高考数学 热点专题突破系列(三)数列的综合应用课件.ppt

热点专题突破系列 三 数列的综合应用 考点一等差数列与等比数列的综合问题 考情分析 等差 等比数列相结合的问题是高考考查的重点 1 综合考查等差数列与等比数列的定义 通项公式 前n项和公式 等差 比 中项 等差 比 数列的性质 2 重点考查基本量 即 知三求二 解方程 组 的计算以及灵活运用等差 等比数列的性质解决问题 典例1 2014 湖南高考 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an pn n n 1 若 an 是递增数列 且a1 2a2 3a3成等差数列 求p的值 2 若p 且 a2n 1 是递增数列 a2n 是递减数列 求数列 an 的通项公式 解题提示 1 由 an 是递增数列 去掉绝对值号 求出前三项 再利用a1 2a2 3a3成等差数列 得到关于p的方程即可求解 2 a2n 1 是递增数列 a2n 是递减数列 可以去掉绝对值号 再利用叠加法求通项公式 规范解答 1 因为 an 是递增数列 所以an 1 an pn 又a1 1 a2 p 1 a3 p2 p 1 因为a1 2a2 3a3成等差数列 所以4a2 a1 3a3 4p 4 1 3p2 3p 3 3p2 p 解得p 或p 0 当p 0时 an 1 an 0 与 an 是递增数列矛盾 所以p 2 因为 a2n 1 是递增数列 所以a2n 1 a2n 1 0 于是 a2n 1 a2n a2n a2n 1 0 由于 所以 a2n 1 a2n 0 所以a2n a2n 1 因为 a2n 是递减数列 所以同理可得a2n 1 a2n 0 a2n 1 a2n 规律方法 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题 如为求和需要先求出通项 为求出通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 提醒 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论 分类解决问题后还要注意结论的整合 变式训练 2015 宁波模拟 已知数列 an 的首项a1 an 1 n n 1 求证 数列 1 为等比数列 2 记sn 若sn 100 求最大正整数n 3 是否存在互不相等的正整数m s n 使m s n成等差数列 且am 1 as 1 an 1成等比数列 如果存在 请给出证明 如果不存在 请说明理由 解析 1 由an 1 可得所以又 0 所以 1 0 n n 所以数列 1 为首项为 公比为的等比数列 若sn 100 则n 1 100 所以满足条件的最大正整数n为99 3 假设存在满足条件的m s n 则m n 2s am 1 an 1 as 1 2 因为an 所以化简 得3m 3n 2 3s 因为3m 3n 2 2 3s 当且仅当m n时等号成立 这与m s n互不相等矛盾 所以假设不成立 即不存在满足条件的m s n 加固训练 2015 南昌模拟 已知 an 是单调递增的等差数列 首项a1 3 前n项和为sn 数列 bn 是等比数列 首项b1 1 且a2b2 12 s3 b2 20 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 令cn sncos an n n 求 cn 的前n项和tn 解析 1 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 则a2b2 3 d q 12 s3 b2 3a2 b2 3 3 d q 9 3d q 20 3d q 11 q 11 3d 则 3 d 11 3d 33 2d 3d2 12 即3d2 2d 21 0 3d 7 d 3 0 因为 an 是单调递增的等差数列 所以d 0 所以d 3 q 2 an 3 n 1 3 3n bn 2n 1 2 由 1 知 当n是偶数时 tn c1 c2 c3 cn s1 s2 s3 s4 sn 1 sn a2 a4 a6 an 6 12 18 3n 当n是奇数时 tn tn 1 sn 考点二数列与函数的综合问题 考情分析 数列与函数的特殊关系 决定了数列与函数交汇命题的自然性 是高考命题的易考点 主要考查方式有 1 以函数为载体 考查函数解析式的求法 或者利用函数解析式给出数列的递推关系 数列前n项和的计算方法 2 根据数列是一种特殊的函数这一特点命题 考查利用函数的单调性来确定数列的单调性 最值或解决某些恒成立问题 典例2 2015 沈阳模拟 已知函数f x 数列 an 满足a1 1 an 1 f n n 1 求数列 an 的通项公式 2 令tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求tn 3 令bn n 2 b1 3 sn b1 b2 bn 若sn 对一切n n 成立 求最小正整数m 解题提示 1 由已知得an 1与an的关系从而获解 2 利用等差数列的性质及裂项相消法去求解 3 利用裂项相消法先求出sn 再把问题转化为不等式恒成立问题 规范解答 1 因为所以 an 是以为公差的等差数列 又a1 1 所以an 2 tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 a2 a4 a2n 3 当n 2时 bn 又b1 3 所以sn b1 b2 bn因为sn 对一切n n 成立且所以即m 2014 所以最小正整数m 2014 规律方法 1 数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 2 解决数列与函数综合问题的注意点 1 数列是一类特殊的函数 其定义域是正整数集 而不是某个区间上的连续实数 所以它的图象是一群孤立的点 2 转化以函数为背景的条件时 应注意题中的限制条件 如函数的定义域 