高考数学一轮复习 第二章 第5课时 二次函数课件 理.ppt

第二章函数与基本初等函数 1 理解并掌握二次函数的定义 图像及性质 2 会求二次函数在闭区间上的最值 3 能用二次函数 一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题 请注意从近几年的高考试题来看 二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现 主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用 1 二次函数的解析式的三种形式 3 顶点式 y a x k 2 h 对称轴方程是 顶点为 2 二次函数的单调性 x k k h 3 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式之间的内在联系 1 f x ax2 bx c a 0 的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根 ax2 bx c 0 4 设f x ax2 bx c a 0 则二次函数在闭区间 m n 上的最大 最小值的分布情况 另外 当二次函数开口向上时 自变量的取值离开对称轴越远 则对应的函数值越大 反过来 当二次函数开口向下时 自变量的取值离开对称轴越远 则对应的函数值越小 2 二次函数y ax2 bx c x r 不可能是偶函数 3 二次函数y x2 mx 1在 1 上单调递增的充要条件是m 2 4 若二次函数f x 满足f 2 x f x 则该二次函数在x 1处取得最小值 答案 1 2 3 4 2 已知某二次函数的图像与函数y 2x2的图像的形状一样 开口方向相反 且其顶点为 1 3 则此函数的解析式为 a y 2 x 1 2 3b y 2 x 1 2 3c y 2 x 1 2 3d y 2 x 1 2 3答案d解析设所求函数的解析式为y a x h 2 k a 0 由题意可知a 2 h 1 k 3 故y 2 x 1 2 3 3 已知二次函数f x 图像的对称轴是x x0 它在区间 a b 上的值域为 f b f a 则 a x0 bb x0 ac x0 a b d x0 a b 答案d解析若x0 a b f x0 一定为最大值或最小值 4 已知二次函数y f x 满足f 0 f 2 若x1 x2是方程f x 0的两个实根 则x1 x2 答案2解析 f 0 f 2 函数f x 的图像关于x 1对称 x1 x2 2 1 2 5 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像如图所示 确定下列各式的正负 b 0 ac 0 a b c 0 答案 例1已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试求此二次函数的解析式 思路 会利用待定系数法求二次函数解析式 掌握二次函数解析式的三种形式 题型一二次函数的解析式 方法三 利用两根式 由已知 f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 a 0 舍 或a 4 f x 4x2 4x 7 答案 f x 4x2 4x 7 探究1根据已知条件确定二次函数解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 思考题1 例2求下列函数的值域 1 y x2 4x 2 x r 2 y x2 4x 2 x 5 0 3 y x2 4x 2 x 6 3 4 y x2 4x 2 x 0 2 思路 这些函数都是二次函数且解析式都相同 但是各自函数的定义域都是不同的 应该通过 配方 借助于函数的图像而求其值域 题型二二次函数的值域与最值 解析 1 配方 得y x 2 2 6 由于x r 故当x 2时 ymin 6 无最大值 所以值域是 6 图 2 配方 得y x 2 2 6 因为x 5 0 所以当x 2时 ymin 6 当x 5时 ymax 3 故函数的值域是 6 3 图 3 配方 得y x 2 2 6 因为x 6 3 所以当x 3时 ymin 5 当x 6时 ymax 10 故函数的值域是 5 10 图 4 配方 得y x 2 2 6 因为x 0 2 所以当x 0时 ymin 2 当x 2时 ymax 10 故函数的值域是 2 10 图 答案 1 6 2 6 3 3 5 10 4 2 10 讲评 上述四个题目相同但所给的区间不同 最后得到的值域也不同 主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的 因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子 探究2配方法 配方法是求 二次函数类 值域的基本方法 形如f x af2 x bf x c的函数的值域问题 均可使用配方法 求下列函数的值域 答案 1 0 2 0 2 思考题2 例3已知函数f x x2 2ax 1 a在0 x 1时有最大值2 求实数a的值 思路 因为x有限制条件 要求函数最值 需作出函数图像 作图像先看开口方向 再看对称轴位置 因为此函数的对称轴是x a位置不定 并且在不同位置产生的结果也不相同 所以要对对称轴的位置进行分类讨论 解析 当对称轴x a 0时 如图1所示 当x 0时 y有最大值ymax f 0 1 a 所以1 a 2 即a 1 且满足a 0 a 1 当对称轴0 a 1时 如图2所示 当x a时 y有最大值ymax f a a2 2a2 1 a a2 a 1 当对称轴a 1时 如图3所示 当x 1时 y有最大值 ymax f 1 2a a 2 a 2 且满足a 1 a 2 综上可知 a的值为 1或2 答案 1或2 探究3 1 求二次函数f x 在某区间 m n 上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间 m n 的位置关系 以便确定函数在该区间的单调性 本题中的对称轴为x a 与区间 0 1 的位置关系不确定 是造成分类讨论的原因 2 二次函数在区间上的最值问题 可分成三类 对称轴固定 区间固定 对称轴变动 区间固定 对称轴固定 区间变动 此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑 对于后面两类问题 通常应分对称轴在区间内 左 右三种情况讨论 已知f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 思路 f x 0恒成立 等价于f x 的最小值 0 即转化为求f x 在 2 2 上的最小值 思考题3 答案 7 a 2 例4已知二次函数f x ax2 bx 1 a b r x r 1 若函数f x 的最小值为f 1 0 求f x 的解析式 并写出单调区间 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求实数k的取值范围 题型三二次函数的综合应用 答案 1 f x x2 2x 1 单调递增区间为 1 单调递减区间为 1 2 1 探究4由不等式恒成立求参数取值范围 常用分离参数法 转化为求函数最值问题 其依据是a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 设二次函数f x ax2 bx a 0 满足条件 f x f 2 x 函数f x 的图像与直线y x相切 1 求f x 的解析式 思考题4 1 求二次函数的解析式常用待定系数法 如例1 2 二次函数求最值问题 首先要采用配方法 化为y a x m 2 n的形式 得顶点 m n 和对称轴方程x m 可分成三个类型 1 顶点固定 区间也固定 2 顶点含参数 即顶点变动 区间固定 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内 何时在区间之外 3 顶点固定 区间变动 这时要讨论区间中的参数 1 a 1 是 函数f x x2 2ax 1在区间 1 上为增函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案a解析本题为二次函数的单调性问题 取决于对称轴的位置 若函数f x x2 2ax 1在区间 1 上为增函数 则有对称轴x a 1 故 a 1 是 函数f x x2 2ax 1在区间 1 上为增函数 的充分不必要条件 2 已知m 2 点 m 1 y1 m y2 m 1 y3 都在二次函数y x2 2x的图像上 则 a y1 y2 y3b y3 y2 y1c y1 y3 y2d y2 y1 y3答案a 3 设ab