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高斯函数 x 在高中数学竞赛中的应用 200234 上海师范大学2007级教育硕士 时光朋 高斯函数 x 在数论和其他数学分支中有 着非常广泛的应用 因此经常出现在高中数学 竞赛试题中 在竞赛中经常考查关于 x 的方 程 不等式 整除问题 格点问题 组合数问题等 等 求解与高斯函数 x 有关的竞赛题虽然不会 涉及到很多其他基础知识 但题目比较灵活 而 且有较强的技巧性 解决有关高斯函数的问题 需要用到多种数学思想方法 其中较为常见的 有分类讨论 例如对区间进行划分 命题转换 数形结合 凑整 估值法等等 因此掌握高斯函 数 x 的定义 性质 应用及有关技巧 对我们广 大参赛同学来说是大有裨益的 一 高斯函数的定义 设x R 用 x 表示不超过x的最大整数 则y x 称为取整函数 也叫高斯函数 这一 函数最早由高斯引入 故得名 因任一实数都 能写成整数部分与非负纯小数之和 即x x a 0 a 1 故 x x x 1 这里 x 为x的整数部分 而 x x x 为x的小数 部分 高斯函数是非常重要的数学概念 它的定 义域是连续的 值域却是离散的 高斯函数关联 着连续和离散两个方面 因而有其独特的性质 和广泛的应用 二 高斯函数的性质 1 对任意x R 均有x 1 x x x 1 2 y x 的定义域是R 值域是Z y x 的定义域为R 值域为 0 1 3 函数y x 是一个分段表达的不减的 无界函数 即当x1 x2时 有 x1 x2 其图像如图1 y x 是以1为周期的周 期函数 如图2 图1 图2 2 问关于等比数列求和 再探究一个充要条件 第 3 问 可以通过此题考察学生的思维能力 与理性精神 但关键是此题第 1 3 问的设置 得不好 第 1 问设计不科学 让学生思维受阻 第 3 问难度过大 造成差生与中等生甚至一些 较好的学生沦落为一个层次 普遍得零分 没有 达到预期的目的 此题只需将第 1 问的求通项 公式改为写出此数列的前几项 并猜想它的通 项公式 就变成是一个比较好的题目了 2 考察逻辑思维 演绎推理论证的能力应 把握一个度 不可否认 数学是逻辑化最突出的 学科 推理能力的水平是学生数学水平的标志 之一 但试题连续在第18题 1 20 2 21 3 三个大题都出现证明题 实在是有点太过头了 更何况考证明题的弱点是给有的考生以投机取 巧的机会 省略中间过程 东拉西扯 最后还似 乎得到结果 给教师评卷也带来一些困难 笔者 评阅第20题就发现考生的证明五花八门 让评 阅老师如同雾里看花 看得头晕眼花 苦不堪 言 时间紧 任务重 评判失误就在所难免 3 以平面几何模型为背景的应用题第17 题这本来是一个很好的问题 因为几何学的发 展就是以测量土地等为基础的 但是命题者对 学生的基本情况缺乏深刻的把握 问题出在 其 一 很多学生由于初中平面几何知识不过关 作 不出辅助线 导致无从下手 其二 此题只需初 中水平的学生就可以解决 高考后我找了居住 在自己小区的三个初中毕业生作此题 有两个 学生就用巧作一根垂直于CD的直线构成直角 三角形 用勾股定理建立方程就解决了 4 试题的编排顺序应作一些调整 建议第7 题放在第9题之后 第17题放在第18题之后 如 果仅就试卷的知识特点 逻辑结构来看按试卷本 身的设置是有道理的 但高考的主体是考生 如 果一切从实际出发 以考生为本 考虑到考生的 心理承受能力和实际水平作适当调整是应当的 33上海中学数学 2008年第11期 1994 2011 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 4 若x R n Z 则有 n x n x 即x的整数部分可以 往外拿 n x x 这个式子表明y x 是以1为周期的周期函 数 5 对于一切实数x y有 x y x y x y 1 6 若 x y n 则x n a y n b 其中0 a 1 0 b 0 q r Z 0 r b 则 a b q 11 x是正实数 n是正整数 则在不超过x 的正整数中 n的倍数共有 x n 个 12 设p为任一素数 n是正整数 在n 中 含p的最高乘方次数记为p n 则有p n n p n p 2 L n p m p m n p m 1 三 常用解题方法 1 利用定义或性质法 利用高斯函数 x 的性质x 1 x x x 1将问题转化为解不等式或不等式组 可使问题迅速得到解决 例1 整数 10 93 10 31 3 的末尾两位数字是 1993年全国高中数学联赛 先写十位数 后写个位数 x 表示不超过 x的最大整数 分析 考虑到式子 10 93 10 31 3 的特点 可以在 分子上添项后 再使用立方和公式进行化简 最 后利用高斯函数 x 的定义即可 解 10 93 10 31 3 1031 3 3 3 3 3 10 31 3 1031 3 1062 3 1031 9 3 3 10 31 3 10 62 3 10 31 9 1 10 31 10 31 3 8 所以它的末尾两位数字是08 例2 自然数x使得 x x 3 x 5 x 7 1993 则x 1993年上海市 高中数学竞赛 分析 这是一个含高斯函数的一元一次方 程 利用性质x 11993 x 7 0 x x 3 x 5 1993 又 x 1 x x x 1 x 3 1 