 3 0 9 5 4 6 则取 h 1 l o 一 h 2 l O h 3 一l O h 4 l O h 5 一l O 一 h 6一 l O 一 显然 h 一 o o o 只要证明极限l i m 羔 不存在 就说明 卫 在点z不可导 垒 二 一 翌 三 垒 翌 二翌 h l O h 垒 二翌 9 l O h 量 业 当 时 1 O h 1 0 X士 1 O 9 1 0 z 所以 兰 垒 二 一 翌 垒 翌 h 0 J 1 0 h 当 0 1 2 1 在 1 0 X的表示中a 的位置是第 一 位小数 l O X nl 0 2 n H an l 以 m 1 O z十 h 一 n l n 2 a 口 l n 士 1 由h 的取法 可知 1 o z h 与 l O X同时属于 k 1 2 或 十1 2 k 1 3 因此 1 O z h 一 1 O X l o h 于是我们得到 h 1 一 等式右端必定是整数 且其奇偶性与 一致 由此可知极限l i m 三 不存在 也就是 r lm 说 z 在任意一点 z是不可导的 这样 一个处处连续 但处处不可导 的函数反例通过 了函数项 级数这一工具而被构造出来 了 3 电子课件 为了让学生更好地理解 We i e r s t r a s s 函数与连续可微函数之间的本质区别 我们制作 了一个 电 子课件 见图 1 和图 2 从图示可以看 出 尽管连续可微函数的图像在整体上可以很复杂 但 由于它 在可微点存在切线 所以从局部来看 其图像与直线很接近 而 We i e r s t r a s s 函数的图像 在任意小 的局部和整体有同样的复杂性 显示了局部和整体有某种相似性 4 总结 We l e r s t r a s s 反例构造出来后 在数学界引起极大的震动 因为对于这类函数 传统的数学方法 已无能 为力 这就促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究 经典几何学研究的对象是规 则而光 滑的几何 图形 但是 自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形 如云彩 的边界 山峰的轮 维普资讯 维普资讯 第 9 卷第 1 期 陈纪修 邱维元t 数学分析课程中的一个反例 5 廓 奇形怪状的海岸线 蜿蜒曲折的河流 材料的无规则裂缝 等等 这些变化无穷的曲线 虽然处处 连续 但可能处处不可导 B B Ma n d e l b r o t 通过对这些不规则 图形 的研究 创建 了一 门新 的学科 分形几何 所谓 分形 就是指几何上的一种 形 它的局部与整体按某种方式具有相似性 形 的这种性质又称为 自相似性 而 We i e r s t r a s s 函数的图像就是一种典型的分形 它已成为 分形几 何 中最基本的例子之一 分形几何 自产生起 就得到了数学家们普遍 的关注 很快就发展为一 门具有广泛应用前景的新学科 5 注意点 1 Va n d e r Wa e r d e n的例子本质上与 We i e r s t r a s s的例子是一致的 前者用有界周期函数 代 替后者反例 中的正弦函数 并且取 n b一 1 0 这样 的选择使得证明变得容易 了 2 在 Va n d e r Wa e r d e n 反例的证明中 符号 h 的选取是关键 这种符号选取保证了当 一 0 1 2 m一1 时 1 0 与1 0 或者同时属于 忌 k 寺 或者同时属于 十告 k 十1 从 而 有 一 芸 一 1 3 在用电子课件演示 We i e r s t r a s s 函数的几何性状时 应强调 We i e r s t r a s s 函数的局部与整体性质 上的相似性 从而使学生对 分形 有一个初步的感性认识 参考 文献 1 黎茨 泛 函分析讲义 I M 北京 科 学出版社 1 9 6 3 z 陈纪修 於崇华 金 路 数学分析 第二版 下册 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 4 3 Ma n d e l b r o t B B Th e F r a c t a l Ge o me t r y o f N a t u r e M F r e e m a n S a n F r a n c i s c o 1 9 8 2 2 0 0 5国际多复变会议在 中科大 举行 据 中国科技大学报道 2 0 0 5年 6月 2 O日至 2 5日 2 0 0 5国际多复变学术会议在中国科技大学 举行 这次会议是由中科大和中科 院数学与系统科学院主办 北京师大 河南大学 上海交大 首 都 师大 同济大学 武汉大学和浙江大学合办 是继 2 0 0 2年 国际数学家大会卫星会议之后在该校举行 的又一次国际盛会 会议学术委员会名誉主席 美国哈佛大学教授丘成桐先生和萧荫堂先生 会 议 学术委员会 主席 美 国加洲大学圣地亚哥分校教授 S B a o u e n d i 先生 出席 了会议 并作 了精彩的学 术报告 丘成桐和萧荫堂都是享誉国际数学界的华人数学家 美国科学 院院士 丘先生是菲尔兹奖 得主 萧先生曾两次应邀在国际数学家大会上作一小时报告 是当今国际多复变学术领域的领袖 S B a o u e n d i 先生是多复变学术领域的权威 美国科学院院士 来 自美 俄 法 日 加 韩 捷等 国的 多复变领域 的精英人物和我 国两岸四地这一领域的数学英才参加了会议 代表着 国际多复变领域 最高学术水平的此次会议选在中国科大召开 表明国际多复变学界对以龚舁教授为代表 的中国科 大数学系在该领域中取得的学术成就的认可 以及数学界对该校学术地位的认同 会议期间适逢中 国科大数学系元老 著名数学家龚畀教授