重庆市重庆一中高三数学5月月考试题 理新人教A版（含解析）.doc

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考 数 学 试 题（理科）【试卷综析】本卷为高三月考试卷，本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。数学试题共4页，共21个小题。满分150分。考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时，必须使用2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合，则（ ） a. b. c. d. 【知识点】集合的概念与运算.【答案解析】c解析：解： 【思路点拨】是函数的定义域，是函数的值域.2.设复数满足是虚数单位），则（ ）a. 1 b.2 c.3 d. 4【知识点】复数的运算；复数的模的计算.【答案解析】b解析：解：设则可知正确选项为b.【思路点拨】可用待定系数法设出复数z，然后求出a与b的值，最后求出复数的模长.3.命题“若则”的否定是（ ）a. b. c. d.【知识点】命题的否定命题.【答案解析】c解析：解：命题的否定指对命题结论的否定，故时，不一定成立即：，所以选c【思路点拨】命题的否定命题只将原命题的结论否定，而否命题是将原命题的题设和结论都否定，此题求的是命题的否定命题.4.双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右准线的距离为（ ）a. 1 b.2 c.3 d. 1或3【知识点】双曲线的定义；双曲线的第二定义；双曲线的离心率；双曲线的性质.【答案解析】d解析：解：设p到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为 ，右焦点为 ，则 ，再根据第二定义 .【思路点拨】设p到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为 ，右焦点为 ，则 所以d有两个值.5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为()a. b. c. d. （第5题图）while endwhile （第6题图）【知识点】三视图；勾股定理；锥体的体积公式.【答案解析】b解析：解：根据题意可求圆锥的高为2，底面圆的半径为2，截面弦所对的圆心角为，所以剩余几何的体积为倍圆锥的体积+三棱锥的体积，三棱锥的体积为余下几何体的体积为=.【思路点拨】依据三视图，对各线段的长度正确求值，注意三视图中数据与原图的对应关系，代入体积公式可求.6.根据上面的程序框图，若输出的结果，则图中横线上应填（ ）a. 48 b.50 c. 52 d.54【知识点】程序框图；等差数列求和.【答案解析】b解析：解：根据程序框图可知t为首项为2公差为2的等差数列的前n项和，依据数值能计算出数列的最后一项为48，再根据题意可知应填50.【思路点拨】依据程序框图可知此程序为等差数列的求和数列，所以根据等差数列的求和公式可求出数值.7.对于集合，若满足：且，则称为集合的“孤立元素”，则集合的无“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（ ）a. 28 b.36 c.49 d. 175【知识点】元素与集合关系的判断【答案解析】a解析：解：我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案，符合条件的集合有7个6个5个1个，所以7+6+5+4+3+2+1=28【思路点拨】本题在新定义的基础上考查了集合的成立的条件，利用列举法可得到所有子集个数.8.已知圆的半径为1，四边形为其内接正方形，为圆的一条直径，为正方形边界上一动点，则的最小值为（ ）a. b. c. d.【知识点】【答案解析】b解析：解：由已知可画出图形，如下图所示：设m(x,y),e(-1,0),f(1,0),所以=（-1-x,-y）(1-x,-y)= ,即当最小时，也就是正方形边界上的点到原点的距离的最小值的算术平方根; ,即=，故选b.【思路点拨】向量的数量积公式；函数的最小值.9.在中，角的对边分别为，若则（ ）a. b. c. d.【知识点】三角形的正、余弦定理；内角和为定理；两角和的正弦定理；切弦互化.【答案解析】a解析：解：将已知变形为，由余弦定理又可变形为，由正弦定理得,等式右边,又，所以=， ，故选a.【思路点拨】利用所学过的定理实现边向角的转化.10.设则的最小值为（ ）a. b. 3 d. 【知识点】数形结合思想；对称问题；几何法求最值.【答案解析】d解析：解:可将代入=可转化为数轴上的点a（a,0）到b(0,1)与c(1，2)的距离之和和最小的问题，由下图所示：最小值为(0,-1)到(1,2)的距离，计算得最小值为.【思路点拨】与求最值有关的问题一般转化成几何问题或三角问题，利用几何性质可顺利求解，也有利用三角的有界性求解，不同问题不同的应用是关键.二填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量= ；【知识点】分层抽样的概念【答案解析】54解析：解：由分层抽样的概念可知所抽样本中甲、乙、丙三种商品的数量之比也为2:3:4,故可设乙、丙两商品分别有3k、4k件，由题意得12：3k：4k=2:3:4，所以k=6，故乙、丙两商品分别有18、24件，故n=12+18+24=54【思路点拨】分层抽样中样本中不同类别个体数量之比与总体中它们的比例相同.12.已知是定义在上的奇函数，对恒有，且当时，则 ；【知识点】奇函数的定义；函数的周期性；求函数的解析式.【答案解析】解析：解：因为是奇函数，所以，令x=1有令，=又【思路点拨】本题先根据特殊值求出，然后再利用奇函数的性质求出的值.13.等差数列的前项和为，若成公比为的等比数列，则= ；【知识点】等差数列前n和的概念，等比中项公式.【答案解析】解析：解：由等差数列和的概念可知成公比为的等比数列即成公比为的等比数列，又即成公比为的等比数列，所以 ，且，整理得：即，设=x,则，解得所以.【思路点拨】先利用等比中项公式得到，再利用；两式联立解出，最后得到.特别提醒：1416题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分14.