x 5 1 1993 x x 3 x 5 即 141x 120 3 1993 141 x 120 又 x N x 1697经 检验x 1697是原方程的解 2 分类讨论法 某些高斯函数方程 可先利用性质进行等 价转化 再采用分类讨论方法 各个击破 有意 想不到的效果 例3 求方程4x 2 20 x 23 0的所有 实数根 1993年全国高中数学联赛河北省预 赛 分析 这是一个含高斯函数的一元二次方 程 利用性质x 1 x x将该问题转化为 解一元二次不等式组求解 然后采用分类讨论 最后验证即可 解 由4x 2 20 x 23 0 得20 x 4x 2 23 x 1 x x 20 x 1 20 x 20 x 20 x 1 4x 2 23 20 x 5 2 2 x 5 2 2 x 2或 x 3 1 当 x 2时 4x2 40 23 0 4x2 17 x 17 2 2 当 x 3时 4x2 60 23 0 4x2 37 x 37 2 经检验 x 17 2 和x 37 2 是原方程的 根 例4 用 x 表示不大于实数x的最大整 数 方程lg 2 x lgx 2 0的实根个数是 1995年全国高中数学联赛 分析 这是一个含高斯函数 lgx 的方程 利用高斯函数性质 lgx lgx 将解方程问题 43上海中学数学 2008年第11期 1994 2011 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 转化为解不等式lg 2 x 2 lgx的问题 容易解 出lgx 从而得到 lgx 再分类讨论即可 解 lgx lgx lg 2 x 2 lgx 1 lgx 2 lgx 1或 lgx 1或 lgx 2 lgx 0显然不符合题意 1 当 lgx 1时 代入原方程 得lgx 1 lgx 1 舍去 lgx 1 x1 1 10 2 当 lgx 1时 代入原方程 得lgx 3 lgx 3 舍去 lgx 3 x2 10 3 3 当 lgx 2时 代入原方程 得lgx 2 lgx 2 舍去 lgx 2 x3 100 所以原方程共有3个实根 3 换元法 方程为 u v型的 通常由高斯函数的定 义和性质利用换元法来求解 例5 解方程 6x 5 8 15x 7 5 解 设 6x 5 8 m m Z 则15 x 7 5 m 且m 6 x 5 8 m 1 x 5m 7 15 代 入m 6 x 5 8 m 1 得m 6 5m 7 15 5 8 m 1 29 30 1 x x x 2 1 2 x x x x 2 即 不可能成立 x 1 代入 得1 1 x x 即 x 2 x 1 0 x 1 5 2 x 5 1 2 x 1 5 1 2 即x 5 1 2 5 数形结合法 可以根据方程的特点 把方程转化为数形 结合来求两个函数图像的交点解决 但利用此 法 只能从图像中找到方程的解的大体位置及 解的个数 必须对此进行逐个计算与检验 例7 解方程 x 1 4 x 1 2 分析 本例为 u v 型方程 首先由高 斯函数的性质 若 u v 则 u v 1 求 出x的取值区间 但此条件为原方程成立的必 要不充分条件 故还须利用u f x 和v g x 的图像进行分析才能得到正确结果 解 由若 u v 则 u v 1 得 1 x 1 4 x 1 2 1 得 1 x 7 令y1 x 1 4 y2 x 1 2 在同一坐标系中画出二者的 图像 分析两者在区间 1 7 内的图像 显然 当x 1 1 时 x 1 4 0 而 x 1 2 1 方程不成立 当x 1 3 时 x 1 4 x 1 2 0 当x 3 5 时 x 1 4 x 1 2 1 当x 5 7 时 x 1 4 1 而 x 1 2 2 方程不成立 综上所述 原方程的解是1 x 2n n n 1凑到最小整数范围即可 解 设1 n 100 n N3 则 均有 2 n 1 n 2 n n 2 n n 1 即2 n 1 n 1 n 2 n n 1 100 n 2 2 n 1 n 100 n 2 1 n 100 n 2 2 n n 1 故2 101 2 S 1 2 100 2 20 3 17 18 S 307 即x必须小于10 当307 31 x 10时 x 2x 4x 8x 16x 10 1 20 1 40 1 80 1 160 1 305 307 对一切实数x 原方程都不能成 立 即原方程无解 8 构造法 根据题目的特点 巧妙利用构造法解题 例10 证明 若p是大于2的质数 则 2 5 p 2 p 1 被p整除 证明 本例采用构造法 由二项式定理知 对于任意的p Z 2 5 p 2 5 p 是一个整数 又因为 1 2 5 p 1 2 5 p 2 5 p 2 5 p 于是有 2 5 p 2 p 1 2 C 2 p 2 p 2 5 C 4 p 2 p 4 5 2 L C p 1 p 2 5 p 1 2 其中p是质数 因为C k p p p 1 p 2 L p k 1 k k 2 4 L p 1 都能被质数p整除 故原命 题成立 巩固与练习 1 2007年第18届 希望杯 全国数学邀请 赛高二第2试 若 x 表示不超过x的最大整 数 且x 2 2008 x 2007 0 则 x 的值是 2 解方程x 3 3 x 2 0 3 若S 1 1 3 1 5 1 2n 1 2 求 S 4 解方程 5 6x 8 15x 7 5 提示与答案 1 利用性质 x x k