这往往是非常容易忽视的问题 3 利用函数的方法研究数列中相关问题时 应准确构造函数 注意数列中相关限制条件的转化 变式训练 2015 成都模拟 已知二次函数f x x2 ax a a 0 x r 不等式f x 0的解集有且只有一个元素 设数列 an 的前n项和sn f n n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由已知得x2 ax a 0的解集有且只有一个元素 所以 a 2 4a 0 即a2 4a 0 又因为a 0 所以a 4 所以f x x2 4x 4 从而sn f n n2 4n 4 当n 1时 a1 s1 1 4 4 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 5 加固训练 设函数f x 的定义域为r 当x1 且对任意的实数x y r 有f x y f x f y 1 求f 0 判断并证明函数f x 的单调性 2 数列 an 满足a1 f 0 且f an 1 n n 数列 bn 满足bn an 8 求数列 an 的通项公式 求数列 bn 的前n项和tn的最小值及相应的n的值 解析 1 x y r f x y f x f y x1 令x 1 y 0 则f 1 f 1 f 0 因为f 1 1 所以f 0 1 若x 0 则f x x f 0 f x f x 故f x 0 1 故x r f x 0 任取x10 所以0 f x2 x1 1 所以f x2 f x1 故f x 在r上是减函数 2 a1 f 0 1 f an 1 f 2 an 由f x 单调性an 1 an 2 故 an 是等差数列 所以an 2n 1 bn 2n 9 tn n2 8n 当n 4时 tn min 16 考点三数列与不等式的综合问题 考情分析 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点 考查方式主要有三种 1 判断数列问题中的一些不等关系 如比较数列中的项的大小关系等 2 以数列为载体 考查不等式的恒成立问题 求不等式中的参数的取值范围等 3 考查与数列问题有关的不等式的证明问题 典例3 2014 上海高考 已知数列 an 满足an an 1 3an n n a1 1 1 若a2 2 a3 x a4 9 求x的取值范围 2 设 an 是公比为q的等比数列 sn a1 a2 an sn sn 1 3sn n n 求q的取值范围 3 若a1 a2 成等差数列 且a1 a2 ak 1000 求正整数k的最大值 以及k取最大值时相应数列a1 a2 的公差 解题提示 1 根据a2 a3 3a2 a3 a4 3a3可求得x的范围 2 需对q分类讨论 若q 1 易得符合题意 若q 1时 再通过放缩法解不等式组即得结论 3 k 1000 d 0是一组解时 kmax 1000 根据an an 1 3an 可得d 然后根据a1 a2 ak 1000 得到关于d的关系式 而d 从而得到关于k的不等式 解此不等式即得 规范解答 1 依题意 a2 a3 3a2 所以 x 6 又a3 a4 3a3 所以3 x 27 综上可得 3 x 6 2 由已知得 an qn 1 又a1 a2 3a1 所以 q 3 当q 1时 sn n sn sn 1 3sn 即 n 1 3n 成立 当1 q 3时 sn sn sn 1 3sn 因为q 1 故3qn 1 qn 2 qn 3q 1 2 2qn 2 0 对于不等式qn 1 3qn 2 0 令n 1 得q2 3q 2 0 解得1 q 2 又当1 q 2时 q 3 0 所以qn 1 3qn 2 qn q 3 2 q q 3 2 q 1 q 2 0成立 所以1 q 2 当 q 1时 sn sn sn 1 3sn 所以此不等式即3q 1 0 q 30 所以 q 1时 不等式恒成立 综上 q的取值范围为 q 2 3 设公差为d 显然 当k 1000 d 0时 是一组符合题意的解 故kmax 1000 当k 2时 则由已知得 1 k 1 d 3 1 k 2 d 当k 1000时 不等式即所以d的取值范围为d a1 a2 ak k 1000 所以k 1000时 解得1000 k 1000 所以k 1999 所以k的最大值为1999 此时公差 规律方法 数列中不等式的处理方法 1 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 2 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 3 比较方法 作差或者作商比较 4 数学归纳法 使用数学归纳法进行证明 变式训练 2014 广东高考 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 且sn满足 n2 n 3 sn 3 n2 n 0 n n 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 解题提示 1 可直接令n 1 2 用n表示出sn 利用an sn sn 1 n 2 求解 3 先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和 解析 1 令n 1 则s1 a1 12 1 3 s1 3 12 1 0 即 a1 6 0 解得a1 2或a1 3 舍去 2 n2 n 3 sn 3 n2 n 0 可以整理为 sn 3 sn n2 n 0 因为数列 an 中 an 0 所以sn 3 只有sn n2 n 当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 而a1 2 符合an 2n 所以数列 an 的通项公式为an 2n n n 加固训练 1 2015 贵阳模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 