高中数学 2.5 夹角的计算同步精练 北师大版选修21.doc

高中数学 2.5 夹角的计算同步精练 北师大版选修2-11已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1夹角的正弦值等于()a. b. c. d.2如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，bac90，o为bc的中点，则平面asc与平面bsc的夹角的余弦值是()a b. c d.3已知在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱bb1，dc的中点，则异面直线ae与d1f的夹角为()a. b. c. d.4把正方形abcd沿对角线ac折成直二面角，点e，f分别是ad，bc的中点，o是正方形的中心，则折起后，直线oe与of的夹角的大小是()a. b. c. d.5在三棱锥pabc中，papbpcbc，且bac，则pa与底面abc的夹角为_6如图，abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de3af，be与平面abcd的夹角为，则平面fbe与平面dbe夹角的余弦值是_7已知平行六面体abcda1b1c1d1的所有棱长都是1，且a1aba1adbad，e，f分别为a1b1与bb1的中点，求异面直线be与cf夹角的余弦值8如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为平行四边形，侧面sbc底面abcd.已知abc45，ab2，bc，sasb.(1)求证：sabc；(2)求直线sd与平面sab夹角的正弦值(提示：用向量法求解)9如图，在三棱锥pabc中，acbc2，acb90，apbpab，pcac.(1)求证：pcab；(2)求平面abp与平面apc夹角的余弦值参考答案1. 解析：如图，作b1da1c1，垂足为d，连接ad.abca1b1c1为正三棱柱，b1d平面acc1a1，b1ad为所求的ab1与侧面acc1a1的夹角设ab2a，则b1da，ab1a.sinb1ad.答案：a2. 解析一：取sc的中点m，连接am，om，oa，由题意知sooc，saac，得omsc，amsc.所以oma为二面角ascb的平面角由aobc，aoso，sobco，得ao平面sbc.所以aoom.又amsa，aosa，故sinamo，cosamo.故平面asc与平面bsc的夹角的余弦值为.解析二：连接oa，由题易知ao，bo，so两两垂直，则以o为坐标原点，射线ob，oa，os分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.取sc的中点m，连接am，om，设b(1,0,0)，则c(1,0,0)，a(0,1,0)，s(0,0,1)sc的中点m，0，所以，0，1，(1,0，1)，所以0，0.故mosc，masc，等于二面角ascb的平面角cos，所以平面asc与平面bsc的夹角的余弦值为.答案：b3. 解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则d1(0,0,0)，a(2,0,2)，e(2,2,1)，f(0,1,2)(0,2，1)，(0,1,2)，0，.答案：d4. 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2.则f，0，e0，0，0，coseofcos，设直线oe与of的夹角为，则cos |cos eof|，即.故直线oe与of的夹角为.答案：a5. 解析：取bc的中点o，连接po，ao.由题意可令papbpcbca，则poa.又bca，bac，且o为bc的中点，所以ao.又po2oa2pa2，所以poao.所以cospao，所以pao.因为pobc，且aobco，所以po平面abc，即pao为pa与底面abc的夹角答案：6. 解析：因为da，dc，de两两垂直，所以建立空间直角坐标系dxyz，如图所示因为be与平面abcd的夹角为，即dbe，所以.由ad3可知de3，af，则a(3, 0,0)，f(3,0，)，e(0,0,3)，b(3,3,0)， c(0,3,0)所以(0，3，)，(3,0，2)设平面bef的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即3yz0，3x2z0，令z，则n(4,2，)由题意知ac平面bde，所以为平面bde的法向量，(3，3,0)所以cosn，.故由题意知平面fbe与平面dbe夹角的余弦值为.答案：7. 解：如图所示，设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，ca，c.abbcac.而ac，bc，|，|.acbcabacbcc2.cos，.异面直线be与cf的夹角的余弦值为.8. (1)证明：如图，作sobc，垂足为o，连接ao.由侧面sbc底面abcd，得so平面abcd.因为sasb，所以aobo.又abc45，故aob为等腰直角三角形，且aoob.如图，以o为坐标原点，oa为x轴正向，ob为y轴正向，os为z轴正向，建立空间直角坐标系oxyz，则a(，0,0)，b(0，0)，c(0，0)，s(0,0,1)，所以(，0，1)，(0,2，0)所以0.所以sabc.(2)解：如上图，取ab的中点e(，0).连接se，取se的中点g(，)，连接og，则，1，0.所以0，0，即og与平面sab内两条相交直线se，ab垂直，所以og平面sab.将与的夹角记为，sd与平面sab的夹角记为，则与互余因为d(，0)，所以(，1)，所以cos ，所以sin .所以直线sd与平面sab夹角的正弦值为.9. (1)证明：acbc，apbp，apcbpc.又pcac，pcbc.acbcc，pc平面abc.ab平面abc，pcab.(2)解：如图，以c为原点建立空间直角坐标系cxyz，则c(0,0,0)，a(0,2,0)，b(2,0,0)设p(0,0，t)pbab，t2，点p的坐标为(0,0,2)(2,2