（试题 试卷 真题）第31课时 矩形、菱形、正方形

山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习练习 第31课时 矩形、菱形、正方形图1知识回顾：知识点一：矩形的特有性质矩形的四个角都是 ，对角线 。 如图1，四边形ABCD是矩形， 。 例1：(2009年牡丹江市)矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AEBD于E，若OEED=13,AE=AA,则BD=例1-a解：情形一，如图例1-aOEED=13，OEOD=12，四边形ABCD为矩形，故 OB=OD，E为BD中点，AB=AO=BO，ABO为等边三角形，AE=AA，AO=2，BD=2BO=2AO=4.例1-b情形二，点E在线段OD之间，如图例1-bOEED=13,可设OE=a，则OD=OA=4a.在RtAEO中由勾股定理得AO2=OE2+AE2，(4 a)2= a2+3,a=EAA，BD=2BO=2AO=EAA.故BD=4或BD=EAA.同步测试1：CDABE图21（2009年凉山州）如图2，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）ABCDODCAB图32（2009年长沙）如图3，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A2B4CD知识点二：矩形的判定 有一个角是 的 是矩形； 图4 如图4， ， ，四边形ABCD是矩形；有 个角是直角的四边形是矩形； 如图4， ，四边形ABCD是矩形；对角线 的 是矩形； 如图4， ， ，四边形ABCD是矩形。例2：(2008湖北咸宁)如图，在ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点FABCEFMNO例2（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论解（1）证明： CE平分， ，又MNBC， 同理， （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形 ，点O是AC的中点 四边形AECF是平行四边形 又， ，即 四边形AECF是矩形 同步测试2：12BCDAO图51（2009年漳州）如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）AB C D图62(2009年上海市)在四边形中，对角线与互相平分，交点为在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 知识点三：菱形的特有性质菱形的四条边 ，对角线 并且 。 如图6，四边形ABCD是菱形， 。 例3：（2009肇庆）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ODCBA例3（1）求证：ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号） 解：（1）证明：AC是菱形ABCD的对角线，AC平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD与BCD是菱形的一组对角，BAD=BCD=60 AB、AD是菱形的两条边， ABD是正三角形（2）解：O为菱形对角线的交点，在中， ，答同步测试3：ABCDE图71（2009年衡阳市） 如图7，菱形ABCD的周长为20cm，DEAB，垂足为E，则下列结论中正确的个数为（ ）DE=3cm；EB=1cm；A3个 B2个 C1个D0个xyOCBA图82（2009年长春）菱形在平面直角坐标系中的位置如图8所示，则点的坐标为（ ）ABCD知识点四：菱形的判定 有一组邻边 的 是菱形； 图9 如图9， ， ，四边形ABCD是菱形； 的四边形是菱形； 如图9， ，四边形ABCD是菱形；对角线 的 是菱形； 如图9， ， ，四边形ABCD是菱形。例4例4：（2009年兰州）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论解： PQ为ABC的中位线， PQ AC 同理 MNAC MNPQ， 四边形PQMN为平行四边形在AEC和DEB中，AEDE，ECEB，AED60CEB，即 AECDEB AECDEB ACBD PQACBDPN， PQMN为菱形同步测试4：1.（2008天津）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是（ ）A矩形B菱形C正方形D梯形图102（2009年广西梧州）如图10，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于E，连结AE、CD（1）求证：ADCE；（2）填空：四边形ADCE的形状是U U知识点五：正方形的性质有 并且有 的 叫做正方形。例5DCBAEFG例5：(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，交AG于F求证：证明：是正方形，又，在与中，同步测试5：1（2009年湖北荆州）如图11，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cmB4cmC5cmD6cmNMFEDCBA图11 图122（2009年孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上小明认为：若MN = EF，则MNEF；小亮认为: 若MNEF，则MN = EF你认为 ()A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对知识点六：正方形的判定 的矩形是正方形； 的菱形是正方形。例6：(2009年湖州)如图：已知在中，为边的中点，过点作，垂足分别为.例6DCBEAF求证：；（2）若，求证：四边形是正方形. 解：（1）， ，是的中点，.（2），四边形为矩形. ，四边形为正方形ABCDDCBAO图13O同步测试6：1.（2009年莆田）如图13，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形知识点七：平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系例7：请填写下列表格图形平行四边形矩形菱形正方形对称中心对角线交点定义性质边角对角线判定边既是矩形又是菱形角对角线同步测试7：1（2009年湘西自治州）在下列命题中，是真命题的是（）A两条对角线相等的四边形是矩形 B两条对角线互相垂直的四边形是菱形C两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2（2009眉山）下列命题中正确的是()A矩形的对角线相互垂直B菱形的对角线相等C平行四边形是轴对称图形D等腰梯形的对角线相等随堂检测：1（2009 年佛山市）正方形有UU条对称轴2（2009年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_3（2009临沂）如图14，在菱形ABCD中，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则_度4（2009年山东青岛市）如图15，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 5（2009贺州）如图16，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2DCBAEP图14ADCB图15EBCEADF图166（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片、如图17放置，求证：四边形为菱形CDEMABFN图177（2009年江苏省）如图18，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形ADCFEB图18（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形8（2009年黄石市）如图19，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？图19AFNDCBMEO第31课时 矩形、菱形、正方形参考答案同步测试1：1.C；2. B同步测试2：1C；2AC=BD，的长为同步测试3：1A；2C同步测试4：1. B； 2 （1）证明：MN是AC的垂直平分线OAOC AODEOC=90 CEAB DAOECO ADOCEO ADCE （2）四边形ADCE是菱形同步测试5：1A;2C同步测试6：1.或或等同步测试7：1C；2D随堂检测：14；214或16或26；372；4；5；6证明: 四边形ABCD、BFDE是矩形BMDN,DMBN 四边形BNDM是平行四边形 又AB=BF=ED,A=E=90AMB=EMDABMEDM BM=DM 平行四边形BNDM是菱形7（1）解： 理由如下：，四边形和四边形都是平行四边形.又四边形是平