高考数学 7.2 空间几何体的表面积与体积课件.ppt

第二节空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 空间几何体的侧面积和表面积 多面体的表面积 因为多面体的各面都是平面 所以多面体的表面积就是各个面的 即展开图的面积 侧面积就是侧面展开图的面积 面积 之和 旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积 2 r2 2 rl 2 r r l 2 rl rl r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 2 几何体的体积 柱体 v s为底面面积 h为高 特别地 v圆柱 r为底面半径 h为高 锥体 v s为底面积 h为高 特别地 v圆锥 r为底面半径 h为高 sh r2h 台体 v s s 分别为上 下底面面积 h为高 特别地 v圆台 球 v r为半径 2 必备结论教材提炼记一记 1 长方体的外接球 球心 体对角线的交点 半径 r a b c为长方体的长 宽 高 2 正方体的外接球 内切球及与各条棱相切的球 外接球 球心是正方体中心 半径r a为正方体的棱长 内切球 球心是正方体中心 半径r a为正方体的棱长 与各条棱都相切的球 球心是正方体中心 半径r a a为正方体的棱长 3 正四面体的外接球与内切球 正四面体可以看作是正方体的一部分 外接球 球心是正四面体的中心 半径r a a为正四面体的棱长 内切球 球心是正四面体的中心 半径r a a为正四面体的棱长 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 割补法与等体积转化法 2 数学思想 转化与化归 函数与方程 3 记忆口诀 台体体积公式记忆口诀 上底面 下底面 两底积根加号连 乘高除三体积见 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 多面体的表面积等于各个面的面积之和 2 锥体的体积等于底面积与高之积 3 球的体积之比等于半径比的平方 4 简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差 5 长方体既有外接球又有内切球 解析 1 正确 多面体的表面积等于侧面积与底面积之和 2 错误 锥体的体积等于底面积与高之积的 3 错误 球的体积之比等于半径比的立方 4 正确 简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成 5 错误 长方体只有外接球 没有内切球 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2p28习题1 3a组t3改编 如图 将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥 则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a b c 它截出棱锥的体积为v1 剩下的几何体的体积v2 所以v1 v2 1 47 答案 1 47 2 必修2p36t10改编 一直角三角形的三边长分别为6cm 8cm 10cm 绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为 解析 旋转一周所得几何体为以cm为半径的两个同底面的圆锥 其表面积为s 答案 cm2 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 四川高考 某三棱锥的侧视图 俯视图如图所示 则该三棱锥的体积是 锥体体积公式 v sh 其中s为底面面积 h为高 a 3b 2c d 1 解析 选d 根据所给的侧视图和俯视图 该三棱锥的直观图如图所示 从俯视图可知 三棱锥的顶点a在底面内的投影o为边bd的中点 所以ao即为三棱锥的高 其体积为 2 2013 天津高考 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为 则正方体的棱长为 解析 设球半径为r 因为球的体积为所以r 又由球的直径与其内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为3 故其棱长为 答案 3 2014 山东高考 一个六棱锥的体积为2 其底面是边长为2的正六边形 侧棱长都相等 则该六棱锥的侧面积为 解析 设六棱锥的高为h 斜高为h 则由体积v 得 h 1 h 所以侧面积为 2 h 6 12 答案 12 考点1几何体的侧面积及表面积 典例1 1 2014 安徽高考 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的表面积为 a 21 b 18 c 21d 18 2 2015 石家庄模拟 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 解题提示 1 将三视图还原为原几何体 求各个面面积的和 2 将三视图还原为原几何体 可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩下的部分 