高考数学一轮复习 2.4 指数函数课件 文 新人教A版.ppt

第四节指数函数 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 根式 xn a 正数 负数 两个 相反数 2 两个重要公式 n a 0 a a 0 n为奇数 n为偶数 a a a a 3 有理数指数幂的运算性质 ar as a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 4 分数指数幂 正分数指数幂 a 0 m n n n 1 负分数指数幂 a 0 m n n n 1 0的正分数指数幂是 0的负分数指数幂 0 无意义 5 指数函数的图象与性质 上方 0 1 r 0 减 增 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 2 必备结论教材提炼记一记同底数幂相除 指数相减 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 换元法 图象平移法 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 3 记忆口诀 指数函数记忆口诀多个图形像束花 0 1 这点把它扎 撇增捺减无例外 底互倒时y轴夹 y 1为判底线 交点纵标看小大 重视数形结合法 横轴上面图象察 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 都等于a n n 2 2a 2b 2ab 3 函数y 3 2x与y 2x 1都不是指数函数 4 若am0且a 1 则m n 5 函数y 2 x在r上为单调减函数 解析 1 错误 当n为偶数 a1时 mn 5 正确 y 2 x 根据指数函数的性质可知函数在r上为减函数 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p56例6改编 若函数f x ax a 0 且a 1 的图象经过点p 2 则f 1 解析 依题意可知 a2 解得a 所以f x 所以f 1 答案 2 必修1p60b组t2改编 若 3 则 解析 由 3 得x x 1 2 9 所以x x 1 7 所以x2 x 2 2 49 x2 x 2 47 因为 27 9 18 所以答案 3 必修1p60b组t1改编 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 解析 由y a2 1 x在 上为减函数 得0 a2 1 1 所以1 a2 2 即1 a 或 a 1 答案 1 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 陕西高考 下列函数中 满足 f x y f x f y 的单调递增函数是 a f x x3b f x 3xc f x d f x 解析 选b 根据函数满足 f x y f x f y 可以推出该函数为指数函数 又函数为单调递增函数 所以底数大于1 从而确定函数为f x 3x 2 2015 承德模拟 函数f x 的定义域为 a 3 0 b 3 1 c 3 3 0 d 3 3 1 解析 选a 由题意 自变量x应满足解得所以 3 x 0 3 2015 绵阳模拟 函数y ax与y a 0 且a 1 的图象关于 a x轴对称b y轴对称c 原点对称d 直线y x对称 解析 选b y a x 不妨设a 1 如图所示 关于y轴对称 考点1指数幂的化简与求值 典例1 1 化简 a 0 b 0 2 计算 解题提示 1 将根式化为分数指数幂 然后利用幂的运算性质进行计算 2 将负的分数指数幂化为正分数指数幂 然后利用幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 答案 ab 1 2 原式 规律方法 指数幂的运算规律 1 有括号的先算括号里的 无括号的先算指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂 也不能既有分母又含有负指数 形式力求统一 变式训练 化简下列各式 其中各字母均为正数 解析 1 原式 2 原式 加固训练 1 化简 x 0 y 0 得 a 2x2yb 2xyc 4x2yd 2x2y 解析 选d 2 x 2 y 2x2y 2 化简的值为 解析 由题意可知a 0 故答案 3 化简 解析 原式 答案 考点2指数函数的图象及应用 典例2 1 2015 惠州模拟 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 解题提示 1 分a 1及01时 y ax 为增函数 且在y轴上的截距为0 1 1 排除a b 当0 a 1时 y ax 为减函数 且在y轴上的截距为1 0 故选d 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 方法一 当00 且a 1 的图象必过点 1 0 所以选d 2 曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可得 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 答案 1 1 互动探究 若将本例 2 中 y 2x 1 改为 y 2x 1 且与直线y b有两个公共点 求b的取值范围 解析 曲线y 2x 1 与直线y b的图象如图所示 由图象可得 如果曲线y 2x 1 与直线y b有两个公共点 则b的取值范围是 0 1 规律方法 