等价关系与偏序关系复习题答案.doc

第5章 等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ A ）A、 B、C、 D、2、序偶必为（ B ）A、非偏序集 B、偏序集 C、线序集 D、良序集3、设Z为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ D ）A、 B、C、 D、4、设，则上包含关系“”的哈斯图为（ C ）5、集合上的偏序关系图为 则它的哈斯图为（ A ）6、某人有三个儿子，组成集合，则在上的兄弟关系一定不是（ D ）A、偏序关系 B、线序关系 C、良序关系 D、等价关系7、有一个人群集合，则在上的同事关系一定是（ D ）A、偏序关系 B、线序关系 C、良序关系 D、等价关系8、设为非空集合，则下列上的二元关系中为等价关系的是（ D ）A、空关系 B、全域关系 C、恒等关系 D、上述关系都是9、设，则上不同等价关系的个数为（ C ）A、 B、 C、 D、10、设，则上不同等价关系的个数为（ C ）A、 B、 C、 D、注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述11、设，“”为中元素的普通乘法，定义上的等价关系，则由产生的上一个划分的分块数为（ D ）A、 B、 C、 D、提示：记，则由的关系图易知12、设，“”为中元素的普通乘法，定义上的等价关系，则由产生的上一个划分的分块数为（ C ）A、 B、 C、 D、提示：因，则因，则等价关系产生的上一个划分的分块数为二、填充题（每题4分）1、设，其上偏序关系的哈斯图为则 2、设，偏序集的哈斯图为 ，则 3、偏序集的Hass图为4、对于，则偏序集的哈斯图为5、设，“”为上整除关系，则偏序集的极小元为，最小元为，极大元为、最大元为6、设，“”为上整除关系，则偏序集的极小元为，最小元为无，极大元为，最大元为无，既非极小元也非极大元的是7、设考虑下列子集，则的覆盖有 ，的划分有8、设，为的一个分划，则由导出的等价关系为 提示：9、非空正整数子集上的模等价关系的秩为，三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合答：若集合上的二元关系是自反的，反对称的和传递的，称序偶为偏序集；偏序集中的各元素并非都能比较，若都能比较，偏序集成为线序集；在线序集中，若的任一非空子集都有一最小元素，则线序集成为良序集2、设，是的等价关系，由诱导的的划分块数为3，则不同的有多少种？答：一个集合上的等价关系数目与该集合的划分数目是一致的，因而，该题只需求出将5个元素的集合分成3份的划分种数即可 如果3份中元素个数分别为3，1，1，则共有种， 如果3份中元素个数分别为2，2，1，则共有种，因此，上秩为3的等价关系共有+3、设是实数集合，试判断是上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？答：都不是；因 xA，xx=02，所以R，R不是自反的四、画图填表题（每题10分）1、设上的关系 ，画出偏序集的哈斯图，列表给出的子集的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界解：哈斯图如图4.44所示：其子集上的各种特殊元素如下表所示，极大元极小元最大元最小元上界下界上确界下确界B1a,b,d,e a,b,c,e无无无无无无B2dcd cdcdcB3d,ec,e无无无无无无2、设的幂集上的关系 ，画出偏序集哈斯图，列表给出子，的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界解：哈斯图如图4.45所示：极大元极小元最大元最小元上界下界上确界下确界B1a,b无a,b,c, a,ba,bB2a,ca,c无无a,b,c, a,ca,cB3a,b,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,c其子集上的各种特殊元素如下表所示，3、试填出上的等价关系，其产生划分,并画出关系图 解：其关系图为：六、证明题（每题10分）1、设是上的二元关系，如果是传递的和反自反的，称是上的拟序关系，证明：如果是上的拟序关系，则是上的偏序关系证明：（1）因，有是自反的；（2）设而，则若由的传递性，知与的反自反性矛盾，则又有，于是有是反对称的；（3）由的传递性，知，因，则可传递；综上所述，可证是上的偏序关系2、设是上的二元关系，如果是传递的和反自反的，称是上的拟序关系，证明：如果是上的偏序关系，则是上的拟序关系证明：（1），则反自反；（2）设，则，而，因是传递的，有；若，则，由的反对称性，知，与矛盾，于是，则，有是传递的；综上所述，可证是上的拟序关系3、设是上的对称和传递关系，证明：若，则是上的等价关系证明：，因是对称的，有，又因是传递的，所以，则在上自反，故是上的等价关系4、设是上的偏序关系，证明：是上的偏序关系证明：（1），因在上的自反性，则，有，于是，在上是自反的；（2）设而，则因在上的反对称性，有则于是，在上是反对称的；（3）设，则，因在上的传递性，有则于是，在上是传递的；综上所述，可证是上的偏序关系（题4在证明中用了定义法）5、设是上的等价关系，证明：是上的等价关系证明：（1）因在上的自反性，有，则，有在上自反；（2）因在上的对称性，有，则，有在上对称；（3）因在上的传递性，有，则，有在上可传递；则，有在上是对称的；综上所述，可证是上的等价关系（题5在证明中用了集合法）6、设是上的偏序关系，证明：是上的偏序关系证明：（1），因在上的自反性，则，有在上自反；（2）设而，则因在上的反对称性，有则于是，在上是反对称的；（3）设，则，因在上的传递性，有,则，于是，在上是传递的；综上所述，可证是上的偏序关系（题6在证明中用了定义法）7、设是上的等价关系，证明：是上的等价关系证明：（1）因在上自反，有，则，有在上自反；（2）因在上对称，有，则，有在上对称；（3）因在上传递，有，则，有在上可传递；综上所述，可证是上的等价关系（题7在证明中用了集合法）8、设是上的二元关系，定义上的二元关系,证明：如果是上的偏序关系，那么是上的偏序关系证明：（1），因在上的自反性，则，而，有，于是，在上是自反的；（2）设而，则因在上的反对称性，有则于是，在上是反对称的；（3）设，因在上的传递性，有而，则，于是，在上是传递的；综上所述，可证是上的偏序关系（题8在证明中用了定义法）9、设是上的二元关系，定义上的二元关系,证明：如果是上的等价关系，那么是上的等价关系证明：（1）因在上的自反性，则，而,有，而，有，于是，在上是自反的；（2）因在上的对称性，有，而，则，有在上是对称的；（3）因在上的传递性，有，有，而，则，有在上是传递的；综上所述，可证是上的等价关系（题9在证明中用了集合法）10、若是上的等价关系，则也是上的一个等价关系证明：（1），由自反，则，有自反；（2），则，使由在上对称，有有，知对称；（3）若，则，使同时，使由在上传递，知有，有传递；综上所述，可证是上的等价关系（题10在证明中用了定义法）六、证明计算题（每题10分）1、设，在上定义 ，“”为普通加法，证明：是上的等价关系，并求出证明：（1）即自反； （2）则，即对称； （3），即传递； 综上得出，是上的等价关系，且,2、设，在上定义 ，“”为普通加法，证明：是上的等价关系，并求出证明：（1）即自反； （2）则，即对称； （3） 有 ，即传递； 综上得出，是上的等价关系，且,3、设，在上定义 ，