规范解答 1 选a 由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥 正方体的表面积为s 24 两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点 侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形 其侧面面积的和为3 三棱锥的底面是边长为的正三角形 其表面积的和为 故所求几何体的表面积为24 3 21 2 由三视图可知 该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体 如图所示 长方体的长 宽 高分别为4 3 1 表面积为4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圆柱的底面圆直径为2 母线长为1 侧面积为2 1 1 2 圆柱的两个底面面积和为2 12 2 故该几何体的表面积为38 2 2 38 答案 38 易错警示 解答本例题 1 有两点易出错 1 由三视图将对应的几何体的结构特征还原错 而误选 2 还原几何体正确 但忽视截去三棱锥后截面是一个边长为的正三角形 其面积和为 而误选c 互动探究 把本例题 2 中的三视图改为如下图形 求该几何体的表面积 解析 由三视图知 这是一个底面是矩形的四棱锥 矩形的长和宽分别是6 2 四棱锥的高是4 所以四棱锥的表面积是2 6 2 2 5 6 4 6 2 34 6 规律方法 几何体表面积的求法 1 多面体 其表面积是各个面的面积之和 2 旋转体 其表面积等于侧面面积与底面面积的和 计算旋转体的侧面积时 一般采用转化的方法来进行 即将侧面展开化为平面图形来解决 3 简单组合体 应搞清各构成部分 并注意重合部分的处理 4 若以三视图的形式给出 解题的关键是对给出的三视图进行分析 从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 得到几何体的直观图 然后根据条件求解 变式训练 2015 合肥模拟 如图所示 某几何体的正视图和俯视图都是矩形 侧视图是平行四边形 则该几何体的表面积为 解析 选c 图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱 该四棱柱四个侧面都是矩形 上 下两个底面是平行四边形 其表面积为2 3 3 2 3 2 2 3 30 6 加固训练 1 2015 武汉模拟 已知一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 a 10 96b 9 96c 8 96d 9 80 解析 选c 图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方体构成的简单组合体 其表面积为s 6 4 4 2 1 4 96 8 2 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 解析 由几何体的三视图可知 该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 如图所示 在四边形abcd中 作de ab 垂足为e 则de 4 ae 3 则ad 5 所以其表面积为2 2 5 4 2 4 4 5 4 5 4 4 92 答案 92 考点2几何体的体积知 考情空间几何体的体积计算是近几年高考考查空间几何体的一个重要考向 常与空间几何体的三视图 空间的平行 垂直关系等知识综合 主要以选择 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 根据几何体的直观图计算体积 典例2 2014 山东高考 三棱锥p abc中 d e分别为pb pc的中点 记三棱锥d abe的体积为v1 p abc的体积为v2 则 解题提示 本题考查了空间几何体的体积 可以由底面积和高的比值求出体积的比值 规范解答 分别过e c向平面pab作高h1 h2 由e为pc的中点得由d为pb的中点得s abd s abp 所以v1 v2 答案 命题角度2 根据几何体的三视图计算体积 典例3 2014 重庆高考 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 本题源于教材必修2p29b组t1 a 12b 18c 24d 30 解题提示 直接根据三视图还原为几何体 然后求出该几何体的体积 规范解答 选c 由三视图可知 该几何体为如图所示的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的 三棱柱的体积为 3 4 5 30 截去的三棱锥的体积为 3 3 4 6 所以该几何体的体积为24 悟 技法计算几何体体积的常见类型及解题策略 通 一类1 2014 浙江高考 某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则该几何体的体积是 a 72cm3b 90cm3c 108cm3d 138cm3 解析 选b 由三视图可知 原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体 