指数函数图象的画法及应用 1 画指数函数y ax a 0 a 1 的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 2 与指数函数有关的函数图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称 翻折变换得到其图象 3 一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 变式训练 1 2015 安庆模拟 已知函数f x x a x b 其中a b 若f x 的图象如图所示 则函数g x ax b的图象是 解析 选a 由已知并结合图象可知0 a 1 b 1 对于函数g x ax b 它一定是单调递减的 排除c d 且当x 0时g 0 a0 b 1 b 0 即图象与y轴交点在负半轴上 排除b 选a 2 方程2x 2 x解的个数是个 解析 方程的解可看作函数y 2x和y 2 x的图象交点的横坐标 分别作出这两个函数图象 如图 由图象得只有一个交点 因此该方程只有一个解 答案 1 加固训练 1 已知实数a b满足等式 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b 函数y1 与y2 的图象如图所示 由得 a b 0或0 b a或a b 0 故 可能成立 不可能成立 故选b 2 若函数y ax b 1 a 0且a 1 的图象经过第二 三 四象限 则a b的取值范围分别是 解析 因为函数y ax b 1 a 0且a 1 的图象经过第二 三 四象限 所以即答案 0 1 0 考点3指数函数的性质及应用知 考情指数函数的性质主要是其单调性 备受高考命题专家的青睐 高考常以选择题或填空题的形式出现 考查指数幂值大小比较 解简单指数不等式 判断指数型函数单调性以及求指数型函数的最值等问题 难度偏小 属中低档题 明 角度命题角度1 比较指数幂的大小 典例3 2015 天津模拟 设y1 40 9 y2 80 48 y3 则 a y3 y1 y2b y2 y1 y3c y1 y2 y3d y1 y3 y2 解题提示 利用指数幂的运算性质 分别将y1 y2 y3化为同底数的幂 再利用单调性比较大小 规范解答 选d y1 40 9 21 8 y2 80 48 21 44 y3 21 5 因为1 8 1 5 1 44 且y 2x在r上单调递增 所以y1 y3 y2 命题角度2 研究指数型函数的奇偶性 单调性等性质 典例4 2015 合肥模拟 已知f x ax a x a 0 且a 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 解题提示 1 根据函数奇偶性的定义判断 2 分a 1及0 a 1对函数f x 的单调性进行讨论 规范解答 1 函数f x 的定义域为r 关于原点对称 又因为f x a x ax f x 所以f x 为奇函数 2 当a 1时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 所以f x 为增函数 当00且a 1时 f x 在定义域内单调递增 悟 技法有关指数函数性质的问题类型及解题思路 1 比较指数幂大小问题 常利用指数函数的单调性及中间值 0或1 2 简单的指数不等式的求解问题 解决此类问题应利用指数函数的单调性 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 3 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 提醒 在研究指数型函数单调性时 当底数与 1 的大小关系不明确时 要分类讨论 通 一类1 2015 金华模拟 已知a 21 2 b c 2log52 则a b c的大小关系为 a cb 1 又c 2log52 log54b c 2 2015 哈尔滨模拟 若函数f x 则不等式的解集为 a 1 2 3 b 3 1 c d 1 3 解析 选b 函数f x 和函数g x 的图象如图所示 从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间 当x 0时 是区间 3 当x 0时 是区间 1 故不等式 f x 的解集为 3 1 3 2015 郑州模拟 设偶函数f x 满足f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 a x x4 b x x4 c x x6 d x x2 解析 选b f x 为偶函数 当x0时 有或解得x 4或x 0 4 2015 成都模拟 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 1 2 x 则不等式f x 0时 f x 1 2 x 0 又f x 是r上的奇函数 所以f x x 0 的解集关于原点对称 由1 2 x 得2 x1 则f x 的解集是 1 自我纠错5应用指数函数的性质求参数 典例 2015 苏州模拟 若函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值为4 最小值为m 且函数g x 1 4m 在 0 上是增函数 则a 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 对条件 g x 在 0 上是增函数 不会使用 求得结果后未进行检验得到两个答案 规避策略 1 对指数函数的底数a分类讨论指数函数的底数不确定时 单调性不明确 从而无法确定其最