（试题 试卷 真题）专题50 四边形旋转【教师版】

专题50 四边形旋转【母题来源】2013年山东潍坊第22题（11分）【母题原题】如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至,旋转角为.（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图2，G为BC的中点，且00900，求证：；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.，GCDDCE（SAS）。GD=ED。（3）能。理由如下：四边形ABCD为正方形，CB=CD。CD=CD，BCD与DCD为腰相等的两等腰三角形。当BCD=DCD时，BCDDCD。当BCD与DCD为钝角三角形时， ；当BCD与DCD为锐角三角形时，。旋转角的值为1350或3150时，BCD与DCD全等。1.【2013年黑龙江龙东地区8分】正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BFMN于点F（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明【答案】解：（1）证明：如图，过点B作BGOE于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE。在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90。又AOE+BOE=90，AOE=OBG。在AOE和OBG中，AOE=OBG，AEO=OGB=90，OA=OB，AOEOBG（AAS）。OG=AE，OE=BG。AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF，AFOE=OEBF。AF+BF=2OE。（2）图2结论：AFBF=2OE；图3结论：AFBF=2OE。对图2证明：过点B作BGOE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE。在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90。又AOE+BOE=90，AOE=OBG。在AOE和OBG中，AOE=OBG，AEO=OGB=90，OA=OB，AOEOBG（AAS）。OG=AE，OE=BG。AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，AFOE=OE+BF。AFBF=2OE。若选图3，其证明方法同上。【考点】旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。2.【2013年湖南湘潭8分】在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长【答案】解：（1）AD=CF。理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF。在AOD和COF中，AO=CO，AOD=COF，OD=OF，AODCOF（SAS）。AD=CF。（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DFOE，DG=OG=OE，正方形ODEF的边长为，OE=2。DG=OG=OE=2=1。AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，CF=AD=。3.【2013年辽宁营口14分】如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值【答案】解：（1）BF=AD，BFAD。BF=AD，BFAD仍然成立。证明如下：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC。四边形CDEF是正方形，CD=CF，FCD=90。ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD。在BCF和ACD中，BC=AC，BCF=ACD，CF=CD，BCFACD（SAS）。BF=AD，CBF=CAD。又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90。AOH=90。BFAD。（2）连接DF，四边形CDEF是矩形，FCD=90。又ACB=90，ACB=FCD。ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD。AC=4，BC=3，CD=，CF=1，B。BCFACD。CBF=CAD。又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90。AOH=90。BFAD。BOD=AOB=90。BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2。BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2。在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB2=AC2+BC2=32+42=25。在RtFCD中，FCD=90，CD=，CF=1，。4.【2013年河北省14分】一透明的敞口正方体容器ABCD -ABCD 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （CBE = ，如图1所示）探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图2所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ高AB） （3）求的度数.(注：sin49cos41，tan37)拓展 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱CC或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围.延伸 在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 = 60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.【考点】四边形综合题，解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】探究：（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BD的长：。（2）液体正好是一个以BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；。（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解。拓展：分容器向左旋转和容器向右旋转两种情况讨论。延伸：当=60时，如图6所示，设FNEB，GBEB，过点G作GHBB于点H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以RtNFM和直角梯形MBBG为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断。5.【2012年湖南怀化10分】如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽,长将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交于点O（1）求的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由图1 图2【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：BAM=15， 四边形AMNH是矩形，M=90。AKM=90BAM=75。BKO=AKM=75。四边形ABCD是正方形，ABD=45。DOM=BKO+ABD=75+45=120。（2）连接AN，交BD于I，连接DN，NH=，AH=