如图所示 所以其体积为v 3 4 6 3 4 3 90 2 2014 新课标全国卷 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2 侧棱长为 d为bc中点 则三棱锥a b1dc1的体积为 解析 选c 因为b1c1 bd 所以bd 面ab1c1 点b和d到面ab1c1的距离相等 所以 3 2015 北京模拟 某几何体的三视图如图所示 当a b取最大值时 这个几何体的体积为 解析 选d 由题意知 该几何体的直观图如图所示 且ac bd 1 bc b ab a 设cd x ad y 则x2 y2 6 x2 1 b2 y2 1 a2 消去x2 y2得a2 b2 8 所以a b 4 当且仅当a b 2时等号成立 此时x y 所以 4 2015 大连模拟 某一几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 解析 依题意 可知题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥 其中该圆锥的底面半径是1 高是2 因此该几何体的体积等于23 12 2 8 答案 8 考点3空间几何体的外接球 内切球问题 典例4 1 2014 湖南高考 一块石材表示的几何体的三视图如图所示 将该石材切削 打磨 加工成球 则能得到的最大球的半径等于 a 1b 2c 3d 4 2 2015 西安模拟 四面体abcd的四个顶点都在球o的球面上 ab 平面bcd bcd是边长为3的等边三角形 若ab 2 则球o的表面积为 a b 12 c 16 d 32 解题提示 1 先由三视图画出直观图 判断这个几何体是底面是边长为6 8 10的直角三角形 高为12的水平放置的直三棱柱 底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径 2 将四面体abcd补形成正三棱柱 转化为正三棱柱的外接球问题求解 规范解答 1 选b 由三视图画出直观图如图 判断这个几何体是底面是边长为6 8 10的直角三角形 高为12的水平放置的直三棱柱 直角三角形的内切圆的半径为r 2 这就是得到的最大球的半径 2 选c 将四面体abcd补形成正三棱柱 则其外接球的球心为上 下底面的中心连线的中点 底面 bcd的外接圆半径为 所以外接球的半径r 2 球o的表面积s 4 r2 16 规律方法 空间几何体与球接 切问题的求解方法 1 求解球与棱柱 棱锥的接 切问题时 一般过球心及接 切点作截面 把空间问题转化为平面图形与圆的接 切问题 再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 2 若球面上四点p a b c构成的三条线段pa pb pc两两互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有关元素 补形 成为一个球内接长方体 利用4r2 a2 b2 c2求解 变式训练 2015 郑州模拟 已知三棱锥p abc的四个顶点均在半径为3的球面上 且pa pb pc两两互相垂直 则三棱锥p abc的侧面积的最大值为 解析 如图所示 因为pa pb pc两两互相垂直 所以三棱锥p abc的外接球就是以pa pb pc为棱长的长方体的外接球 设pa a pb b pc c 则有a2 b2 c2 4 32 36 而三棱锥p abc的侧面积为s ab bc ac 又 当且仅当a b时取等号 当且仅当b c时取等号 当且仅当a c时取等号 所以s 当且仅当a b c时取等号 答案 18 加固训练 1 2015 吉林模拟 已知直三棱柱abc a1b1c1的6个顶点都在球o的球面上 若ab 3 ac 4 ab ac aa1 12 则球o的半径为 解析 选c 由题意知 三棱柱的底面三角形abc为直角三角形 其外接圆的圆心o 为其斜边bc的中点 连接oa oo o a 由勾股定理得 oa2 o o2 o a2 其中oa r oo aa1 6 o a bc 所以球o的半径为 2 2015 西安模拟 如图 已知球o是棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的内切球 则平面acd1截球o的截面面积为 解析 选c 平面acd1截球o的截面为 acd1的内切圆 因为正方体的棱长为1 所以ac cd1 ad1 所以内切圆的半径r 所以s r2 巧思妙解8巧用补形法解决立体几何问题 典例 2015 唐山模拟 如图 abc中 ab 8 bc 10 ac 6 db 平面abc 且ae fc bd bd 3 fc 4 ae 5 则此几何体的体积为 常规解法 如图 取cm an bd 连接dm mn dn 用 分割法 把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥 所以v几何体 v三棱柱 v四棱锥 由题知三棱柱abc ndm的体积为v1 8 6 3 72 四棱锥d mnef的体积为 则几何体的体积为 v v1 v2 72 24 96 答案 96 巧妙解法 用 补形法 把原几何体补成一个直三棱柱 使aa bb cc 8 所以v几何体 v三棱柱 s abc aa 24 8 96 答案