3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

旗智教育 辅导预约电话 26560062 265610603.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【知识要点】1. 线性规划的有关概念（1）约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的约束条件。（2）线性约束条件：关于x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件。（3）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式。（4）线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式。（5）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。（6）可行解：满足线性约束条件的解（x，y） （7）可行域：所有可行解组成的集合。（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。2. 二元一次不等式组表示平面区域的方法（1）先应对每一个所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示的平面区域的错误而产生错误；其次，应注意所表示的平面区域是否包括边界。包括边界时，边界用实线表示，不包括边界时，边界用虚线表示。（2）不等式组所表示的平面区域应是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。（3）若干条直线把坐标划分为若干个区域，若某个区域内的一点均在不等式组的每个不等式所表示的区域内，则此区域即在不等式组所表示的区域。3. 求线性目标函数在约束条件下的最值（1）线性预约条件除用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示。（2）最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的。（3）对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使ax+by达到最大或最小的点，那么最值一定在该区域的顶点或边界上达到。4. 线性规划的逆向问题常见问题形式：（1）由可行域求线性约束条件（2）由最优解或最值求目标函数中的参数值或范围5. 简单的线性规划实际应用问题常见的有两种：（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大。（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小。 不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解。【知识应用】2. 画平面区域的步骤：（1）画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线；（2）定侧：将某个区域位置明显的特殊点的坐标带入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；常用的特殊点（0,0），（，0），（0，） （3）求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域。【J】例1 画出不等式组，表示的平面区域【L】例2 求不等式组，表示的平面区域的面积【C】例3 不等式组，表示的平面区域的面积3. 求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：（1）作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示平行直线系的任意一条直线。（2）平移：将直线平行移动，以确定最优解所对应的点的位置（3）求值：解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。对形如型的目标函数，均可化为求可行域内的点（x，y）与（a，b）间的距离平方的最值。对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题转化为可行域内的点（x，y）与连线斜率的倍的范围、最值等。【J】例1 已知x，y满足不等式组，求的最大值或最小值【L】例2 （1）已知实数x，y满足的最小值（2）若实数x，y满足，求不等式组表示的区域面积，的取值范围。【C】例3 设x，y满足（1）求的最大值与最小值（2）求的最大值与最小值4. 处理线性规划的逆向问题的方法：（1）对于形式1，由可行域的端点写出边界直线方程，由区域特点确定不等号即可。（2）对于形式2，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用树形结合的思想方法求解。同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系。【J】例1 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数（其中a0）仅在（3,1）处取得最大值，求k的取值范围【2】例2 已知点P（x，y）满足（k为常数），若x+3y的最大值为8，求k【C】例3 已知实数x，y满足约束条件目标函数z=x+3y只有当时取得最大值，求a的取值范围5. 利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：（1）模型建立 （2）模型求解 （3）模型应用。 解决实际问题的关键在于正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型，这需要读者在学习有关例题时仔细体会范例给出的建立模型的方法。【J、L】例1 某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7、8吨和5吨把货物分别调运甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使的从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？【C】例2 某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的b型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型8次，B型6次，每天运输成本为A型160元，B型252元，每天应派出A型、B型车各多少辆，才能使公司成本最低？ 总结：1. 能从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）。能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域