满足sn an n n n 1 求证 数列 an 1 是等比数列 2 令bn log3 a1 1 log3 a2 1 log3 an 1 对任意n n 是否存在正整数m 使恒成立 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 解析 1 当n 1时 s1 a1 a1 1 解得a1 2 当n 2时 由sn an n得sn 1 an 1 n 1 两式相减得 sn sn 1 an an 1 1 即an 3an 1 2 n 2 则an 1 3 an 1 1 又a1 1 2 1 3 故数列 an 1 是首项为3 公比为3的等比数列 2 由 1 知an 1 3 3n 1 3n 所以bn log3 a1 1 log3 a2 1 log3 an 1 1 2 n 由对任意n n 恒成立 得2 1 即m 对任意n n 恒成立 因为 所以m 4 又因为m n 所以m 1 2 3 4 2 已知数列 an 为等比数列 其前n项和为sn 已知a1 a4 且对于任意的n n 有sn sn 2 sn 1成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 已知bn n n n 记tn 若 n 1 2 m tn n 1 对于n 2恒成立 求实数m的最小值 解析 1 设公比为q 因为s1 s3 s2成等差数列 所以2s3 s1 s2 所以2a1 1 q q2 a1 2 q 得q 又a1 a4 a1 1 q3 所以a1 所以an a1qn 1 2 因为bn n an 所以 n 2n 所以tn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 所以tn n 2n 1 n 1 2n 1 2 若 n 1 2 m tn n 1 对于n 2恒成立 则 n 1 2 m n 1 2n 1 2 n 1 n 1 2 m n 1 2n 1 1 所以m 令f n f n 1 f n 所以f n 为减函数 所以f n f 2 所以m 考点四数列的实际应用问题 考情分析 此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长 产量的增加 成本的降低 存贷款利息的计算 分期付款等客观背景进行设置 它不仅涉及数列中的基本知识和方法 还往往涉及其他学科的知识和常识 典例4 2015 苏州模拟 某商店投入81万元经销某种纪念品 经销时间共60天 市场调研表明 该商店在经销这一产品期间第n天的利润an 单位 万元 n n 为了获得更多的利润 商店将每天获得的利润投入到次日的经营中 记第n天的利润率bn 1 求b1 b2的值 2 求第n天的利润率bn 3 该商店在经销此纪念品期间 哪一天的利润率最大 并求该日的利润率 解题提示 1 根据利润an和利润率bn的定义求值 2 分1 n 20和21 n 60两种情况求解 3 根据 2 的结论 利用单调性或基本不等式求解 规范解答 1 当n 1时 b1 当n 2时 b2 2 当1 n 20时 a1 a2 a3 an 1 an 1 所以bn 当21 n 60时 所以第n天的利润率 3 当1 n 20时 bn 是递减数列 此时bn的最大值为b1 当21 n 60时 bn 当且仅当n 即n 40时 成立 又因为所以当n 40时 bn max 所以该商店在经销此纪念品期间 第40天的利润率最大 且该日的利润率为 规律方法 解答数列实际应用问题的步骤 1 确定模型类型 理解题意 看是哪类数列模型 一般有等差数列模型 等比数列模型 简单的递推数列模型 基本特征见下表 2 准确解决模型 解模就是根据数列的知识 求数列的通项 数列的和 解方程 组 或者不等式 组 等 在解模时要注意运算准确 3 给出问题的回答 实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案 在解题中不要忽视了这点 变式训练 从经济效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 根据规划 2015年度投入800万元 以后每年投入将比上年减少 2015年度当地旅游业估计收入400万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 设n年内 2015年为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 解析 1 第一年投入为800万元 第二年投入为800 1 万元 第n年的投入为800 1 n 1万元 所以 n年内的总投入为 an 800 800 1 800 1 n 1 4000 4000 n 第一年旅游业收入为400万元 第二年旅游业收入为400 1 万元 第n年旅游业收入为400 1 n 1万元 所以 n年内的旅游业总收入为bn 400 400 1 400 1 n 1 1600 n 1600 2 设经过n年旅游业的总收入超过总投入 由此bn an 0 即1600 n 1600 4000 4000 n 0 化简得2 n 5 n 7 0 设 n x 代入上式 得5x2 7x 2 0 解此不等式 得x1 舍去 即 n 由此得n 5 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 加固训练 1 某软件公司新开发一款学习软件 该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏 为了激发闯关热情 每闯过一关都奖励若干慧币 一种网络虚拟币 该软件提供了三种奖励方案 第一种 每闯过一关奖励40慧币 第二种 闯过第一关奖励4慧币 以后每一关比前一关多奖励4慧币 第三种 闯过第一关奖励0 5慧币 以后每一关比前一关奖励翻一番 即增加1倍 游戏规定 闯关者须于闯关前任选一种奖励方案 1 设闯过n n n 且n 12 关后三种