已知的中线交于且四点共圆，则 ；【知识点】三角形的中位线；勾股定理；射影定理；特殊值法；弦长公式.【答案解析】1解析：解：可用特殊值法设bc，ac，ec，dc，设kc与de交于m点，由弦心距可求cm=，mk=，.【思路点拨】适合用特殊值的问题，在选择、填空题中要用特殊值法，是一种省时省力的数学方法.15.在直角坐标系中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线为参数）与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 ；【知识点】【答案解析】 解析：解：曲线为参数）转化为普通方程为：；曲线转化为普通方程为：,有两个公共点,画图形如上图可得：.【思路点拨】数形结合的思想方法；16.若关于的不等式在内恒成立,则实数的取值范围是 【知识点】不等式；函数的图像；组合函数的性质.【答案解析】解析：解：为正数，所以不等式转化为，设，两个函数在上都为减函数，在上都为增函数，依据组合函数的性质可得的最小值为4，在上恒成立，应该小于等于最小值4.【思路点拨】本题首先根据取值范围分离出常数a,然后依据组合函数的性质求出的取值范围，最后依据恒成立问题最到a的范围.三解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.（13分）已知的单増区间为（1）求的值；（2）在中，若求角的取值范围【知识点】两角和的余弦公式；降次公式；三角函数的最值、周期；三角不等式.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）=，由已知可得，即又当时，取最大值，即解得，由于故 （2）由得而由正弦函数图象得，【思路点拨】（1）先利用两角和的余弦公式、降次公式把函数化简，然后求出t、的值，再利用最值的情况解得；（2）由得得到再解出a即可.18.（13分）如图，由m到n的电路中有4个元件，分别标为，已知每个元件正常工作的概率均为，且各元件相互独立（1）求电流能在m与n之间通过的概率；（2）记随机变量表示这四个元件中 正常工作的元件个数，求的分布列及数学期望【知识点】互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；分布列；数学期望.【答案解析】(1) （2）.解析：解：(1) 记事件为“元件正常工作”，事件表示“电流能在m与n之间通过”，则， 由于相互独立，所以， 法一：；法二：从反面考虑：； (2)由题，易得的分布列如右，期望.【思路点拨】记事件为“元件正常工作，相互独立每一个事件的概率等于它所有基本事件概率的和，根据二项分布先求随机变量相应结果的概率，再利用数学期望公式求期望.19.（13分）如图，多面体中，四边形为矩形，且分别为中点 （1）求异面直线所成的角； （2）若二面角大小为，求的长 【知识点】法一（几何法）:线面垂直的性质定理；三垂线定理；二面角的平面角的作法.法二: （向量法）: 向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角.【答案解析】（1）(2) =解析：解：法一（几何法）:（1）连,则由已知,为正方形,连则又是在面上的射影,由三垂线定理得,.所以直线与所成的角为 (2) ,过作于,连,则为所求二面角的平面角.则在中易得设，在中，法二: （向量法）(1) 以为原点，分别以为轴建系，则，设，则，故与成角；(2) 设平面的一个法向量为,由,又显然平面的一个法向量为,由题有：【思路点拨】法一（几何法）: （1）先利用线面垂直的性质定理得到；再利用三垂线定理得；然后得出结论. （2）作出二面角，然后在中得出结论.法二: （向量法）（1）建立空间直角坐标系，分别求出sm，an的方向向量，进而根据向量垂直的充要条件，得到结论；（2）分别求出平面asc的法向量和平面sdc的一个法向量，代入向量夹角公式可和答案20.（12分）在数列中，为其前项和，向量，且其中且 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列满足对任意，都有，求数列的前项和【知识点】共线向量；前n项和与通项公式的关系；特殊数列的求和方法.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）由又由，两式相减得：所以数列是以首项为，公比为的等比数列，（2）法一：当时，在中，令则因为， 所以，将上式两边同乘公比得， 减去得，又所以所以的前项和。法二：计算可得故猜想，于是，下用第二数学归纳法证明： 当时，命题成立； 设时，则时，因为，即，由错位相减法可得：，代入上式得，综上有：。【思路点拨】利用向量共线的条件得到的关系，再利用的关系式求出.(2)根据式子特点，因为， 所以，将上式两边同乘公比得， 减去得，又所以所以用公式可求出;也可用数学归纳法来证明，利用错位相减可证，可求.21.（12分）已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若，求证：【知识点】利用导数求函数的单调区间、极值；利用函数的单调性证明不等式.【答案解析】（1）在，在处取得极小值，极小值为，无极大值；（2）略解析：解：（1）由于，令，列表：负0正单减极小值单增于是在，在处取得极小值，极小值为，无极大值（2）令，不妨设，则，而在上是增函数，所以在是增函数，所以即；（又或，本题（2）问还可以用函数凹凸性的性质：因，故为下凸函数，而且，故由下凸函数得性质知，直接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌情处理）。【思路点拨】（1）先求导函数，令求出极值点；列表找出单调区间和极值；（2）先令，在求导，然后利用单调性证明即可.22.（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程；（3）设（2）中的两切点分别为，求点到直线的距离的最大值和最小值【知识点】椭圆的概念；圆锥曲线的轨迹方程；点到直线的距离.【答案解析】解析：解：（1）代入m点与焦点可得：（2）当两切线的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，易得此时点（四个）；当两切线的斜率均存在且不为0时，设，设则，联立，因为与椭圆相切，故，于是得到，同理，