二次函数的图象和质.doc

二次函数的图象和性质一、一周知识概述1、二次函数y=ax2c的图象与性质(1)抛物线y=ax2c的形状由a决定，位置由c决定(2)二次函数y=ax2c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴当a0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大当a0时，向上平行移动，当c0时，向下平行移动2、二次函数y=a(xh)2的图象与性质抛物线y=a(xh)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)y=a(xh)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(xh)2的图象，由实践可知，当h0时，向右平移，当h0时，向左平移3、二次函数y=a(xh)2k的图象与性质一般地，抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的形状相同，只是位置不同抛物线y=a(xh)2k有如下特点：a0时，开口向上；a0时，开口向下；对称轴是平行于y轴的直线x=h；顶点坐标是(h，k)二次函数y=a(xh)2k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到4、二次函数y=ax2bxc(a0)的图象和性质即可化为y=a(xh)2k的形式，因此y=ax2bxc与y=a(xh)2k的图象具有一致性，即y=ax2bxc的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线当a0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大当a0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小由于y=ax2bxc可化为的形式，所以抛物线y=ax2bxc可由抛物线y=ax2平移得到：第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位所以抛物线y=ax2bxc与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同5、二次函数y=ax2bxc(a0)的图象的画法（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2bxc的图象6、抛物线y=ax2bxc(a0)与系数a、b、c的关系a、b、c的代数式作用字母的符号图象的特征a1决定抛物线的开口方向；2决定增减性a0开口向上a0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是ab0对称轴在y轴左侧ab0对称轴在y轴右侧二、重难点知识讲解1、二次函数的三种形式：（1）一般式：y=ax2bxc(a、b、c是常数，a0)；（2）顶点式：y=a(xh)2k，（h，k）为函数图象的顶点；（3）交点式：y=a(xx1)(xx2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.2、图象的变换二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2bxc都可转化为y=a（xh）2k，便可以由y=ax2适当平移得到y=ax2h0向右平移个单位y=a(xh)2k0向上平移个单位长度y=a(xh)2kh0向左平移个单位k0向下平移个单位长度3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式三、典型例题讲解例1、已知抛物线，求：(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)作出草图；(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？分析：解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观解：(1)，抛物线开口向上抛物线的对称轴是x=6，顶点坐标为(6，8)(2)列表，描点作出图象略或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，再向下平移8个单位得到草图如图所示(3)当x=6时，y有最小值，最小值是8反思：画二次函数y=ax2bxc的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来例2、将抛物线y2x2如何平移可得到抛物线y2(x4)21（）A向左平移4个单位，再向上平移1个单位B向左平移4个单位，再向下平移1个单位C向右平移4个单位，再向上平移1个单位D向右平移4个单位，再向下平移1个单位分析：根据抛物线yax2和ya（xh）2k（a0）的平移关系，可以得出结论解：h40，顶点向右平移4个单位k10，顶点向下平移1个单位抛物线y2（x4）21是由抛物线y2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的答案：D例3、一个二次函数，具有下列性质：它的图象不经过第三象限；图象经过点(1，1)；当x1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：_分析：此题中的抛物线表达式符合y=a(x1)2k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解由知，抛物线开口方向向上，a0，取a=1，由知可令此抛物线的对称轴为x=1，因此可设y=(x1)2k，将点(1，1)代入，得k=1y=(x1)21答案：y=2(x1)21，等反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答例4、二次函数y=ax2bxc与一次函数y=axc在同一坐标系中的图象大致是（）分析：此类题目可从选择答案入手，根据图象确定其中字母的符号，看结果是否一致，将不一致的排除掉解：A中从抛物线看a0，c0，从直线看a0，c0，故A错；同理B中，c0与c0矛盾，B错；C中a0，c0，一次函数a0，c0相一致，故C正确；D中a0，与a0矛盾，故D错误选C.例5、求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过A(1，3)、B(1，3)、C(2，6)；(2)图象经过A(1，0)、B(3，0)，函数有最小值8；(3)图象顶点坐标是(1，9)，与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.(1)解：设解析式为y=ax2bxc，把A(1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得 解得 解析式为y=x22.(2)解法1：由A(1，0)、B(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，8).设解析式为y=a(xh)2k，即y=a(x1)28.把x=1，y=0代入上式得0=a(2)28，a=2.即解析式为y=2(x1)28，即y=2x24x6.解法2:设解析式为y=a(x1)(x3)，确定顶点为(1，8)，把x=1，y=8代入上式得8=a(11)(13).解得a=2，解析式为y=2x24x6.解法3：图象过A(1，0)，B(3，0)两点，可设解析式为:y=a(x1)(x3)=ax22ax3a.函数有最小值8.=8.又a0，a=2.解析式为y=2(x1)(x3)=2x24x6.(3)解:由顶点坐标(1，9)可知抛物线对称轴方程是x=1，又图象与x轴两交点的距离为6，即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(4，0)，B(2，0)，设出交点式y=a(xx1)(xx2)，将A(4，0)，B(